考研数学三（选择题）高频考点模拟试卷33 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． A． B． C． D．
正确答案：C 涉及知识点：函数、极限、连续
2． 当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰好有两个不同的零点?( )
A．2． B．4． C．6． D．8．
正确答案：B
解析：f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)，故极值点可能为x=1，x=2，且f(1)=5一a,f(2)=4—a，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点． 故应选
B． 知识模块：函数、极限、连续
3． 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆；③若B可逆，则A+B可逆； ④A－E恒可逆．正确的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
正确答案：D
解析：由于(A－E)B=A，可知当A可逆时，｜A－E｜｜B｜≠0，故｜B｜≠0，因此B可逆，可知①是正确的．当A+B可逆时，｜AB｜=｜A｜｜B｜≠0，故｜B｜≠0，因此B可逆，可知②是正确的．类似地，当B可逆时，A可逆，故｜AB｜=｜A｜｜B｜≠0，因此AB可逆，故A+B也可逆，可知③是正确的．最后，由AB=A+B可知(A－E)B－A=O，也即(A－E)B－(A－E)=E，进一步有(A－E)(B－E)=E，故A－E恒可逆．可知④也是正确的．综上，4个命题都是正确
的，故选(D)． 知识模块：线性代数
4． 设f(x)=，则下列结论中错误的是 ( ) A．x=－1，x=0，x=1为f(x)的间断点 B．x=－1为无穷间断点 C．x=0为可去间断点 D．x=1为第一类间断点
正确答案：C
解析：去掉绝对值符号，将f(x)写成分段函数， 知识模块：函数、极限、连续
5． 设常数k>0，函数f(x)=lnx一+k在(0，+∞)内零点个数为( ) A．3。 B．2。 C．1。 D．0。
正确答案：B
解析：因f＇(x)=，令f＇(x)=0，得唯一驻点x=e，故f(x)在区间(0，e)与(e，+∞)内都具有单调性。 又f(e)=k>0，而 所以由零点存在定理f(x)在(0，e)与(e，+∞)内分别有唯一零点，故选B。 知识模块：一元函数微分学
6． f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续导数，且f’(0)=0，则 A．f(0)是f(x)的极大值 B．f(0)是f(x)的极小值
C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点
D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点
正确答案：B
解析：由于 又f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续导数，所以f”(0)=0，但不能确定点(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点．由根据极限的保号性可知，在x=0的某邻域内必有即f”(x)＞0，从而f’(x)在该邻域内单调增加．又因f’(0)=0，所以f’(x)在x=0两侧变号，且在x=0的空心邻域内，当x＜0时f’(x)＜f’(0)=0，当x＞0时f’(x)＞f’(0)=0，由极值第一充分条件可知，x=0为f(x)的极小值点．即f(0)是f(x)的极小值，故选
B． 知识模块：一元函数微分学
7． 设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y=，则 A．Y～χ2(n)． B．Y～χ2(n一1)． C．Y～F(n，1)． D．Y～F(1，n)．
正确答案：C
解析：根据t分布的性质，如果随机变量X～t(n)，则X2～F(1，n)，又根据F分布的性质，如果X2～F(1，n)，则～F(n，1)，故应选(C)． 知识模块：概率论与数理统计
8． 设f(x)连续，f(0)=1，fˊ(0)=2．下列曲线与曲线y=f(x)必有公共切线的是( )
A．y=∫0xf(t)dt B．y=1+∫0xf(t)dt C．y=∫02xf(t)dt D．y=1+∫02xf(t)dt
正确答案：D
解析：曲线y=f(x)在横坐标x=0对应的点(0，1)处切线为y=1+2x．选项(D)中函数记为y=F(x)．由F(0)=1，Fˊ(0)=2f(0)=2，知曲线y=F(x)在横坐标x=0对应点处切线方程也为y=1+2x．故应选(D)． 知识模块：一元函数积分学
9． 设D是有界闭区域，下列命题中错误的是
A．若f(x，y)在D连续，对D的任何子区域D0均有(x，y)∈D)．
B．若f(x，y)在D可积，f(x，y)≥0，但不恒等于0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．
C．若f(x，y)在D连续，f(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)． D．若f(x，y)在D连续，f(x，y)＞0 ((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．
