2016年中考数学复习专题29 相似与位似

☞解读考点 知 识 点 1．比例 2．黄金分割 比和比例 3．比例的基本性质及定理 能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算． 名师点晴 知道什么是比例式、第四比例项、比例中项． 知道黄金分割的意义和生活中的应用． 4．平行线分线段成比例定理 会直接运用定理进行计算和证明． 5．相似三角形 知道什么是相似三角形． 能运用相似三角形的性质和判定方法证明简 6．相似三角形的判定和性质 相似形 7．相似多边形的性质 单问题． 了解相似多边形的性质． 知道位似是相似的特殊情况．能利用位似放大 8．位似图形 和缩小一个图形．

☞2年中考 【2015年题组】

y3xy，则的值为（ ）

xx4457A．1 B． C． D．

7441．（2015东营）若【答案】D． 【解析】 试题分析：∵

y3xy437，∴==．故选D．

x4x44AD1， 则下列结论中正确的是（ ）DB2考点：比例的性质．

2．△ABC中，DE∥BC，（2015南京）如图所示，若

A．△ADE的周长1△ADE的面积1AE1DE1 B． C．= D．= EC2BC2△ABC的面积3△ABC的周长3【答案】C．

考点：相似三角形的判定与性质．

3．（2015荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）

A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．【答案】D． 【解析】

APABABAC D． ABACBPCB试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； C．当

APAB时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； ABACD．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选D．

考点：相似三角形的判定．

4．（2015随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）

A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．【答案】D．

ADACADAE D． AEABABAC

考点：相似三角形的判定．

5．（2015贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ）

A．2：3 B．2:3 C．4：9 D．8：27 【答案】C． 【解析】

2试题分析：两个相似三角形面积的比是()=4：9．故选C．

23考点：相似三角形的性质．

6．（2015白银）如图，D．E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）

A．

1111 B． C． D． 34916【答案】D． 【解析】

试题分析：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC，

∴△DOE∽△AOC，∴

DEBE1DE21)=，故选D． =，∴S△DOE：S△AOC=(ACACBC416考点：相似三角形的判定与性质．

7．（2015淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若

AB2，DE=4，则EF的长是（ ） BC3

A．

820 B． C．6 D．10 33【答案】C．

考点：平行线分线段成比例．

8．（2015乐山）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知

AB3DE，则的值为（ ） BC2DF

A．

3223 B． C． D． 2355【答案】D． 【解析】

试题分析：∵l1∥l2∥l3，

AB3DEAB33，∴===，故选D． BC2DFAC325考点：平行线分线段成比例．

9．（2015宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，

∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）

A．（1，2） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，1） 【答案】B．

考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．

10．（2015十堰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为

1，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） 2A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 【答案】D． 【解析】

试题分析：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选D． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质． 11．（2015眉山）如图，A、B是双曲线y1，把△ABO2k上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于Dx点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ） A．

48 B． C．3 D．4 33

【答案】B．

考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质．

12．（2015绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ）

A．

3456 B． C． D． 4567【答案】B． 【解析】

x4a4CE4，即，故选B． y5a5CF5

考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．

13．（2015常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如O1A1=（kk为不等于0的常数）图，如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA：．那么下面四个结论：

①∠AOB=∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③

ABk；④扇形AOB与扇形A1O1B1A1B1的面积之比为k2． 成立的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 【解析】

nr180r，所以n=n1故①正确；

试题分析：由扇形相似的定义可得：

n1r1r1180因为∠AOB=∠A101B1，OA：O1A1=k，所以△AOB∽△A101B1，故②正确；

ABOA=k，故③正确； 因为△AOB∽△A101B1，故

A1B1O1A1由扇形面积公式故选D．

4．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．弧长的计算；3．扇形面积的计算；新定义；5．压轴题．

