1_高考数学经典--平面向量四心问题-学生版

高考数学平面向量经典练习

奔驰定理：

图1已知O是ABC内的一点，BOC,AOC,AOB的面积分别为SA，SB，SC，则：

SAOASBOBSCOC0图2证明：如图2，延长OA与BC边相交于点D，则

BDSABDSBODSABDSBODSCDCSACDSCODSACDSCODSBOD

DCBD

OBOC（来自B、C、D共线时，由关系式BCBCOBOC）ODOB（1-）OC可得，或者令BD=BD，CD，则有OD

所以，OD

DCBD

OBOCBCBCSSCSBOBOCSSSBCBC

ODSBODSCODSBODSCODSA

OASBOASCOASBOASCOASBSCOD

SASBSCOA（OA与OD方向相反，加负号）

12020年高考数学专题复习讲义教师：



SASBSCOA

SCSBOBOCSBSCSBSCSAOASBOBSCOC0推论:

O是ABC内的一点，且xOA

yOBzOC0，则

SBOC:SCOA:SAOBx:y:z有此定理可得三角形四心向量式

1.O是ABC的重心

SBOC:SCOA:SAOB1:1:1OAOBOC02.O是ABC的内心

SBOC:SCOA:SAOBa:b:c

aOAbOBcOC03.O是ABC的外心

SBOC:SCOA:SAOBsin2A:sin2B:sin2Csin2AOAsin2BOBsin2COC04.O是ABC的垂心

SBOC:SCOA:SAOBtanA:tanB:tanCtanAOAtanBOBtanCOC0证明：如图O为三角形的垂心，tanA

CDCD

tanA:tanBDB:AD,tanB

ADDB22020年高考数学专题复习讲义教师：

SBOC:SCOADB:AD

SBOC:SCOAtanA:tanB同理得SCOA:SAOBtanB:tanC，SBOC:SAOBtanA:tanCSBOC:SCOA:SAOBtanA:tanB:tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一一、三角形的重心

1.三边中线的交点

2.

AGBGCG2

。（连接DE，由△DEG∽△BCG，相似比1:2可得此结论）GFGEGD1x1x2x3y1y2y3。，333.A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则G结论来源：向量法。AF

21

ABAC，AGAF，G（x，y）然后将向量采用点坐标23xxxyyy

表示出来，代入两式即得123，123.

334.重心G的向量表达：GAGBGC0。

1

若GO是ABC的重心，则SBOCSAOCSAOBSABC（以△ABC各边为底时，

31

AGC，BGC,AGB的高是ABC对应底上高的），故GAGBGC0,

31

PG(PAPBPC)G为ABC的重心.

31

5.P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心PG(PAPBPC).

3证明：

PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC)

∵G是△ABC的重心

32020年高考数学专题复习讲义教师：

∴GAGBGC0AGBGCG0，即3PGPAPBPC

1

由此可得PG(PAPBPC).（反之亦然（证略））

3

6.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足



OPOA(ABAC)，(0，)，则P的轨迹一定通过△ABC的重心.

二、三角形的垂心

1、H是ABC的垂心HAHBHBHCHAHC

若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则故tanAHAtanBHBtanCHC02、H是面内任一点，HAHBHBHCHCHA点H是△ABC的垂心.

由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC,同理HCAB，HABC.故H是ABC的垂心.（反之亦然（证略））

3、P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的垂心．



由PAPBPBPC，得PB(PAPC)0，即PBCA0，所以PB⊥CA．同理可证PC⊥AB，PA⊥BC．

∴P是△ABC的垂心．如图1.

图1图

4、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

42020年高考数学专题复习讲义教师：

ABAC，(0，OPOA)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．ABcosBACcosC

三、三角形的内心

1、O是ABC的内心的充要条件是

ABACBABCCACBOAOBOC0ABACBABCCACB引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是ABC的内心的充要条件可以写成

OAe1e3OBe1e2OCe2e302、O是ABC的内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC0。3、若O是ABC的内心，则SBOC:SAOC:SAOBa:b:c

故

aOAbOBcOC0或者sinAOAsinBOBsinCOC0;4、已知O为△ABC所在平面上的一点，a，b，c分别为A，B，C的对边．满足

aOAbOBcOC0，则O是△ABC的内心．

∵OBOAAB，OCOAAC，则由题意aOAbOBcOC0

）c（OAAC）0可得，aOAb（OAAB

（abc）OAbABcAC0即得，

AB∵bABcACACABABACACAB

AB

ACAC

ABAC

，=bc

ABAC

ABACbcbc．（bABcAC）∴AOABAC（abc）（abc）

52020年高考数学专题复习讲义

ABAC

∵与分别为AB和AC方向上的单位向量，ABAC∴AO与∠BAC平分线共线，即AO平分BAC．

教师：

同理可证：BO平分ABC，CO平分ACB．从而O是△ABC的内心，如图。5、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABAC

OPOA)，则动点P的，(0，

ABAC

轨迹一定通过△ABC的内心．

ABAC

由题意得AP，

ABAC



)时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，∴当(0，故动点P的轨迹一定

通过△ABC的内心，如图。

6.所在的直线为三角形角A平分线。

7.角平分线定理：

△ABC中，AD是角平分线（如图1），则证明如图1所示

（或者，等面积比，即

=

S△ABDBDAB

）

S△ACDCDAC

62020年高考数学专题复习讲义教师：

极化恒等式

1ab[(ab)2(ab)2]=AM2-BM2极化恒等式：

4极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和

11

ab[|AD|2|BC|2]|AM|2|BM|2，如对角线”与“差对角线”平方差的，即：

44图：

证明：

|AD||ab||AD|2(ab)2|a|22ab|b|2|BC||ab||BC|2(ab)2|a|22ab|b|2以上两式相减得：

4ab(ab)2(ab)21ab[(ab)2(ab)2]4如图所示，由极化恒等式易得：ABACAMBM22四、三角形的外心

1.ABC中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）2.O是ABC的外心OAOBOC,若O是ABC的外心则

SBOC:SAOC:SAOBsinBOC:sinAOC:sinAOBsin2A:sin2B:sin2C

故sinAOAsinBOBsinCOC0。

2

3.已知O是△ABC所在平面上一点，若OAOB2OC2，则O是△ABC的外心．

222222若OAOBOC，则OAOBOC，∴OAOBOC，则O是△ABC的外心，

72020年高考数学专题复习讲义

如图1。

教师：

图1

图2

3、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OBOCABAC，(0，OP)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的

ABcosBACcosC2



外心，如图2。

题型、三角形的“四心”

重心常见练习题



1.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC)，

(0，)，则P的轨迹一定通过△ABC的(

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

).

2.O是△ABC所在平面内一点，动点P满足

∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

8（λ∈（0，+

）

2020年高考数学专题复习讲义教师：

3.已知△ABC和点M满足MAMBMC0.若存在实数m使得ABACmAM成立，则m=（

）

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知G点为△ABC的重心，且AGBG，若

112tanAtanB

tan

，求实数的值。内心常见练习题

1.（2003年全国高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足

OPOA(ABACABAC)，0,，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（

）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

2.在四边形ABCD中，ABDC1,1，BABA

BCBC3BDBD，则四边形ABCD的面积为_______.

92020年高考数学专题复习讲义教师：

3.已知O为△ABC所在平面上的一点，a，b，c分别为A，B，C的对边．满足

aOAbOBcOC0，则O是△ABC的（

A．外心

B.内心

C.重心

）

D.垂心

4.若三个不共线的向量OA，OB，OC满足

ABCABACBBCCAOAOBOC0，则O是△ABC的（

ABCABACBBCCA

）

A．外心B.内心C.重心D.垂心

外心常见练习题

1.已知O是△ABC内的一点，若

A．外心

B.内心

C.垂心

，则O是△ABC的〔〕.D.重心

2.已知O是△ABC所在平面上一点，若OAOBABOBOCBCOCOACA0，则O是△ABC的（

A．外心

）

C.重心

D.垂心

10B.内心

2020年高考数学专题复习讲义教师：

cosBcosC

ABAC2mAO，则3.已知O是锐角△ABC外接圆的圆心，且∠A=，若

sinCsinBm=_______.

4.已知M是△ABC所在平面内一点，N是BC边的中点，如果2AMBCAC-AB，则直线MN一定通过△ABC的（

A．外心

B．内心

）

D．垂心

22C．重心

垂心常见练习题

1.O是△ABC所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA，则O是△ABC的(

A．外心B．内心

C．重心

D．垂心

)

2.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OABCOBCAOCAB，则点O是三角形ABC的（

（A）外心

）

（C）重心

（D）垂心

222222（B）内心

112020年高考数学专题复习讲义教师：

3.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABAC，(0，OPOA则动点P的轨迹一定通过△ABC的()，ABcosBACcosC

)．

A．重心B．外心C．内心D．垂心

题型：面积问题

1.（2010年辽宁理）平面上O，A，B三点不共线，设（

）A、C、

B、D、

，则△OAB的面积等于

2.（2013北京文）已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足＋μ

(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．

＝λ

3.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA1,2，OB2，若OPxOAyOB-1，且1≤x≤y≤2，则点P所有可能的位置所构成的区域面积为_____.

122020年高考数学专题复习讲义教师：

，

)。

4.(2013安徽理）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足则点集

A.

B.

C.

所表示的区域的面积是(D.

5.点O为△ABC内的一点，且有面积之比为___________.

，则△AOB、△AOC、△BOC的

6.设P，Q为△ABC内的两点，且的面积之比为_____________________.

，，则△ABP的面积与△ABQ

7.设P为△ABC所在平面上一点，且满足3PA4PCmAB（m＞0），若△APB的面积为8，则△ABC的面积为_______.

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