正确答案：B 解析：直接指出其中某命题不正确． 因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积，因此命题(B)不正确． 设(x0，y0)是D中某点，令f(x，y)=则在在区域D上f(x，y)≥0且不恒等于零，但f(x，y)dσ=0．因此选(B)． 或直接证明其中三个是正确的． 命题(A)是正确的．用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证． 若f(x，y)在D不恒为零→(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨设f(x0，y0)＞0，由连续性→D，且当(x，y)∈D0时f(x，y)＞0，由此可得f(x，y)dσ＞0，与已知条件矛盾．因此，f(x，y)≡0 ((x，y)∈D)． 命题(D)是正确的．利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证． 这是因为f(x，y)≥minf(x，y)=f(x0，y0)＞0，其中(x0，y0)是D中某点，于是由二重积分的不等式性质得 f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面积． 命题(C)是正确的．若f(x，y)≠0→在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于零．由假设f2(x，y)在D连续→f2(x，y)dσ＞0．与已知条件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此选(B)． 知识模块：微积分
10． 设总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn是分别来自总体X与Y的两个相互的简单随机样本，统计量=( )
A．
B． C． D．
正确答案：D
解析：应用t分布的典型模式．由于，而～N(0，1)，且相互，所以V=～χ2(n)，U与V相互，由t分布的典型模式～t(n)．由题意知 知识模块：概率论与数理统计
11． 设X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10分别是来自正态总体N(－1，4)和N(2，5)的简单随机样本，且相互，S12，S22分别为这两个样本的方差，则服从F(7，9)分布的统计量是 ( )
A． B． C． D．
正确答案：D
解析：由～F(7，9)．因此本题选(D)． 知识模块：概率论与数理统计
12． 设等于( )． A． B． C． D．
正确答案：B
解析： 知识模块：不定积分
13． 设g(x)＝∫0xf(u)du，其中f(x)＝则g(x)在(0，2)内( )． A．单调减少 B．无界 C．连续
D．有第一类间断点
正确答案：C
解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(0，2)内连续，选(C)． 知识模块：微积分
14． 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则
A．当r＜s时，向量组(Ⅱ)必线性相关． B．当r＞s时，向量组(Ⅱ)必线性相关． C．当r＜s时，向量组(Ⅰ)必线性相关． D．当r＞s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．
正确答案：D
解析：用[定理3．8]的推论，若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关．故应选
D．请举例说明A，B，C均不正确． 知识模块：线性代数
15． 已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y＂+p(x)y＇+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )
A．y=C1x+C2x2+ex。 B．y=C1x。+C2ex+x。
C．y=C1(x一x2)+C2(x—ex)+x。 D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)。
正确答案：C
解析：方程y＂+p(x)y＇+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x－ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故选C。 知识模块：常微分方程与差分方程
16． 设A=，方程组Ax=0有非零解。α是一个三维非零列向量，若Ax=0的任一解向量都可由α线性表出，则a=（ ）
A．1 B．—2 C．l或—2 D．—1
正确答案：B
解析：由于Ax=0的任一解向量都可由α线性表出，所以α是Ax=0的基础解系，即Ax=0的基础解系只含一个解向量，因此r（A）=2。由方程组Ax=0有非零解可得，|A|=（a—1）2（n+2）=0，即a=1或—2。当a=1时，r（A）=1，舍去；当a=—2时，r（A）=2。所以选B。 知识模块：线性代数
17． 设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若，则I1，I2，I3的大小顺序为 ( )
A．I1＜I2＜I3
B．I3＜I2＜I1 C．I1＜I3＜I2 D．I3＜I1＜I2
正确答案：C
解析： 知识模块：微积分
18． 设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量组，A=（α1，α2，α3，α4），A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为( )
A．α1，α2，α3
B．α1+α2，α2+α3，α1+α3 C．α2，α3，α4
