投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ １６３ ｃｏｒｎ 数学教学通讯（教师版） ……一一～一ｌ…一 …试题研究＞知识延伸 ｎ（ｎ＞１ ３）边形面积的最小值 田富德 福建大田第一中学３６６１００ 峨外 奶确 小 概 圆 圆外切，ｌ（，ｌ≥３）边形面积的 下凸函数，则有ｓ晰日＝ｒ２∑ｔａｎＯ￣＞ｔｒ２ｘｎ× 学教材４—１几何证明选讲． 最小值 将椭圆豢＋吾＝１（ｎ＞６＞０）按ｃ。ｓ ＝ 如图１，ｎ（ｎ≥３）边形启Ｉ ２… 外切于 ｔ ｆ＼ｎ ｉ一 窆 １＝ｌ ／ ＝ ｔ ，ｎ 当且仅当０１＝ ： 投影到圆柱底面．则底面圆为椭圆在底面 圆Ｏ，边曰 。（ ＝ｌ，２，…，ｎ）（其中曰 表示 …＝ ，即ｎ（ｎｔ＞３）边形ＢｌＢ２…Ｂ 为圆０的 的射影．且半径为ｂ．口。）与圆Ｏ相切于点Ａ，利用切线的性质 外切正多边形时等号成立． 将椭圆的外切ｎ（ｎ≥３）边形Ｂ Ｂ：…Ｂ 知 Ａ ＯＢｌ＝ＬＡ ｌＯＢｌ， Ａ ｌＯＢ２＝ＬＡ ２ＯＢ２， 于是我们有如下定理： 投影到底面为ｎ（ｎ＞１３）边形Ａ ２…Ａ ，易 …Ａ ＯＢｉ＝ Ａ，ＯＢ，，…， Ａ 一ｌＯＢ，＝ 定理１圆的外切ｎ（ｎ≥３）边形的面积 知ｎ（ｎ＞－．３）边形 ：… 外切于底面圆． ， ＬＡ ＯＢ．，设厶４，ＯＢ，－Ｏ￣（ｉ＝Ｉ，２，…，ｎ），则有 由定理ｌ得，圆的外切ｎ（ｎ＞－－３）边形 ３３＂ ｎｔａｎ—的最小值与圆的面积之比为— 一． Ａ ２…Ａ 的面积最小值为Ｓ ＝ｂｅｎｔａｎ ，由 惭，０＜ ． ＃Ｉ 射影面积可得，椭圆的外切ｎ（ｎ＞ｔ３）边形 椭圆外切，ｌ（，ｌ≥３）边形面积 Ｂｌ曰２… 的面积最小值为Ｓ＝ ＿＝ ｃｏｓＯ 曰 的最小值 ６ ｔ．ｄｎ Ａ ２ 引理如图２所示．圆柱形物体的斜截 ＝ ｎｔａｎ ． ｂ ｎ 口２ 面为椭圆．若截面与圆柱底面所成的角为 ，椭圆的长半轴ＯＡ＝ａ，短半轴ＯＢ－－ｂ（即为 于得我们有如下定理： 圆柱底面半径），则 。 皓 ． 定理２椭圆的外切ｎ（ｎ≥３）边形的面 图１ ｎｔａｎ 设圆０半径为ｒ，则Ａ ＝ｒｔａｎ０ （ １，２， 积的最小值与圆的面积之比为— ． ２×｛ ×ｒ）＝ ｌ４ 结合定理１及定理２有： ，ｎ），从而ｓ％ ＝ （ｃ 定理３封闭二次曲线的外切ｎ（ｎ≥３） ｔａｎ 边形的面积的最小值与封闭二次曲线的 图２ ｎｔａｎ．—．— Ｉ￣ｔｙ－ｔａｎｘ， ∈（ｏ，号）的图象知其是 弓Ｉ理证明参见新课标人教版高中数 面积之比为— ０４５
