第4章-波动方程法叠前深度偏移4

本节首先从Helmholtz方程出发，从方法原理上推导出了频率-空间域有限差分（FXFD）方法、Fourier有限差分（SSF）方法、分步Fourier（FFD）方法（相屏（PS）方法）和扩展的局部Born近似（ELBF）的广义屏（GS）方法。然后从常速和变速脉冲响应角度对比这几种偏移方法。最后从计算效率、方法精度和稳定性等方面综合评价了以上各偏移方法。

一．几种波动方程偏移算子在方法原理上的统一

前面的第三节到第六节依次讲述了FXFD方法、SSF方法、FFD方法和GS方法等几种叠前深度偏移方法。既然它们都是基于单程波波动方程的，那么这几种偏移方法必然存在一定联系。在这里，我们把慢度场分解为常数参考慢度和慢度扰动（假设慢度扰动比慢度背景小得多）两部分。这样，慢度扰动可以视为波场传播过程中的二次源。下面从非均匀介质的Kirchhoff-Helmholtz积分形式（由波动方程的Green函数解法得到）出发，依次推导出GS偏移算子、PS偏移算子或SSF偏移算子（Stoffa, 1990; Wu & de Hoop, 1992; Wu & Huang, 1992, 1996, 1998），FXFD偏移算子和FFD偏移算子（Ristow & Rühl, 1994）。从而使本章中的几种波动方程叠前深度偏移方法在某种意义下统一起来。

均匀介质中的齐次Helmholtz方程为：

2u2s2u0 （4-169）

式中，为圆频率，ss(XT,z)为介质慢度，XT为水平坐标（横向坐标），u为波场的频率域形式。如果将慢度场分解为仅随深度变化的参考慢度和层内的慢度扰动，则有：

s(XT,z)s0(z)s(XT,z) （4-170）

把（4-170）式代入（4-169）式，可得到非均匀介质中的Helmholtz方程：

22u2s0uF(XT,z,) （4-171）

其中，源项定义为：

sF(XT,z,)22s0(z)s(XT,z)12su(XT,z,) 4-172）

0对（4-171）式沿XT做空间Fourier变换，得到：

2u2kz0uF(KT,z,) （4-173） 2z222s0KT。按地震波场的叠加原理，对于正向传播的波

其中，垂直波数定义为：kz0场，方程（4-171）的解可以写成背景波场u0和散射波场us之和：

uu0us （4-174）

其中，

u0(KT,zz,)u(KT,z,)e

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ikz0z （4-175）

按波动方程的Green函数解法可得到散射场：

zz

us(XT,zz,)s220dzG(XzT,z,)F(XT,z,)dXT (4-176)

下面分几种情况加以讨论：

1．GS偏移算子、PS偏移算子或SSF偏移算子的推导。如果Green函数采用常速介质中的Green函数，则有：

G(XT,z,)iikz0ziKTXTee （4-177） 2kz0如果在屏近似条件下，由de Wolf近似和局部Born近似，并做薄板近似，散射场有如下形式：

ikzzi2zi1us(KT,zz,)k0dze0dXTeKTXTF(zis,XT)zi2kz0（4-178）

其中，k0s0。在运算中为了避开奇点，对

k0做Taylor展开： kz0k01KT213KT41()()...kz02k024k0(2n1)!!KT2n1()!k0n1(2n)!再利用近似： e1，则（4-174）式可进一步写成：

 （4-179）

u(KT,zz,)uphase(KT,zz,)ucomp(KT,zz,) （4-180）

其中，

uphase(KT,zz,)eikz0zFXT(eiszu(XT,z,)) （4-181a）

ucomp(KT,zz,)Aeikz0zFXT(isz)u(XT,z,) （4-181b）

式中，

A(2n1)!!KT2n() （4-182） !k0n1(2n)!式（4-180）即为我们所说的广义屏偏移算子，如果在小角度近似（

k0

1，即A0）条kz0

件下，补偿项可以忽略，则得到相屏偏移算子或分步Fourier偏移算子：

u(KT,zz,)eikz0zFXT(eiszu(XT,z,) （4-183）

2．FXFD偏移算子的推导。如果Green函数采用第一类Hankel函数，则有：

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G(XT,z,)这样，下行波向下延拓的表达式可表示为：

iikz0z （4-184） e2kz0u(KT,zz,)u(KT,z,)eikz0zzzzez0dzF(KT,z,) （4-185）

2ikz0ikz对（4-185）式做积分处理得到（Rühl, 1995）：

122u34xxxis0122ss... u （4-186） 2244zs02s08s0由ss0(1s)，整理（4-186）式可得： s0u1214xxis(1...)u （4-187） 2244z2s8s上式由Pade展开得到常规的45单程波方程（Clearbout, 1985）：