14．（2015株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）

nr2可得到④正确． 360

A．

1234 B． C． D． 3345【答案】C．

考点：相似三角形的判定与性质．

15．（2015黔西南州）在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=3时，n的值为（ ） A．423 B．234 C．223 D．3 33

【答案】A．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．实数与数轴；3．等边三角形的性质；4．平移的性质；5．综合题；6．压轴题．

16．（2015宁波）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A2处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（ ）

A．

122015 B．

122014 C．1122015 D．2122014

【答案】D． 【解析】

AA1⊥DE，DA=DA1，∴DA=DB，试题分析：连接AA1，由折叠的性质可得：又∵D是AB中点，

∴DB=DA1，∴∠BA1D=∠B，∴∠ADA1=2∠B，又∵∠ADA1=2∠ADE，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴AA1⊥BC，∴AA1=2，∴h1=2﹣1=1，h2=2同理，…

∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2∴h2015=21111h3=2=22， ，

22221，2n1122014，故选D．

1．2．3．4．考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）；规律型；5．综合题．

17．（2015天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，BP=3米，PD=12米， 测得AB=2米，那么该古城墙的高度CD是 米．

【答案】8．

考点：相似三角形的应用．

18．（2015柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，

EF=

2EH，那么EH的长为 ． 3

【答案】【解析】

3． 2∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，试题分析：∵四边形EFGH是矩形，

AMEH22x3x1AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴x=，，设EH=3x，则有EF=2x，，解得：

2ADBC2333则EH=．故答案为：．

22∴

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．应用题．

19．（2015河池）如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则

11= ． AMAN

【答案】1．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．菱形的性质；3．综合题．

20．（2015贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C

3①△ADE∽△ACD；．有以下的结论：

421②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0

424＜BE≤，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．

5∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，重合），且tan∠α=

【答案】②③．

若△BDE为直角三角形，则有两种情况：（1）若∠BED=90°，∵∠BDE=∠CAD，∠B=∠C，∴△BDE∽△CAD，∴∠CDA=∠BED=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=

1BC=12； 2∵∠CAD=∠BDE=90°∠B=∠C=∠α，（2）若∠BDE=90°，如图2，设BD=x，则DC=24－x，，∴cos∠C=cosB=BD为12或

4AC15421，解得：x，∴，∴若△BDE为直角三角形，则

54DC24x521，故③正确； 4

设BE=x，CD=y，∵△BDE∽△CAD，∴

xyBECD∴，，∴15x24yy2，

24y15BDCA4848，∴0＜BE≤，∴故④错误； 55∴15x144(y12)2，∴15x144，∴x故答案为：②③．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．

21．（2015钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变化，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的OA3缩小为OA2的

1，经第二次变化后得正方21，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长21，．．．．．．，按此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长2为正方形OABC边长的倒数，则n= ．

【答案】16．

考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．

22．（2015南通）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则

AD1，AB2S1的值等于 ． S2

【答案】

1． 16

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．综合题．

23．（2015扬州）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= cm．

【答案】12． 【解析】

试题分析：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴

ABAD42，∴BC=12cm．故答案为：，即

BC6BCDE12．

考点：平行线分线段成比例．

24．（2015扬州）如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积分别为

S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是 ．（用“＜”号连接）

【答案】S1S3S2．

∵0＜a＜b＜c，∴0＜a+b＜a+c＜b+c，∴S1S＜S3S＜S2S∴S1S3S2，，故答案为：

S1S3S2．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．综合题；3．压轴题．

25．（2015连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为 ．

【答案】221． 3

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线之间的距离；3．勾股定理；4．综合题． 26．（2015盐城）设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相

交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为 ．（用含n的代数式表示，其中n为正整数）

【答案】

1． 2n1

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．

27．（2015成都）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，A1B1C1=60°，对角线AC11，B1D1相交于点O．以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形

A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，„，

按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A．．．．．．，An，则点An的坐1，A2，A3，标为________．

