2014届高三年级12月月考 数学试题

2014届高三年级12月月考 数学试题（理科）

2013.12.7

一．选择题（每小题5分，共40分）

1．设复数z满足(1i)z2，其中i为虚数单位，则z的虚部为 （ ） A．2i

C．1 D．i

2．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是

A．a4 C．a6

3．若方程1x2B．2

开始 S=1，k=1 是 9,则 （ ） 5k >a? 否 1S=S+k(k+1) k=k+1 B．a5 D．a7

xa=0有两个不同的实数解，则实数a的取值

输出S 范围为 ( )

结束 （A）(-2，2) （B）[-2，2] （C）[-1，2) （D） [1，2)

（第2题图）

y1,4．若变量x,y满足约束条件xy0,则zx2y的最大值为 （ ）

xy20,(A) -3 (B) 1 (C) 2 (D) 3

SA23，5．已知正四棱锥SABCD中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （ ）

（A）1 （B）3 （C）2 （D）3 6．在圆xy2x6y0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和

22BD，则

四边形ABCD的面积为

A．52 B．102 C．152 D．202

7．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） （A）m,n,m//,n//// （B）//,m,nm//n

（C）m,mnn// （D）m//n,nm

8．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最

小值为（ ）

(A) 322 (B)32 (C) 422 (D) 42

二．填空题（每小题5分，共30分）

9．若函数f(x)axb的零点是1， 则g(x)bxax的零点是 .

2244主视图24俯视图22侧视图10．例6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______

11．直线2cos1与圆2cos相交的弦长为 .

12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x2，若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式

f(x+t) ≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围为__ 13．在直角坐标系xOy 中，M是曲线C1：xt1, (t为参数)上任意一点，N是曲线C2 ：

y12tx1cos,(为参数)上任意一点，则MN的最小值为 . ysin

14．已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0有三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛

物线的离心率（抛物线的离心率为1），则

b1的取值范围为 a1三．解答题（共80分）

15．（本小题共13分）已知函数f(x)3sin2x2sinx． （Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （II）求函数f(x)的零点的集合。

2

16．（本小题共13分）设数列an满足a12,an1an32(1)求数列an的通项公式；

(2)令bnnan，求数列的前n项和Sn。

17．（本小题共14分）.

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，

PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2，CD=1 （1）证明：MN∥平面PCD； （2）证明：MC⊥BD；

（3）求二面角A—PB—D的余弦值。

18．（本小题共13分）

如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y2x4,设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

O

2n1

y A l x

19．（本小题满分14分）

已知函数f(x)aln(2x1)bx1．

（Ⅰ）若函数yf(x)在x1处取得极值，且曲线yf(x)在点(0，f(0))处的切

线与直线2xy30平行，求a的值；

1，试讨论函数yf(x)的单调性． 213（Ⅲ）若对定义域内的任意x，都有f(x)(b)x成立，求a的取值范围

24（Ⅱ）若b

20．（本小题满分13分） 已知函数f(x)55x5，m为正整数．

（Ⅰ）求f(1)f(0)和f(x)f(1x)的值； （Ⅱ）若数列{an}的通项公式为anf(（Ⅲ）设数列{bn}满足：b1n（n1,2,,m），求数列{an}的前m项和Sm； )m11112，bn1bnbn，设Tn，b11b21bn12若（Ⅱ）中的Sm 满足对任意不小于3的正整数n，4Sm777Tn5恒成立，试求m的最大值.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

二．填空题答题卡（每小题5分，共30分）

9. ； 10. ； 11. ；

12. ； 13. ； 14.

三．解答题（共80分） 15.（13分）

16.（13分）设数列an满足a12,an1an32(1)求数列an的通项公式；

(2)令bnnan，求数列的前n项和Sn。

2n1

17.（14分）

18.（13分） y A l O x

-- ----- ----- ----- ----- ---- ----- __ ----_-__ --_线__ ---_--__ ---_-__ ----号-考 ----- ----_-__ ----_-__ ----_-_ --_--_-__ 订_- -_--名-- -姓---- -- - -- -_-_--_--_-_--_-_- -_--_-_--_--_-_--级--班装--

19．（14分）

20．（13分）

1．选择题：

C A D D C B D A 2．填空题：

9． 0或1 ； 12． [2，+∞）

数学参（理科）

2013.12.7

10． 23 ； 11． 3 ；

13．

51 ； 14． (-2，0)

