小学奥数裂项公式汇总资料

裂项运算常用公式

一、分数“裂差”型运算

(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

1形式的，这里我们把较小的数写在前面，ab即 a＜b，那么有: 1ab111ba(ab)

(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：

1n(n1)(n2)121n(n1)1(n1)(n2)

1n(n1)(n2)(n3)131n(n1)(n2)1(n1)(n2)(n3)

二、分数“裂和”型运算

常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） abab11abababba

a2b2a2 （2）

ababb2ababba

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”

分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或 凑整

三、整数裂项基本公式

(1)

122334......(n1)n13(n1)n(n1)

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(2) 123234345......(n2)(n1)n

1(n2)(n1)n(n1) 411 (3) n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)

332 n(n1)nn

11 (4) n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)

44

(5) nn!(n1)!n!

裂项求和部分基本公式

11111n......1.求和： Sn 12233445n(n1)n1

1111111111n 证：Sn(1)()()()( )12233445nn1n1n1

2.求和：Sn

证：Sn

3.求和：Sn

11111111111 证：Sn(1)()()()

34347371033n23n111n (1)33n13n11111n 1447710(3n2)(3n1)3n111111n 13355779(2n1)(2n1)2n11111111111111n (1)()()()(1)2323525722n12n122n12n1

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4.求和：Sn 证：Sn111111111(1) 13243546n(n2)32n1n211111111111111(1)()()()() 232242352462n1n11111111 ()(1)

2nn232n1n2 5.求和：Sn 证：因为

1111111 123234345n(n1)(n2)22(n1)(n2)1111[]，

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)Sn

111111111()()[]21223223342n(n1)(n1)(n2)

111[]22(n1)(n2)

特殊数列求和公式

123nn(n1) 2123（n1）n（n1）321n2 1357（2n1）n2

1222n2n(n1)(2n1)

62n(2n1)(2n1)n(4n21)135（2n1）

3322212n12n3332n2n1 42

平方差公式 a2b2(ab)(ab)

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完全平方和（/差）公式 (ab)2a22abb2

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