【答案】（3 n－1，0）．

考点：1．相似多边形的性质；2．菱形的性质；3．规律型；4．综合题；5．压轴题． 28．∠ABC=90°BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，（2015连云港）如图，在△ABC中，，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H． （1）求BD•cos∠HBD的值； （2）若∠CBD=∠A，求AB的长．

【答案】（1）4；（2）6． 【解析】

试题分析：（1）首先根据DH∥AB，判断出△ABC∽△DHC，即可判断出后求出BH的值是多少，再根据在Rt△BHD中，cos∠HBD=

ACBC=3；然CDCHBH，求出BD•cos∠HBD的值BD是多少即可；

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．解直角三角形．

29．（2015镇江）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．

（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；

（2）求小明原来的速度．

【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s． 【解析】

试题分析：（1）利用中心投影的定义作图；

（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=（4x﹣1.2）m，EG=3xm，BM=13.2﹣4x，由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，得到CEEGAMBM，即代入解方程即可． 试题解析：（1）如图，

AM=AF﹣MF=m，EG=2×1.5x=3xm，（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，（4x﹣1.2）BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，∴即

CEOEEGOECEEG，，∴，AMOMBMOMAMBM2x3x∴小明原来的速度为1.5m/s． ，解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，

4x1.213.24x答：小明原来的速度为1.5m/s．

考点：1．相似三角形的应用；2．中心投影．

30．（2015南充）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP ＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由） （2）如果AM=1，sin∠DMF=

3，求AB的长． 5

【答案】（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）AB=6．

试题解析：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，根

据

折

叠

的

性

质

可

知

：

∠APM=∠EPM

，

∠EPQ=∠BPQ

，

∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；

（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM，∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，

DF3x3=，∴设DF=3x，MD=5x，∴BP=PA=PE=，BQ=5x﹣1，5MD23xAMAP122，解得：x（舍）或x=2，∴AB=6．∵△AMP∽△BPQ，∴ ，∴

3x5x1BPBQ92∵sin∠DMF=

1．2．3．4．5．考点：翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形；探究型；综合题．

31．（2015南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC 上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．（1）求证：PQ∥AB；

（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；

（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）6；（3）1≤x≤

13． 6

（2）连接AD，由PQ∥AB可得∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得到

∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=12﹣4x，故可得出x的值，进而得出结论；

（3）当点E在AB上时，根据等腰三角形的性质求出x的值，再分0＜x≤种情况进行分类讨论．

99；＜x＜3两88

①当0＜x≤②当

927时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤； 829DE交AB于F，∴HG=DF，＜x＜3时，设PE交AB于点G，作GH⊥FQ，垂足为H，

8GHPGPHFG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，∴，∵PG=PB=9﹣3x，EDPEPDGH93xPH433∴∴GH=（9﹣3x），，PH=（9﹣3x），∴FG=DH=3x﹣（9﹣3x），

5554x5x3x431254x∴T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]=，此时，

555527＜T＜18．∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，∴T=12时，即12x=12，解得x=1；212541313xTA=16时，即=16，解得x=．∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤． 5566

考点：1．几何变换综合题；2．分类讨论；3．相似三角形的判定与性质；4．压轴题． 32．（2015钦州）如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点

A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．

（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______； （2）当t为何值时，∠OCD=180°？

（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．

12t3t16 (0t16)4【答案】（1）E（t4，8）；（2）454；（3）S．

1t23t16 (t16)4

试题解析：（1）∵AD=OB=8，∴AE=ED=4，∵点A的横坐标为t，∴E（t4，8）； （2）当∠OCD=180°时，如图1，∵EC∥BO，∴

EDDB48t32，∴，∴EC=，ECOBEC88t∵AC⊥OA，∴∠1+∠2=90°，∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵∠AEC=∠ABO，

