定积分在物理中的应用教学设计

教学课题 选修2-2第一章1.7.2定积分在物理中的应用 一、知识与技能： 1．了解一般的变速直线运动的路程和位移的关系及求法 2．理解变力做功问题是实质并会求解变力做的功 3.借助于定积分的几何意义，用“数形结合”的思想方法解决问题 二、过程与方法： 课标要求 通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值。 2. 通过用定积分解决物理问题的探索过程，再次体会定积分的基本思想、方法，体会实际问题与数学问题的相互转化。 三、情感态度与价值观： 通过本节的学习，进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识，坚定学好数学的信心。 认知层次 知识点 知识点1 变速直线运动的路程求法 知识点2 变力做功问题的解决方法 知识点3 定积分的综合应用 识记 理解 应用 ∨ 综合 ∨ ∨ 1.回顾变速直线运动的汽车形式的路程的求法 2.体会汽车行驶的路程与数学问题之间的转化 目标设计 3. 能利用定积分的几何意义及求法解决变速直线运动的路程和变力做功问题 4. 能熟练解决与定积分相关的实际问题。 情境一：求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t) (v(t)0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即sbav(t)dt。试回答下面的问题：

问题1：当v(t)0时，路程和位移是否相同？能否直接用定积分来求？ 问题2：当v(t)0时路程和位移是否仍然一致？此时，用定积分那它表示的是什么？ 问题3：如果定积分

v(t)dt表示的是路程吗？如果不是，

abv(t)dt表示的不是路程，应该怎么求路程？

ab--

--

问题4：如果在区间[a,b]上，速度有正有负，比如，当t[a,c] 时，v(t)0；当t[c,b]时，v(t)0。又应该怎么求路程？

情境二：通过以上的探索，你是如何认识变速直线运动的路程和位移这两个物理量的？（小组讨论，最后形成结论后，由小组代表阐述本组最终观点，跟其它各组比较，体会相互沟通、交流的乐趣和必要性） 问题1：用定积分解决变速直线运动的路程和位移问题时的关键是什么？（分清物体的运动状态，明确运动状态改变的“节点”） 总结：求变速直线运动的路程s和位移s1的方法： （1）若v(t)0(atb)，则ss1（2）若v(t)0(atb)，则sbav(t)dt；

babav(t)dt；s1v(t)dt。

（3）若在区间[a,c]上v(t)0，在区间[c,b]上v(t)0，则scav(t)dtv(t)dt，s1v(t)dt

cabb对于给出速度—时间曲线的问题，关键是由图像得到速度的解析式及积分的上、下限，若是分段函数，则需要先分别求出各段上的路程，然后再求和。

v(m/s) 例1：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1分钟内行驶的路程。

B A 情境三： 变力作功 30 一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力做功的问题。可以得到

20 10 C 10 20 30 40 50 60 O t/s WF(x)dx

ab例2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所

作的功．

解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到

12l12x|0kl(J)

02212答：克服弹力所作的功为klJ.

2Wkxdxl

总结：

（1）求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的表达式，这是求功的关键。

（2）由功的物理意义，已知物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从xa移到xb

（ab）。因此，求功之前还应求出位移的起始位置和终止位置。 （3）根据变力做功公式WF(x)dx 即可求出变力F(x)所做的功。

ab情境四：定积分在物理上的综合应用 【课堂练习】： 1.A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，

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到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求：（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需时间。

2

2.直径为20cm，高为80cn的圆柱体内充满压强为10N/cm的蒸气，设温度保持不变，要

O 使蒸气的体积缩小为原来的一斗，求需要做多少功？ 习题设计：

1.一质点沿直线以v3t2（t的单位：s；v的单位：m/s）的速度运动，则该质点在第x 3a到第6s间的运动路程为（ ）A.46m B.46.5m C.87m D.47m （知识点1，易）

F 22.一物体在力F(x)3x2x5（力的单位：N；位移的单位：m）作用下沿与力F(x)相同的方向由x5m直线运动到x10m处，作用力F(x)所做的功为（ ） A.925J B.850J C.825J D.800J （知识点2，易）

3.一物体以v(t)t3t8(m/s)的速度运动，则其在前30s内的平均速度为 （知识点3，中） 4.有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t（速度的正方向与x轴的正方向一致）求：（1）点P从原点出发，当t6时，求点P离开原点的路程和位移；

（2）点P从原点出发经时间t后又返回原点时的t值。 （知识点1，中） 5.一物体在力F(x)153x（力的单位：N；位移的单位：m）作用下沿与力F(x)成30角的方向由x1直线运动到x2处，作用力F(x)所做的功为（ ） （知识点2，难）

222h A. 3J B. 23J C. 43J D.

3J 2--