求圆锥曲线方程

求圆锥曲线方程

1.已知直线x+2y－3=0与圆x2+y2+x－6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于( )

A.3 B.－3 C.1 D.－1

2.中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为

1，则椭圆方程为( ) 22x22y22x22y2A.1 B.125757525 2222xyxyC.1 D.125757525二、填空题

3.直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.

4.已知圆过点P(4，－2)、Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为_________.

三、解答题

5.)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，

410，试求椭圆的方程. 36)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.

且|M1M2|=

7.)已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=

20,椭圆C2的方程为32x2y2=1(a＞b＞0)，C的离心率为，如果C1与C2相交于2

2a2b2A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.

参

难点磁场

1.解析：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,

又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|²|PF2|,

依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|²|PF2|=|F1F2|2=4c2

17, 3517又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.

33∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜

答案：1

2.解法一：设所求圆的圆心为P(a,b），半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a| ∵圆P截y轴所得弦长为2，∴r2=a2+1

又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB|=2r,故r2=2b2,从而有2b2－a2=1

又∵点P(a,b)到直线x－2y=0的距离d=

, 5因此，5d2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1,

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有

|a2b|aba1a1, 得 或22b1b12ba1∵r2=2b2, ∴r2=2

于是所求圆的方程为：(x－1）2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 解法二：设所求圆P的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2(r＞0)

设A(0,y1),B(0,y2)是圆与y轴的两个交点，则y1、y2是方程a2+(y－b)2=r2的两根， ∴y1，2=b±r2a2

由条件①得|AB|=2，而|AB|=|y1－y2|,得r2－a2=1

设点C(x1,0)、D(x2,0)为圆与x轴的两个交点，则x1,x2是方程(x－a)2+b2=r2的两个根， ∴x1，2=a±r2b2

由条件②得|CD|=2r,又由|CD|=|x2－x1|，得2b2=r2,故2b2=a2+1 设圆心P(a,b)到直线x－2y=0的距离为d=

|a2b|5

∴a－2b=±5d,得a2=(2b±5d)2=4b2±45bd+5d2

又∵a2=2b2－1,故有2b2±45bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程， ∵方程有实根.

∴Δ=8(5d2－1)≥0,得5d2≥1.

5,将其代入2b2±45bd+5d2+1=0, 5得2b2±4b+2=0,解得b=±1.

∴dmin=

从而r2=2b2=2,a=±r21=±1

于是所求圆的方程为(x－1)2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 歼灭难点训练

一、1.解析：将直线方程变为x=3－2y,代入圆的方程x2+y2+x－6y+m=0, 得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0.

整理得5y2－20y+12+m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2) 则y1y2=

12m,y1+y2=4. 5又∵P、Q在直线x=3－2y上，

∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9

故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m－3=0，故m=3. 答案：A

y2x22.解析：由题意，可设椭圆方程为：22 =1,且a2=50+b2,

aby2x2即方程为=1.

50b2b2将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程. 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75. 答案：C

二、3.解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.

欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解.

x2y2答案： =1 544.解析：设所求圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2

(4a)2(2b)2r2a1a5则有(1a)2(3b)2r2 b0或b4

22222r13|a|(23)rr27由此可写所求圆的方程.

答案：x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0

三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,则(a+c)(a－c)=a2－c2=b2,

x2y21 ∴b=4,设椭圆方程为24a2

① ② ③

设过M1和M2的直线方程为y=－x+m 将②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),

4ma2m1则x0= (x1+x2)=,y=－x+m=. 00

4a24a22a2m4m代入y=x,得, 4a24a2

4a2由于a＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－,

4a22

又|M1M2|=2(x1x2)24x1x22

410, 3x2y2代入x1+x2,x1x2可解a=5,故所求椭圆方程为： =1. 546.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4） 设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p³(－4),解得p=12.5, 于是抛物线方程为x2=－25y.

由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

2x2y27.解：由e=,可设椭圆方程为22=1,

22bb又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,

xxyyxyxy又12121,2222=1,两式相减，得122122=0,

2bb2bb2bb即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0. 化简得

22222222y1y2=－1,故直线AB的方程为y=－x+3,

x1x2代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0.

有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=2(x1x2)24x1x220, 324b27220得2，解得b2=8. 93x2y2故所求椭圆方程为=1. 168