∴△AEC∽△OBA，∴

AEOB481321，∴EC=t，∴=t，，∴

ECtECBA28t2∴t28t800，解得：t445或t445（舍去），∴t=454；

②当t16时，如图3，由（2）得：EC=

11t，则CF=t8，∵OF=BE=t4，

22∴SSΔOCF1111OFCF(4t)(t8)，即St23t16；

4222

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．动点型；4．分类讨论；5．四边形综合题；6．压轴题．

33．（2015玉林防城港）已知：一次函数y2x10的图象与反比例函数y的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．

（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；

（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为 直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若

k（k0）xBC5，求△ABC的面积． BD2

【答案】（1）y

81，B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；（3）10． x2【解析】

（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，

CTCD3．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得BSBD22C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到ba．由A、B都在反比例函数的图象上可

32得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把ba代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的

3根据相似三角形的性质可得

坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB． 试题解析：（1）把A（4，2）代入y

k82=8，∴反比例函数的解析式为y，，得k=4×

xxy2x10x8x4解方程组，得：或，∴点B的坐标为（1，8）； 8y1y2yx（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，OE=5．∵A∴OH=4，解得x=5，∴点E（5，0），（4，2），AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴

AHMH2MH，∴，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为ymx，EHAH12y11∴直线AP的解析式为yx，则有4m2，解得m=，解方程组22y1xx42，得：8y2xx4或，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）． y2②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，1）． 21）； 2综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，

考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．

【2014年题组】

1．（2014年福建南平卷）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（ ）

A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4 【答案】D．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．

2．（2014年四川达州卷）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D． ①△OB1C∽△OA1D； ②OA•OC=OB•OD； ③OC•G=OD•F1； ④F=F1．

其中正确的说法有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 【解析】

试题分析：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确； ∴OCOB1，由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1，∴OA•OC=OB•OD，故②正确； ODOA1由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F1，故③正确；

F1OCOB1OB∴是定值，∴F1的大小不变，∴F=F1，故④正确． GODOA1OA综上所述，说法正确的是①②③④． 故选D．

考点：相似三角形的应用．

3．（2014年四川雅安卷）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AFE：S四边形ABCE为（ ）

A．3：4 B．4：3 C．7：9 D．9：7 【答案】D

考点：1、平行四边形的性质；2、相似三角形的判定与性质．

4．（2014年浙江宁波卷）如图，梯形ABCD中AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ）

A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．2:3

【答案】C． 【解析】

试题分析：∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，又∵∠B=∠ACD=90°，∴△ABC∽△DCA，∴S△ABC：S△DCA=AB2：CD2=22：32=4：9，故选C． 考点：相似三角形的判定与性质．

5．（2014年湖北宜昌卷）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）

A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2

【答案】D．

考点：1．三角形中位线定理；2．相似三角形的应用． 6．（2014年广东深圳卷）如图，双曲线y

kAO2，经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足

xAB3与BC交于点D，S△BOD=21，求k= ．

【答案】8． 【解析】

试题分析：如答图，过A作AH⊥x轴于点H． ∵S△OAH=S△OCD，∴S四边形AHCB=S△BOD=21．

2AO2SOAHSOAHAO，∵AB3，∵AH∥BC，∴△OAH∽△OBC．∴SSOAHS四边形AHCBOBIBCSOAH4AO2OB5．∴SOAH2125，解得S△OAH=4．∴k=8．

考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定和性质．

7．（2014年浙江绍兴卷）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为

22、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形

纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 ． 【答案】4215． 4

考点：1．实践操作和阅读理解型问题；2．相似多边形的性质．

8．（2014年浙江湖州卷）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y

k

（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，x

连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ．

【答案】y=2x．

考点：1．反比例函数和一次函数交点问题；2．待定系数法的应用；3．曲线上点的坐标与方程的关系；4．相似三角形的性质．

9．（2014年黑龙江哈尔滨卷）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，EF⊥AD于点F，FG=FD，点E在BC的延长线上，点G在AF上，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则