D．α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1
正确答案：C 解析：方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵A的秩（rA）=4—1=3，则其伴随矩阵A*的秩r（A*）=1，于是方程组A*x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。又A*（α1，α2，α3，α4）=A*A=|A|E=0，所以向量α1，α2，α3，α4都是方程组A*x=0的解。将（1，0，2，0）T代入方程组Ax=0可得α1+2α3=0，这说明α1可由向量组α2，α3，α4线性表出，而向量组α1，α2，α3，α4的秩等于3，所以向量组α2，α3，α4必线性无关。所以选C。事实上，由α1+2α3=0可知向量组α1，α2，α3线性相关，选项A不正确；显然，选项B中的向量都能被α1，α2，α3线性表出，说明向量组α1+α2，α2+α3，α1+α3线性相关，选项B不正确；而选项D中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型D也不正确。 知识模块：线性代数
19． 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组（AB）x=0（ ） A．当n＞m时，仅有零解 B．当n＞m时，必有非零解 C．当m＞n时，仅有零解 D．当m＞n时，必有非零解
正确答案：D
解析：因为AB是m阶矩阵，且r（AB）≤min{r（A），r（B）}≤min{m，n}，所以当m＞n时，必有r（AB）＜m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项D正确。 知识模块：线性代数
20． 设f(x)连续可导，g(x)连续，且=0，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x一t)dt，则( )．
A．x=0为f(x)的极大点 B．x=0为f(x)的极小点 C．(0，f(0))为y=f(x)的拐点
D．x=0既不是f(x)极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点
正确答案：C
解析：由∫0xg(x～t)dt=∫0xg(t)dt得f’(x)=一2x2+∫0xg(t)dt，f”(x)=一4x+g(x)，因为所以存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，即当x∈(一δ，0)时，f”(x)＞0；当x∈(0，δ)时，f”(x)＜0，故(0，f(0))为y=f(x)的拐点，应选(C)． 知识模块：微积分
21． 设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP＝B，则( )． A．A，B合同 B．A，N相似
C．方程组AX＝0与BX=0同解 D．r(A)＝r(B)
正确答案：D
解析：因为P可逆，所以r(A)＝r(B)，选(D)． 知识模块：线性代数
22． 下列矩阵中，正定矩阵是（ ） A． B． C． D．
正确答案：C
解析：二次型正定的必要条件是：aij＞0。在选项D中，由于a33=0，易知f（0，0，1）=0，与x≠0，xTAx＞0相矛盾。因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项A中，二阶主子式在选项B中，三阶主子式△3=|A|=一1。因此选项A、B、D均不是正定矩阵。故选C。 知识模块：线性代数
23． 设X1和X2是任意两个相互的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1（x）和f2（x），分布函数分别为F1（x）和F2（x），则（ ）
A．f1（x）+f2（x）必为某一随机变量的概率密度 B．F1（x）F2（x）必为某一随机变量的分布函数 C．F1（x）+F2（x）必为某一随机变量的分布函数 D．f1（x）f2（x）必为某一随机变量的概率密度
正确答案：B
解析：由题设条件，有F1（x）F2（x）=P{X1≤x}P{X2≤x}=P{X1≤x，X2≤x}（因X1与X2相互）。令X=max{X1，X2}，并考虑到P{X1≤x，X2≤x}=P{ max（X1，X2）≤x}，可知，F1（x）F2（x）必为随机变量X的分布函
数，即FX（x）=P{X≤x}。故选项B正确。 知识模块：概率论与数理统计
24． 设A是n阶实对称矩阵，将A的第i列和第j列对换得到B，再将B的第i行和第j行对换得到C，则 A与C( )
A．等价但不相似。 B．合同但不相似。 C．相似但不合同。
D．等价，合同且相似。
正确答案：D 解析：对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设AEij=B，EijB=C，故C=EijB=EijAEij。 因Eij=Eij；=Eij-1，故C=EijAEij=Eij-1AEij=EijTAEij，故A与C等价，合同且相似，故选D。 知识模块：二次型
25． 设A是n阶方阵，且A3=O，则 ( ) A．A不可逆，且E—A不可逆 B．A可逆，但E+A不可逆
C．A2一A+E及A2+A+E均可逆 D．A不可逆，且必有A2=O
正确答案：C
解析：A3=O，有 E3+A3=(E+A)(A2一A+E)=E， E3一A3=(E一A)(A2+A+E)=E，故A2一A+E及A2+A+E均可逆，由以上两式知，E—A，E+A也均可逆，故(A)，(B)不成立，同时 (D)不成立，例： 知识模块：线性代数