20.52x2us)uis(1 （4-188）

2z10.252x2s第三节中的绕射项方程正是具有45方程的形式，只是其中的系数经过了优化处理。到此我们从Helmholtz方程出发，得到了频率-空间域的有限差分偏移算子。

3．FFD偏移算子的推导。对于（4-187）式，中括号中的第一项与相应的有限差分方程的差异为：

212121xx(p1)x （4-1a） 2s2s02s其中，ps/s0。中括号中的第二项与相应的有限差分方程的差异为：

4141412xxx()()(p1)(pp1)83s383s0383s3 （4-1b）

设KT/s，由（4-1）式进一步整理（4-186）式得到其频散关系：

12p2p14p1k1pk(p1)(p1)p(kk) （4-190）

28222（4-190）式正好对应付立叶有限差分偏移算子。

纵上所述，FXFD、FFD、SSF和GS算子均可从Helmholtz方程出发，经过波动方程的

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Green函数解法推导出来。由此说明几种叠前深度偏移算子在原理上是可以统一起来的。

二．几种波动方程叠前深度偏移算子的比较

尽管本章中的几种波动方程叠前深度偏移方法在Kirchhoff-Helmholtz积分意义下是可以联系起来的，但它们还是存在许多差异，这些差异决定这些方法各有特点。

波动方程有限差分偏移中波场正向传播和反向传播的矩阵随层内横向速度的变化而调整，因此该类算法能自动适应速度场的任意变化。但通常用做波场延拓算子的单程波方程总是存在偏移倾角。为了改善这类算子的精度，即使所用的单程波方程在垂向附近较大角度内能够较准确地描述地震波的传播特征，通常采用的办法是采用优化系数的单程波方程，使其阶数尽量低，偏移倾角又尽量高。

Fourier类偏移方法的优势在于无偏移倾角，计算效率高。但为了提高其适应速度场横向变化的能力，通常是把速度场分解为常速背景和横向变速扰动，在频率-波数域相移处理（针对常速背景）的基础上增加对速度扰动的校正处理。由于速度横向变化在空间坐标中才能直观地反映出来，因此对扰动的补偿处理一般在空间域实现。由此发展出来了一系列双域偏移算法，如分步Fourier偏移、Fourier有限差分偏移和广义屏偏移等。分步Fourier算法（或相屏算法）作为广义屏算法的一种小角度近似，从理论上讲，在较小的传播角度范围内才是准确的，但这种方法比较稳健，计算方便，而且可以解决大多数地质体的成像问题。广义屏算法本身是在物理上基于薄板近似和屏近似条件，并借助于一系列的数学近似方法得到的，在速度场变化剧烈时并非绝对稳定，故该方法在处理复杂地质体成像问题时往往要依据速度场的实际情况做一些计算上的调整。Fourier有限差分偏移算法结合了相移偏移和有限差分偏移方法的优点，对复杂地质体成像具有非常好的效果。