的值为 ．

【答案】4． 3

由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；

∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM=∠3（对顶角）

∴∠DMK=∠4，∴DM∥GN，∴四边形DMNG为平行四边形，∴MN=DG=2FD．

AH2． MH3AGAHAG2AG4，∴． ∵MN∥AD，∴，即2FD3FD3MNMH∵点H为AC中点，AC=4CM，∴

考点：1、相似三角形的判定与性质；2、全等三角形的判定与性质；3、等腰三角形的判定与性质；4、平行四边形的判定与性质．

10．（2014年广东卷）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD 于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；

（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）BP=6cm；（3）当t28040 或时，△PEF为直角三角形．

183172=6cm． 的面积存在最大值10cm2，此时BP=3×

考点：1．菱形的判定；2．相似三角形；3．二次函数的性质；4．分类讨论的数学思想．

☞考点归纳

归纳 1：比例的基本性质、黄金分割

基础知识归纳：1．黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）AC=AB·BC，是原线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割．即AC·AC=51AB0.618AB；一条线段的黄金分割点有两个． 22．比例的基本性质及定理 （1）

acadbc bdacabcd bdbdacmacma （3）(bdn0)bdnbdnb（2）

基本方法归纳：利用比例的基本性质变形是关键． 注意问题归纳：比例式与乘积式转化时要弄清内外项． 【例1】若4y-3x=0，则

xy y【答案】

7． 3

考点：比例的基本性质． 归纳 2：三角形相似的性质及判定 基础知识归纳：1．相似三角形的判定

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似；

（2）两角对应相等，两三角形相似；

（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （4）三边对应成比例，两三角形相似；

（5）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； （6）直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 2．相似三角形性质

相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．． 基本方法归纳：关键是熟练掌握相似三角形的判定． 注意问题归纳：相似条件的寻找．

【例2】已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB． （1）求证：△ADE∽△CDF；

（2）当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．

【答案】（1）证明见解析；（2）π：33．

（2）解：∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，

3yxAECF∵△ADE∽△CDF，∴，∴，∵x、y均为正数，∴x=2y，∴BC=6y，3x4yADCBCF=2y

，

在

Rt△DFC

2中，

2∠DFC=90°，由勾股定理得：

DF=DC2FC2∴⊙O的面积为π（•(4y)(2y)23y，

111DC）2=π•DC2=π244（4y）2=4πy2，四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•23y=123y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：123y2=π：33． 考点：相似三角形的判定与性质． 归纳 3：相似三角形综合问题

基础知识归纳：相似三角形与几何图形的综合． 基本方法归纳：理清题意，合理推断，准确运算是关键． 注意问题归纳：审题不清、条件利用不全是常见错误．

【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，

过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG． （1）求证：PC是⊙O的切线；

BO．求证：点G是BC的（2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·中点．

（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=46，求BG的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）25．

（2）证明：连OG，如图，∵BG2=BF•BO，即BG：BO=BF：BG，而∠FBG=∠GBO，∴△BGO∽△BFG，∴∠OGB=∠BFG=90°∴BG=CG，即点G是BC的中点； ，即OG⊥BG，（3）解：连OE，如图，∵ED⊥AB，∴FE=FD，而AB=10，ED=46，∴EF=26，OE=5，在Rt△OEF中，OF=OE2EF252(26)21，∴BF=5-1=4，∵BG2=BF•BO，∴BG2=BF•BO=4×5，∴BG=25．

考点：相似三角形综合题． 归纳 4：相似多边形与位似图形 基础知识归纳： 1．相似多边形的性质

（1）相似多边形对应角相等，对应边成比例．

（2）相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 2．位似图形

（1）概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．

（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．． 基本方法归纳：掌握作图．

注意问题归纳：准确找出对应点的位置．

【例4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；

（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；

（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．

（2）延长OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可． 试题解析：

考点：位似图形；作图．

☞1年模拟

1．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B．

考点：相似三角形的性质．

2．DE∥BC，（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图所示，在△ABC中，若AD=1，DB=2，则

