２０１０年２月 安庆师范学院学报（自然科学版） Ｆｅｂ．２０１０ 第１６卷第１期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｑｉｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ ｃｏｌＩｅｇｅ（ＮａｔｕｒａＩ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ＶＯ１．１６ Ｎｏ．１ 关于丢番图方程 ３＋１＝２ｐｙ ２的一个注记 周伟平 （安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆２４６１３３） 摘要：对于丢番图方程 ＋１—２ｐｙ ，Ｐ为形如１２ｓ ＋１的素数，其中Ｓ为奇整数，本文用初等方法证明了该方程 除平凡解Ｘ一一１，Ｙ一０外，没有其它的整数解。 关键词：三次丢番图方程；正整数解；奇素数 中图分类号：０１５６．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—４２６０（２０１０）０１—００１４—０２ １引言及预备知识 设Ｄ是无平方因子的正整数，方程 Ｘ。＋１一Ｄｙ ，Ｘ，Ｙ∈Ｎ （１） 是一类基本而又重要的指数丢番图方程。当Ｄ＞２且不能被３或形如６愚＋１的素数整除时，Ｌｊｕｎｇｇｒｅｎ在 １９４２年证明了方程（１）最多只有一组正整数解（ｚ， ）。在这以前Ｎａｇｅｌｌ证明了当ｄ仅能被形如６忌＋５的 素数整除时，方程（１）除了Ｘ一一１， 一０外没有其它的整数解，但其证明方法不是初等的。１９８１年，柯召 和孙琦Ｉ１］运用Ｐｅｌｌ方程和二次剩余等初等方法证明了当Ｄ＞２且不能被３或形如６ｋ＋１的素数整除时 方程（１）除了ｚ一一１， 一０外没有其它的整数解。１９９５年，杨丽芬和郝立柱 。 证明当Ｄ＜１００且被形 如６ｋ ｑ－１的素数整除，Ｄ≠７，１４，３５，３７，３８，５７，６５，８６，９１时方程（１）无非平凡整数解。 本文将讨论Ｄ一２ｐ，其中奇素数Ｐ １（ｍｏｄ ６）时的情况，此时方程（１）可写成 －ｚ。Ｉ－１—２ｐｙ。，Ｘ， ∈Ｎ （２） 本文证明了如下结论： 定理 当Ｐ一１２ｓ。－ｔ－１，Ｓ为奇数时方程（２）除平凡解ｚ一一１，ｙ一０外没有其它的整数解。 在证明该定理时需用到如下引理 引理 设ｅ一２＋ ，否一２一 。令 一 ， 一ｅ—ｎ －￣＂， ∈Ｚ＿，则Ｐｅ１１方程ｗ。一３ｚ２—１的 ２√３ 正整数解集为｛（ｗ ，乙），ｎ∈ｚ＋，ｚ＋为正整数集），且 （Ｉ）［３］Ｗ— ｇＬ￣Ｉ为平方数甘忌一０；（Ⅱ）Ⅲ对任意 ∈Ｚ＋， 不是平方数；（Ⅲ）＿３］ｇｃｄ（Ｗ ，Ｚ 井 ）一１。 厶 厶 ２ 定理的证明 不妨设ｙ—ａｂ，ａ，ｂ∈ ，则方程（２）可分解成（ｚ－Ｆ１）（ 一ｚ－ｐ１）一２ｐａ ｂ。。设（ｚ， ）是除Ｘ一一１， Ｙ一０外的一组解，其中Ｘ 一Ｘ－ｔ－１是奇数，且ｇｃｄ（ｘ ｑ－１，ｚ 一Ｘ＋１）一１或３。 （１）当 ≠２（ｍｏｄ ３）时，ｇｃｄ（ｘｑ－１，Ｘ 一ｚｑ－１）一１，则方程（２）可转化成 ｚ ｑ－１—２ｐａ ， 一ｚ＋１一ｂ （３） 或Ｘ ｑ－１—２ａ ，ｚ 一Ｘ ｑ－１一 （４） 考虑（３）式，由ｚ 一Ｘ＋１一ｂ （２ｘ一１） ＋３一（２６） 得ｂ一１，Ｘ一０或１，带入Ｘ ｑ－１—２ｐａ。，显然 不可能 ，故（３）式不成立。若（４）式成立，则 ｆ一１（ｍｏｄ ８），ｉｆ ２ Ｉ ａ ｌ １ （ｍｏｄ ８），ｉｆ ２ 口 ＊收稿日期：２００９—０９—１０ 作者简介：周伟平，女，安徽安庆人，安庆师范学院数学与计算科学学院讲师，硕士。 第１期 周伟平：关于丢番图方程 ＋１—２ ， 的一个注记 于是 程（２）无解。 。一 ２一 ＋１兰｛一３（１ｍ（ｏｍｄ。８ｄ）８，）ｉｆ， ２，］２ａ ｎ ５（ｍｏｄ ８）。故（４）式不成立，即当ｚ≠２（ｒｏｏｄ ３）时方 Ｘ＋１—６ａ。， 一 ＋１—３ （５） 但Ｐ一１２ｓ。＋１ ｉ ５（ｒｏｏｄ ８），ｂ为奇数，于是ｐｂ。 （２）当Ｘ毫２（ｍｏｄ ３），ｇｃｄ（ｘ＋１，ｚ 一Ｘ＋１）一３，则方程（２）可转化成 或 ＋１—６ｐａ ，ｚ。