1．几种波动方程叠前深度偏移算子的脉冲响应比较

为了直观地比较以上几种偏移算法，我们把这些算法各自的脉冲响应（常速和变速）放在一起。图4-47为背景速度和介质速度相等的常速情况，图（a）、（b）、（c）、（d）、（e）和（f）分别对应常规45方程有限差分偏移算子、优化系数的45方程有限差分偏移算子、Fourier有限差分偏移算子、分步Fourier偏移算子、相屏偏移算子和扩展的局部Born近似的广义屏偏移算子的常速脉冲响应。从图中（a）、（b）对比可以发现：优化系数处理可以提高有限差分偏移算子的偏移倾角；图（c）、（d）、（e）和（f）形状特征几乎完全一样，说明Fourier有限差分偏移算子、分步Fourier偏移算子、相屏偏移算子和扩展的局部Born近似的广义屏偏移算子在常速介质条件下是等价的。有限差分偏移算子的脉冲响应与另外几种算子的脉冲响应相比较，明显存在频散问题和偏移倾角。变速的脉冲响应如图4-48所示，此时c0.75v，扰动程度为50%，图（a）、（b）、（c）、（d）、（e）和（f）分别对应常规45方程有限差分偏移算子、优化系数的45方程有限差分偏移算子、Fourier有限差分偏移算子、分步Fourier偏移算子、相屏偏移算子和扩展的局部Born近似的广义屏偏移算子的变速脉冲响应。与图4-47相比较，除了图4-47a、图4-47b分别与图4-48a、图4-48b基本相同外，图4-48的其它脉冲响应与图4-47的对应脉冲响应存在明显差异。这说明有限差分偏移算子能够自动适应速度的横向变化。从这一点上讲，有限差分方法具有其它方法所不具备的优势。而从图4-48c、4-48d、4-48e和4-48f可以发现：在变速条件下，分步Fourier偏移算子（相屏偏移算子）的精度不及Fourier有限差分偏移算子和扩展的局部Born近似的广义屏偏移算子。Fourier有限差分算子是相移算子加上有限差分补偿项，其脉冲响应的特性比图4-48b还好。图4-48f为扩展的局部Born近似的广义屏偏移算子的变速脉冲响应，其脉冲响应曲线与理论曲线吻合程度最好，但由于该算法不是绝对稳定的，在速度变化剧烈时计算不收敛

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（如图（f）底部强的阴影）。

从计算效率的角度来看，分步Fourier偏移算子（相屏偏移算子）、有限差分偏移算子、扩展的局部Born近似的广义屏偏移算子和Fourier有限差分偏移算子的运行速度是递减的。本节统计了几种偏移方法在计算同等条件下的变速脉冲响应的CPU时间，如表4-1所示。

表4-1 几种偏移算法变速脉冲响应测试所耗CPU时间

偏移方法 脉冲响应的CPU时间 (秒) FXFD 31 SSF (PS) 28 FFD 60 GS (ELBF) 48

2．复杂介质中的多值走时现象及Kirchhoff偏移存在的问题和克服办法

为了说明Kirchhoff偏移在复杂地质构造（如Marmousi模型）地震成像中存在的困难，这里特别补充了Marmousi模型中的脉冲响应的数值结果（由Fourier有限差分算子得到）。如图4-49所示，图（a）、（b）和（c）分别为Marmousi模型横向第150、200和250道的脉冲响应，每道置有三个脉冲。从图上可以看出：平稳沉积区波场传播方式较为简单，但在速度场或构造复杂区域，多值走时或多路径现象很明显，在穿过这些区域时，波前存在分支。常规的Kirchhhoff偏移只考虑了初至波，没有考虑续至波，这样很难俘获所有波前分支的能量信息，因而它在复杂地质条件下难以取得较好的成像效果。Marmousi模型的Kirchhoff偏移结果可以证明这一点。图4-50为常规Kirchhoff积分偏移剖面，可见模型浅、中、深各部分的成像效果都很差。图4-51为Kirchhoff积分法逆时偏移结果，它虽然比常规Kirchhoff积分偏移效果要好一点，但浅层三套断层断面不清晰，中部的隆起内部细节模糊，而深层的低速体也没有成像出来。另外，Kirchhoff积分偏移振幅严重失真。第三章给出的改进型Kirchhoff积分偏移方法在地质构造地震成像的效果上有了明显提高（见图3-8a），基本达到了波动方程FFD法叠前深度偏移的构造成像效果（见图3-8b）。但是，在三大断裂、盐丘（隆起）和深部高速体，尤其是低速目的层的保幅性上不如波动方程的FFD法（比较图3-8a和图3-8b）。这与所用方法（与FFD等波动方程法和全格林函数法相比）没有考虑续至波等有效能量密切相关，这一点对强纵横向变速的复杂介质情况尤为明显。目前，基于全格林函数法（考虑了续至波等有效能量），研究使用有限差分计算走时的高效方法已成为可能，加之Kirchhoff积分法在实用性上易于实现相对保幅处理。因此，Kirchhoff法叠前深度偏移有着广阔的应用前景。另外，随着各种波动方程叠前深度偏移方法和算法的进一步成熟和完善以及并行机和微机集群在地震处理中的广泛应用，波动方程法叠前深度偏移在复杂构造成像和岩性保幅成像中将会有很好的应用前景。