DE的值为（ ） BC

A．

2111 B． C． D． 3432【答案】C． 【解析】

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴试题分析：

考点：平行线分线段成比例．

3．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ）

DEADAD11． 故选C．BCABADDB123

A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m 【答案】C．

考点：相似三角形的应用．

4．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1

的面积等于矩形OABC面积的

1，则点B1的坐标是（ ） 4

A．（3，2） B．（-2，-3） C．（2，3）或（-2，-3） D．（3，2）或（-3，-2） 【答案】D． 【解析】

试题分析：∵若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的

1，∴两矩形的相似比为1：2，∵B点的坐标为（6，4），∴点B1的坐4标是（3，2）或（-3，-2）．故选D． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．

5．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的一个三等分点，EC交对角线BD于点F，则FC：EC等于（ ）

A．3：2 B．3：4 C．1：1 D．1：2 【答案】B．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．

6．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC

固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．下列结论： （1）图中有三对相似而不全等的三角形； （2）m•n=2； （3）BD2+CE2=DE2； （4）△ABD≌△ACE； （5）DF=AE． 其中正确的有（ ）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 【答案】A．

∵△ABE∽△DCA，∴（2）

BEBA2m2 ∴∴m=，由题意可知CA=BA=2，，，nACCDn2∴mn=2；（1＜n＜2）； 故（2）正确；

（3）证明：将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．连接HD，在△EAD和△HAD中， ∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD， ∴△EAD≌△HAD，∴DH=DE．又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°， ∴BD2+CE2=DH2， 即BD2+CE2=DE2； 故（3）正确； （4）若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，∴∠BAD≠∠CAE，∴△ABD与△ACE不一定全等，∴（4）错误； （5）当AF与AB重合时，AE=∴（5）错误．故选A．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形． 7．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF= ．

112AF，AB=AF，∴DF≠AF，∴AE与DF不一定相等； 222

【答案】4：10：25．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．

8．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5米，测得AB=2米，BC=14米，则楼高CD为 米．

【答案】12． 【解析】

试题分析：此题考查了学生的作图能力与实际应用能力，解此题的关键是找到各部分以及与其对应的边长，利用楼高与标杆的高度成正比例求解即可．Rt△ACD与Rt△ABE两个直角三角形相似，列出比例式即可求解． 考点：相似三角形的判定与性质．

9．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，等腰△ABC中，底边BC=a，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，∠BCD的平分线交BD于E．设k=DE= ．

51，则2

【答案】（5-2）a．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．黄金分割．

10．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2、q2，则梯形的面积为 ．

【答案】（p+q）2． 【解析】

试题分析：∵四边形ABCD是梯形，∴AB∥CD，如图，过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，则EF⊥AB， ∴△ABO∽△CDO，∴

SCDOECDOq:p，设上下底分别为mq，mp，两个三角ABOFSABOnq，np，有

形对应的高分别为

mp2np=p2，得mn=2，∴S梯形

(mpmq)(npnq)mn(pq)2ABCD=(pq)2．

22

考点：相似三角形的判定与性质．

11．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是 ．

【答案】y=

x． 1x

考点：1．切线的性质；2．函数关系式；3．相似三角形的判定与性质．

12．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，从点A（0，2）出发的一束光，经x轴反射，过点B（3，4），则入射点C的坐标是 ．

【答案】（1，0）．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．坐标与图形性质．

13．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：2，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=

1，x0则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为 ．

【答案】y【解析】

2． x

考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质．

14．AB=5，AD=7，（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，点E在边AD上，满足

AE2AF2=，点F在AB上，满足 =，连结BE和CFAD3AB5相交于点G，则线段CG的长度是 ．

【答案】

107． 7【解析】

CD交于一点H，AB∥CD，试题分析：延长BE，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，再通过证明△HED∽△HBC，所以