一ｚ＋１—３ｂ。 （６） 若（５）式成立，则 于是 ｚ一６ａｚ一１ Ｊ一 ‘ｍ。ｄ ８ ’ ，２ Ｉ口 ｌ５（ｍｏｄ ８），ｉ，２ 口 ３ 一 （ｍｏｄ一 ＋１兰兰三ｌ３５（ｍ８），ｉｆ ａ 。ｄ ８），ｔ厂口但３ｐｂ 兰３・５ ３ｂ。得 ７（ｍｏｄ ８），矛盾，故（５）式不成立。若（６）式成立，将Ｘ一６ｐａ 一１带人 。一ｚ＋１— １ ３（２户）。ａ 一３・（２ｐ）ａ ＋１一ｂ。 （２６）。一３（４ｐａ。一１）。一 于是有 若 一４ｔ＋１，贝 ２ｂ＋￣／３（４ｐａ。一１）一ｅ ， ＞０，２ ，ｌ ４ｐａ 一１兰（一１） 兰１（ｒｏｏｄ ４） （７） 矛盾。故 一４￡＋３，于是４ｐａ。一 二三一 ＋１一 兰二 ．！： ； ： ・（ｅ＋ｉ） 因为ｅ＋享一４，因此上式可写成 抛 ＝ ｅ。 一 一ｓ２ｔ＋ｌ＋ 一！ ：二 ！竺…￣２，＋１－Ｉ－Ｅ－２＇＋１一 ２盥． ４ ４ ２ ２ ｅ一￡ ｅ＿ｔ－￡ 引理知ｇｃｄ（等，ｗ－－￣）一１且等不为平方数，于是争一１或 一ｇ２，得￡一０ ｏ于是（７）式为 ２ｂ＋ （４ｐａ。～１）一ｓ。 得４ｐａ 一１—１５，矛盾。 由（１）（２）知当奇素数 一１２ｓ ＋１，Ｓ为奇数时方程（２）除平凡解Ｘ一一１，Ｙ一０外没有其它整数解。 参考文献： ［１］柯召，孙琦．关于丢番图方程 士１一Ｄｙ ［刀．中国科学，１９８１，２４（１２）：１４５３—１４５７． ［２］柯召，孙琦．关于丢番图方程ｚ。土８一Ｄｙ ０和 士８—３Ｄｙ。［Ｊ］．四川大学学报：自然科学版，１９８１，４：１—５ ［３］杨丽芬，郝立柱．关于丢番图方程ｚ。十１一Ｅ 。［Ｊ］．哈尔滨师范大学学报；自然科学版，１９９５，１１（４）；３２—３６ ［４］段明辉．关于不定方程ｚ。一１一工 ［Ｊ］．贵州师范大学学报：自然科学版，２００４，２４（２）：６７～６８． ［５］乐茂华．关于Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ方程 一１一Ｐｙ ［Ｊ］．宝鸡文理学院学报：自然科学版，２００５，２３（３）：１０２—１０３． ［６］黄寿生．关于指数Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ方程 一１—２ｐｙ 口］．数学研究与评论，２００７，２７（３）；６６４—６６７． Ａ Ｎｏｔｅ ｏｎ ｔｈｅ Ｄｉｏｎｐｈａｎｔｉｎｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎ 。＋１＝２ｐｙ ＺＨＯＵ Ｗｅｉ—ｐｉｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ａｎｑｉｎｇ ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ａｎｑｉｎｇ，Ａｎｈｕｉ，２４６１３３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＬｅｔＰｂｅ ａｎ ｏｄｄ ｐｒｉｍｅ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｖｅｓｔｈａｔｉｆＰ一１２ｓ ＋１，ｗｈｅｒｅ ｓｉｓ ａｎ ｏｄｄ ｐｏｓｉｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒ，ｔｈｅｎｔｈｅ ｏｎ— ｌｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｎ ｉｎｔｅｇｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｂｉｅ Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ一＋１—２ 。， 一一１，＇），一０． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｕｂｉｃ Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｏｄｄ ｐｒｉｍｅ