3．几种波动方程叠前深度偏移算法的Marmousi模型偏移试验

前面几节分别详细介绍了各种波动方程叠前深度偏移算法的Marmousi模型偏移结果，这里把它们选出来放在一起，以方便对比。图4-52（a）、（b）、（c）和（d）依次为频率-空间域优化系数的单程波方程有限差分偏移、Fourier有限差分偏移、分步Fourier（相屏）偏移和扩展的局部Born近似的广义屏偏移的结果。总体看来，几种偏移方法在构造成像方面都基本达到了预期的效果。频率-空间域有限差分法与Fourier有限差分法偏移对振幅的保持做得较好。但有限差分偏移剖面的信噪比较其它剖面要低，这主要受制于旁轴近似方程的精度和差分频散等因素的影响。广义屏偏移在小角度近似下的相屏（分步Fourier）偏移也取得了不错的结果。图4-52d为扩展的局部born近似的广义屏偏移结果，它采用的延拓步长比前几种偏移方法的延拓步长小一倍，而且参与计算的高频成分也略有减少。该方法的偏移结果还没有达到最佳效果，还有待于进一步改进。也就是说，本章的数值试算中Fourier有限差分偏移对复杂地质体的成像效果最好。

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三．讨论与结论

通过本章各节的详细讨论，我们可以得出如下结论：有限差分偏移算法在对速度场横向变化的适应能力方面明显优于其它几种算法，我们通过提高方程的阶数或优化方程的系数，从而增大算子的偏移倾角；另外，通过在差分计算中尽量减轻频散影响，可进一步挖掘该类偏移算法的潜力。分步Fourier（相屏）算法具有稳健、高效的优点，但在构造复杂区域，相位误差和振幅误差都很大，因此该类算法可用于复杂地质体成像初期，作粗略的叠前深度偏移处理用。目前，各种数值试验都表明，Fourier有限差分偏移算法是复杂地质体成像效果最好的算法，它可用于精细的叠前深度偏移成像处理。广义屏算法也具有非常高的成像精度，但为克服其非绝对稳定的缺点，一般做减少高频成分的处理或减小延拓步长，这显然还是不得已的选择。因此，该类算法还有待于进一步优化改进。目前，已有效果较为明显的几种改进和优化算法。

虽然本章仅进行了二维的数值试验，但是几类基于共炮集的叠前深度偏移方法的推导都是按三维情况进行的。也就是说它们都可以推广到三维的叠前深度偏移之中。上面所有偏移算子可直接应用于基于共炮集的三维叠前深度偏移。为了适应野外三维数据采集的特点，可在共方位角道集（较适合海上观测方式）或共炮检距道集中进行三维叠前深度偏移计算，这时需要对以上偏移算子做相应的调整。

(a) 常规45方程FXFD法 (b) 优化45方程FXFD法



(c) FFD法 (d) SSF法

(e) PS法 (f) ELBF法 图4-47 几种波动方程叠前深度偏移算子的常速脉冲响应

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(a) 常规45方程FXFD法 (b) 优化45方程FXFD法



(c) FFD法 (d) SSF法

(e) PS法 (f) ELBF法

图4-48 几种波动方程叠前深度偏移算子的常速脉冲响应(c/v0.75)

(a) (b)

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(c)

图4-49 Marmousi模型的脉冲响应图(多路径现象)

图4-50 Marmousi模型的Kirchhoff积分偏移结果

图4-51 Marmousi模型的Kirchhoff逆时偏移结果

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(a) 频率-空间域有限差分法叠前深度偏移结果

(b) Fourier有限差分法叠前深度偏移结果

(c) 分步Fourier(相屏)法叠前深度偏移结果

(d) 广义屏法叠前深度偏移结果

图4-52 几种偏移方法Marmousi模型的叠前深度偏移剖面

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