DHDE15，所以DH=，因为AB∥CD，所以

2CHBC3BFFGCFCG3107107 ．故答案为：． 15，解得CG=CHCGCG772

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．

15．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．

【答案】

1；6． 2

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型． 16．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC=

1AB； 2（3）点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）8．

（2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC．∴BC=

1AB． 2（3）解：连接MA，MB，∵点M是，AB的中点，∴AMBM∴∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴

BMMN，∴BM2=MN•MC．．又∵AB是⊙O的直径，AMBMMCBM∴∠AMB=90°，AM=BM．∵AB=4，∴BM=22．∴MN•MC=BM2=8．

考点：1．切线的判定；2．圆周角定理；3．相似三角形的判定与性质；4．圆的综合题． 17．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB边上，过点E作EF⊥BC，延长FE交⊙O的切线AG于点G．

（1）求证：GA=GE．

（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长． 【答案】（1）见解析；（2）10．

试题解析：（1）证明：连接OA，∵AG切⊙O点A，∴∠GAO=90°，∴∠BAO+∠GAE=90°．∵EF⊥BC，

∴∠ABO+∠BEF=90°． ∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO． ∴∠GAE=∠BEF．

∵∠BEF=∠GEA，∴∠GEA=∠GAE． ∴GA=GE．

考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．相似三角形的判定与性质．

18．（2015届北京市平谷区中考二模）如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若AB=6，AF3EF，求DG的长． 小米的发现，过点E作EH∥AB交BG于点H（如图2），经过推理和计算能够使问题得到解决．则DG= ．

AD∥BC，如图3，四边形ABCD中，点E是射线DM上的一点，连接BE和AC相交于点F，若BCaAD，CDbCE，求

BF的值（用含a,b的代数式表示）． EF

【答案】DG=2；【解析】

BFab． EF试题分析：（1）过点E作EH∥AB交BG于点H（如图2），利用平行四边形的性质可以得出△ABF∽△EHF，列比例式可得出EH的长，由已知条件，可知CG=2EH，然后用CD=AB的长再减去CG的长即可求出DG的长；

过E作EG∥AD，延长CA交于点G，∴△CAD∽△CGE． ∴

ADCD． GECEADb． GE∵CDbCE，∴∴ADbEG．

∵AD∥BC，∴BC∥EG． ∴△GEF∽△CBF． ∴

BCBF． EGEFBFab． EF∵BCaAD，∴BCabEG． ∴

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．

19．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求证：BD2=AB•CE．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

（2）证明：∵∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，∴△DEC∽△ADB，∴∴BD•CD=AB•CE，∵BD=AD，∴BD2=AB•CE．

CECD，BDAB

考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．

20．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．

（1）求sin∠ABC的值；

（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=与△DAO是否相似？

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

16E两点的直线的解析式，，求经过D、并判断△AOE

347522．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（，），57144244F4（-，）． 2525【答案】（1）

（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=OA2OB25，∴sin∠ABC=（2）∵点E在x轴上，S△AOE=

OA4； AB51611688OE=，解得OE=．∴E（，0）或E，即AO×

323334＝6kb88 ， 解（-，0）．由已知可知D（6，4），设yDE=kx+b，当E（，0）时有8330＝kb36k6165得，∴yDE=x．

1655b5同理E（-

81616x． ，0）时，yDE=

313138；在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；3在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=∵

OEOA，∴△AOE∽△DAO； OAOD（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；

②AC、AF是邻边，M应在直线AD上，点F在射线BA上时，且FC垂直平分AM，点F（3，8）；

③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-

43x+4，直线L过（，2），且k32值为

337（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=x+，联立直线L与4487522，）；

714直线AB求交点， ∴F（

考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 21．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值． 【答案】（1）t=1或【解析】

试题分析：（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA

327时，△BPQ∽△BCA；（2）t=．

841时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可． 试题解析：根据勾股定理得：BA=6282＝10；

