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第二节 空间几何体的表面积和体积
考点一 几何体的表面积
1．(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3π
B．4π
C．2π＋4
D．3π＋4
解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：
S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2
＝π＋2π＋4＝3π＋4. 答案 D
2.(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
1212
A．1＋3
B．2＋3
C．1＋22
D．22
解析 由空间几何体的三视图可得
1
该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S表＝2××2
2×1＋2×答案 B
3．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) A．36π
B．π
C．144π
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32
×(2)＝2＋3，故选B. 4
D．256π
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解析 如图，要使三棱锥O－ABC即C－OAB的体积最大，当且仅当点
C到平面OAB的距离，即三棱锥C－OAB底面OAB上的高最大，其最
11112
大值为球O的半径R，则VO－ABC最大＝VC－OAB最大＝×S△OAB×R＝××R32321322
×R＝R＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR＝4π×6＝144π，选C.
6答案 C
4．(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．54
B．60
C．66
D．72
解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角11
三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S＝×3×4＋
222＋52＋5
×3×5＋×5＋×4＋3×5＝60.选B.
22答案 B
5．(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
A．90 cm C．132 cm
22
B．129 cm D．138 cm
2
2
解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成1
(如图)，其表面积为S＝3×5＋2××4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋
22×4×6＋3×6＝138(cm)． 答案 D
6．(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长
2
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为2，则该球的表面积为( ) A.81π
4
B．16π
C．9π
D.27π
4
9222
解析 设球的半径为R，由题意可得(4－R)＋(2)＝R，解得R＝，所以该球的表面积481π2
为4πR＝.故选A.
4答案 A
7．(2014·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋3 C．21
B．18＋3 D．18
解析 根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而132
得到的，根据三视图可知其表面积为6(2－×1×1)＋2××
2472
(2)＝6×＋3＝21＋3.故选A.
2答案 A
8．(2012·安徽，12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
解析 由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，故该几何122体的表面积为S＝2××(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋4＋（5－2）]×4＝92.
2答案 92
考点二 几何体的体积
π
1．(2015·山东，7)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD2
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绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π 3
B.4π 3
C.5π 3
D．2π
解析 如图，由题意，得BC＝2，AD＝AB＝1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体． 1522
所求体积V＝π×1×2－π×1×1＝π.
33答案 C
2．(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
1
A.＋π 3
2
B.＋π 3
1
C.＋2π 3
2
D.＋2π 3
1112
解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×1×2＋××1×2×1＝π＋
2321
，选A. 3答案 A
3．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
1A. 8
1B. 7
1C. 6
1D. 5
解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD－A1B1C1D1被过三点
A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A－A1B1D1，设
正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
VAA1B1D1VB1C1D1＝
VAA1B1D1VA1B1C1D1ABCDVAA1B1D1＝
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112
××1×1321
＝，选D.
11532
1－××1×1
32答案 D
4．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的新工件的体积
利用率为(材料利用率＝)( )
原工件的体积
A.8 9π
3
3
16B. 9π
4（2－1）12（2－1）C. D.
ππ
122
解析 易知原工件为一圆锥，V1＝πrh＝π，设内接长方体长、宽、高为a、b、c，
33欲令体积最大，则a＝b.由截面图的相似关系知，c＋a＋b＝2，即c＋2a＝2， ∴V长方体＝abc＝ac＝a(2－2a)，
423
设g(a)＝2a－2a，则g′(a)＝4a－32a＝0，令g′(a)＝0，解得a＝，所以令a32＝
16
时，V长方体最大为，
27324
2
2
2
2
16
V长方体278∴＝＝.故选A.
V12π9π
3答案 A
5．(2014·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π
3
B．4π
C．2π
D.4π 3
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解析 如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC＝2，∴对角面ACC1A1为正4π
方形，∴外接球直径2R＝A1C＝2，∴R＝1，∴V球＝，故选D.
3答案 D
6．(2014·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县
张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L12
与高h，计算其体积V的近似公式V≈Lh.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近
3622
似取为3.那么，近似公式V≈Lh相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
75A.22 7
B.25 8
C.157 50
2
D.
355 113
121L2Lh7525
解析 圆锥的体积V＝πrh＝πh＝，由题意得12π≈，π近似取为，
332π12π28故选B. 答案 B
7．(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
17
A. 27
5B. 9
10C. 27
1D. 3
解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2 cm，高为4 cm；另一个圆柱的底面半径为3 cm，高为2 cm.则零件的体积V1＝π×2×4＋π×3×2＝34π(cm)．而毛坯的体积V＝π×3×6＝54π(cm)，因此切削掉部分的体积V2＝V－
3
2
3
2
2
V220π10
V1＝54π－34π＝20π(cm3)，所以＝＝.故选C.
V54π27
答案 C
8．(2012·新课标全国，11)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上， △ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
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A.2 6
B.3 6
C.2 3
D.2 2
解析 如图，H为△ABC的外接圆圆心，则∠BHC＝120°，设△ABC的外接圆半径为r，
则1＝BC＝HC＋HB－2HC·HB·cos 120°＝3r， ∴r＝
3. 3
2
2
2
2
连接OH，根据球的截面性质知，
OH⊥平面ABC，
∴OH＝OC－CH＝∵O为SC的中点，
26
∴S到平面ABC的距离为2OH＝，
312613262
∴VSABC＝S△ABC×＝××＝. 333436答案 A
9．(2015·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．
112222
解析 设新的底面半径为r，由题意得πr·4＋πr·8＝π×5×4＋π×2×8，解
33得r＝7. 答案
7
2
2
16
1－＝. 33
10．(2014·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它
S19V1
们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
S24V2
解析 设圆柱甲的底面半径为r1，高为h1，圆柱乙的底面半径为r2，高为h2.
S1πr29r131
由题意得＝2＝，∴＝.
S2πr24r22
又∵S甲侧＝S乙侧，即2πr1h1＝2πr2h2，
h1r22
∴＝＝， h2r13
故＝V1S1h1S1h1923
＝·＝×＝.
V2S2h2S2h2432
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3答案
2
11.(2013·江苏，8)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，
AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积
为V2，则V1∶V2＝________.
解析 由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4. 1
AF·S△AED3
因此V1∶V2＝＝1∶24.
2AF·S△ABC答案 1∶24
12．(2012·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m.
3
解析 由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m，3 m，1 m的长334方体，底部为两个直径为3 m的球．故该几何体的体积为V＝6×3×1＋2×π×＝3218＋9π(m)． 答案 18＋9π
13．(2012·湖南，18)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，
3
AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积．
解 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，
E(2，4，0)，P(0，0，h)．
→
(1)证明 易知CD＝(－4，2，0)，
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AE＝(2，4，0)，AP＝(0，0，h)．
→→→→
因为CD·AE＝－8＋8＋0＝0，CD·AP＝0，
所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. →→
(2)由题设和(1)知，CD，PA分别是平面PAE，平面ABCD的法向量． 而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等， →→→→
所以|cos〈CD，PB〉|＝|cos〈PA，PB〉|， →→→→CD·PBPA·PB
即＝.
→→→→|CD||PB||PA||PB|→
由(1)知，CD＝(－4，2，0)， →
→
PA＝(0，0，－h)．又PB＝(4，0，－h)，
→→
－16＋0＋00＋0＋h故2＝2 25·16＋hh·16＋h
85
解得h＝.
5
1
又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥PABCD的体积为
2
2
V＝×S×PA
1851285＝×16×＝. 3515
13
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