16．（Ⅰ）由已知，当n≥1时，

an1[(an1an)(anan1)(a2a1)]a1 3(22n122n32)222(n1)1。

而 a12, 所以数列{an}的通项公式为an2（Ⅱ）由bnnann2232n132n1。

5n2232n知 Sn12257n22 1 ①

22232n从而 2Sn1Sn2①-②得 (12)即 Sn

17．解：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，

由已知M，N分别是PA，BC的中点， ∴ME∥PD，NE∥CD

又ME，NE平面MNE，MENE=E，

4分

232 ②

n2252n221n2

1[(3n1)22n12] 9 所以，平面MNE∥平面PCD， 所以，MN∥平面PCD

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥DA，PD⊥DC，

2分

在矩形ABCD中，AD⊥DC， 如图，以D为坐标原点， 射线DA，DC，DP分别为 x轴、y轴、z轴

正半轴建立空间直角坐标系 则D（0，0，0），A（2，0，0）， B（2，1，0）C（0，1，0）， P（0，0，2）

7分 5分

所以M（

2222，0，），BD(2,1,0)，MC(,1,)

2222

8分

∵MC·BD=0，所以MC⊥BD

9分

（3）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，

所以BD⊥平面MCE, 所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，

由已知E(10分 11分

22,1,0) ,0,0)，所以平面PBD的法向量EC(22M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，

又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM， 所以DM⊥平面PAB， 所以平面PAB的法向量MD（-

12分

22，0，） 22

设二面角A—PB—D的平面角为θ， 则cosECMD|EC||MD|6 13. 66. 6

14分

所以，二面角A—PB—D的余弦值为

18．解:(1)由y2x4得圆心C为(3,2),∵圆C的半径为1

yx122∴圆C的方程为:(x3)(y2)1

显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为ykx3,即kxy30

∴

3k2331∴3k1k21∴2k(4k3)0∴k0或者k

4k21∴所求圆C的切线方程为:y3或者y3x3即y3或者3x4y120 4(2)解:∵圆C的圆心在在直线l:y2x4上,所以,设圆心C为(a,2a-4) 则圆C的方程为:(xa)y(2a4)1

222222又∵MA2MO∴设M为(x,y)则x(y3)2xy

整理得:x(y1)4设为圆D

∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点 ∴21222a2(2a4)(1)21

2由5a8a80得xR 由5a12a0得0x212 5终上所述,a的取值范围为:0,

12 519．解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(,).f(x)122bx2ab

2x13f(1)0a由题意 ，解得2

f(0)2b1∴a（Ⅱ）若b3. ----------------4分 211， 则f(x)aln(2x1)x1. 222x4a1. ---------------5分

4x22x4a10

4x2f(x)（1）当a0时，由函数定义域可知，4x20， f(x)∴在x(,)内，函数f(x)单调递增； ---------------7分 （2）当a0时，令f(x)122x4a110x(2a,)， ∴函数f(x)单

4x22

调递增；

令f(x)递减

综上：当a0时，函数f(x)在区间(,)为增函数；

当a0时，函数f(x)在区间(2a 在区间(2x4a1110x(,2a)，∴函数f(x)单调

4x222121,)为增函数； 211,2a)为减函数.-------------10分 221311（Ⅲ）由f(x)(b)xaln(2x1)x0

2424112x4a11 令g(x)aln(2x1)x，则g(x)=f(x)（b时）

244x221 ∴g(x)与f(x)（b时）具有相同的单调性，

21 由（Ⅱ）知，当a0时，函数g(x)在区间(,)为增函数；其值域为R，不符合题

2意

当a0时，函数g(x)=

111x，∵x，∴g(x)>0恒成立，符合题意 242111当a0时，函数g(x)在区间(,2a)为减函数；在区间(2a,)为增函

222数

∴

g(x)的最小值为

111g(2a)=aln(4a11)+(a)+=aln(4a)a

244e∴aln(4a)a≥0 a0

4e综上可知：a0 .-------------14分

420. 解：（Ⅰ）f(1)f(0)555551x515=

=1；

f(x)f(1x)=

………3分 （

Ⅱ

）

由

555x555x555x555x=1；………………………

（Ⅰ）得

kkf()f(1)1 (1km1)mm,即

kmkf()f()1 , akamk1, mm由Sma1a2a3am1am, ……………① 得Smam1am2am3a1am, …………② 由

①

＋

②

,

得

2Sm(m1)12am,∴

Sm(m1)（Ⅲ） ∵b1∴

1155f(1)(m1)，…10分 2241 bn0. ,bn1b2nbnbn(bn1),∴对任意的nN*,21bn1111111,即.

bn(bn1)bnbn1bn1bnbn1∴Tn(111111111)()()2. b1b2b2b3bnbn1b1bn1bn12∵bn1bnbn0, bn1bn,∴数列{bn}是单调递增数列. ∴Tn关于n递增. 当n3, 且nN时, TnT3. ∵b1111333212121777 ,b2(1), b3(1),b4(1)22244416161625612562.∴4Sm777T35, ∴m650.5.而m为正整数， b4777∴TnT32∴m的最大值为650. ……………………………………………………………………………

13分