（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：

PM=3t，MC=8-4t，∵∠NAC+∠NCA=90°∠PCM+∠NCA=90°∴∠NAC=∠PCM，则PB=5t，，，∵∠ACQ=∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴

ACCQt7，解得t=． ，∴

8CMMP84t3t考点：1．相似三角形的判定与性质；2．动点型；3．分类讨论．

22．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

【答案】（1）t=1或【解析】

327时，△BPQ∽△BCA；（2）t=．

841试题分析：（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；

（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：

PM=3t，MC=8-4t，∵∠NAC+∠NCA=90°∠PCM+∠NCA=90°∴∠NAC=∠PCM，则PB=5t，，，∵∠ACQ=∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴

ACCQt7，解得t=． ，∴

8CMMP84t3t考点：1．相似三角形的判定与性质；2．动点型；3．分类讨论．

23．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．

（1）求证：CD∥AO；

（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若AO+CD=11，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析．（2）y=

18．0＜x＜6．（3）62． x

（2）解：∵CD∥AO，∴∠3=∠4．∵AB是⊙O的切线，DB是直径，∴∠DCB=∠ABO=90°．∴△BDC∽△AOB．∴＜6；

6xBDDC18．∴．∴y=．∴0＜x

y3xAOOBxy11（3）解：由已知和（2）知：，把x、y看作方程z2-11z+18=0的两根，解这个

xy18方程得z=2或z=9，∴x12x29，（舍去），∴AB=92327262．

y19y22

考点：1．切割线定理；2．平行线的性质；3．相似三角形的判定与性质．

24．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若DE=2，BD=4，求AE的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）25． 3

试题解析：（1）证明：连接OD，∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，∴BE是直径，点O是BE的中点，∵∠C=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°，又BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，则∠ODB+∠BDC=90° 即∠ODC=90°又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．（方法不唯一，参照给分）

（2）解：∵DE⊥DB，DE=2，BD=4，∴BE=25，OE=5，∴∠ABD=∠ADE，又∠A为

AEED2，∴AD=2AE，在Rt△AOD中，ADDB425或AE=0（舍去）AO2=OD2+AD2，即（5+AE）2=（5）2+（2AE）2，解得AE=，325． 所以AE=3公共角，∴△ADB∽△AED，则有

考点：1．切线的判定与性质；2．角平分线的性质；3．相似三角形的判定与性质． 25．∠ABC=90°BD⊥AC（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）（1）如图①，在Rt△ABC中，，于点D．求证：AB2=AD•AC；

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．

ABBDAF=1，求的值；

FCBCDCABBDAF=n，请探究并直接写出的所有可

FCBCDC（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若

能的值（用含n的式子表示），不必证明．

【答案】（1）见解析（2）2 （3）见解析．

（2）解：方法一：

如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，∵BE⊥AD，∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF．

ABBD=1，∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，∴△BDE≌△CDG，又∵∠BDE=∠CDG，BCDC1∴ED=GD=EG．

2∵

AEAB2(2BD)2AC，BD2=DE·AD，∴=4，∴AE=4DE，由（1）可得：AB2=AD·22DEBDBDAE4DE=2． DE2DEAFAE∵CG∥BF，∴=2． FCEG∴

（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段BC上时，如图④所示：

过点D作DG∥BF，交AC边于点G．

ABBD=n，∴BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DC． BCDCFGBDn∵DG∥BF，∴=n，∴FG=nGC，FG=FC．

n1GCDC∵

2n(n)DC=（n+1）2； ADABAD，BD2=DE·AD，∴由（1）可得：AB2=AE·DEBD2(nDC)22AFAEAEAF∵DG∥BF，∴=（n+1）2，即n=（n+1）2，化简得：=n2+n；

FCFCFGDEn1

（III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G． 同理可求得：

AF=n﹣n2． FC

考点：1．相似形综合题；2．射影定理；3．动点型；4．探究型．