第二节 任意角的三角函数
知识点
1．利用单位圆定义任意角的三角函数
如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； yy
(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0)． xx
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．
yxy2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
rrx2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 3.三角函数的定义域
4.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z. 5.三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
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6.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠kπ＋π
2，k∈Z)．
同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式： sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. (2)tan α＝sin α
cos α的变形公式：
sin α＝cos αtan α；cos α＝sin α
tan α.
题型一：三角函数的定义
【例1】已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010
x，求sin θ，tan θ.
【例2】已知角α的终边上一点的坐标为sin 2π3，cos 2π
3，则角α的最小正值为(A.5π6 B.2π5π11π
3 C.6 D.6 【过关练习】
1.角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－3
5，则b的值为( )
A．3 B．－3 C．±3 D．5
2.已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；
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)
3.已知角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α的值．
题型二：三角函数在各象限的符号
【例1】判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．
【过关练习】
1.若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 2.若tan x<0，且sin x－cos x<0，则角x的终边在( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
题型三：诱导公式一的应用
【例1】求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； 11π12π
－＋cos·tan 4π. (2)sin65
【过关练习】
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1.求下列各式的值： 15π25π
－； (1)cos＋tan43(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
2.求下列各式的值．
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.
题型四：三角函数线的应用
1
【例1】在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合．
2
【例2】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥
【例3】求下列函数的定义域．
313；(2)－≤cos θ<. 222
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(1)f(x)＝sin x·tan x； (2)f(x)＝lg sin x＋9－x2.
【过关练习】
1
1.根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cos α＝；(2)tan α＝－1.
2
ππ
2.如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
42A．cos α3.求函数f(x)＝1－2cos x＋lnsin x－
2的定义域． 2
4.设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( ) A．a5.若0<α<2π，且sin α<ππA．(－，)
335π
C．(，2π)
3
B．b31，cos α>，则角α的取值范围是( ) 22
π
B．(0，)
3
π5π
D．(0，)∪(，2π)
33
题型五：同角三角函数关系的应用
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8
【例1】已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
17
【例2】已知tan α＝2，求下列代数式的值． 4sin α－2cos α(1)； 5cos α＋3sin α
111
(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α. 432
1
【例3】已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，求：
5(1)sin θ－cos θ； (2)sin3θ＋cos3θ.
【过关练习】
4
1.已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
3
sin θ＋cos θ2.已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
sin θ－cos θ3333A. B．± C. D．－ 41010103.已知sin α＝
5，则sin4α－cos4α的值为( ) 5
1313A．－ B．－ C. D. 55554.已知tan α＝3，求下列各式的值．
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(1)
3cos α－sin α
；
3cos α＋sin α
(2)2sin2α－3sin αcos α.
5.已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)． (1)求sin3θ＋cos3θ的值； 1
(2)求tan θ＋的值．
tan θ
题型六：三角函数化简
【例1】若α是第三象限角，化简
2sin xcos x－1tan x－1
【例2】求证：＝.
cos2x－sin2xtan x＋1
【过关练习】
1
1.化简：2－
cosα1＋tan2α
sin α－cos α＋11＋sin α
2.证明：＝；
cos αsin α＋cos α－1
1＋sin α
(α为第二象限角)．
1－sin α
1＋cos α
＋1－cos α
1－cos α
.
1＋cos α
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课后练习
【补救练习】
1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限
D．第二、四象限
2.设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则2sin α＋cos α的值为( A.25 B.222
5或－5 C．－5 D．与a有关 3.判断下列各式的符号：
(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan－23π
4；
4.在[0,2π]上，满足sin x≥1
2的x的取值范围为( )
A.0，π6 B.π，5π66 C.π2π6，3
D.5π6，π
5.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)： (1)sin 24
3π________sin 5π；
(2)cos 23π________cos 45π；
(3)tan23π________tan45π.
6.已知α是第四象限角，cos α＝12
13，则sin α等于( )
A.513 B．－55513 C.12 D．－12
【巩固练习】
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) 1.已知角的终边上一点P(m,2)，且|OP|4，则tan＝__________。 2.已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 3.sin(－1 380°)的值为( )
1133A．－ B. C．－ D. 2222
4.已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为 ． 5.已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值． 3π
6.如果<θ<π，那么下列各式中正确的是( )
4A．cos θπx－的定义域为( ) 7.函数y＝tan3π
A.x|x≠3，x∈R
π
B.x|x≠kπ＋6，k∈Z
5π
C.x|x≠kπ＋6，k∈Z
5π
D.x|x≠kπ－6，k∈Z
8.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝ .
9.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( ) 4534A．－ B. C．－ D. 34451
10.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值是( )
53344A. B．－ C. D．－ 4433
【拔高练习】
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1.函数ysinx|cosx|tanx的值域是_________。
|sinx|cosx|tanx|2.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．
3．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝ . π
0，时，求证：sin α<α5.已知＝，求下列各式的值．3sin θ＋5cos θ115cos2θ
(1)2； sinθ＋2sin θcos θ－3cos2θ(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
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