变截面压电智能梁的频率分析

󰀁

机械科学与技术

MECHANCALSCIENCEANDTECHNOLOGYVol.18　No.2　Mar　1999　

变截面压电智能梁的频率分析

*

马治国　闻邦椿　颜云辉　　　JiangZW

　(东北大学　沈阳　110006)　　(TohokyUniversity,Japan)

马治国

摘　要　建立了变截面压电智能梁的动态模型,分析了表面粘贴压电元件的均质梁的固

有频率。在分析中考虑了压电元件和粘结层的影响,同时,还考虑了梁的剪切变形和

转动惯量。研究表明,压电元件的刚度和惯量对梁的频率影响很大,粘结层剪切的弹性模量对一阶频率影响较小;当考虑梁的剪切变形和转动惯量时,则对梁的高阶频率影响较大。

关键词　变截面梁　压电元件　固有频率中图号　TH113

　　引　言

分布式压电传感器和致动器,广泛地应用于自适应结构、振动控制等领域。近期的研究主要集中在振动的控制和抑制[1～4]。Dimitriadis等[3]建立了带有压电元件的二维结构模型,但是他们没有考虑压电元件和粘结层的刚度和惯量。Crawley等[4]建立了表面粘结压电元件的梁结构的静态模型,但他们没有对固有频率进行研究。

本文分析了表面粘贴有压电元件的矩形变截面压电智能悬臂梁的频率特性,建立了包括压电元件和粘结层几何特性和材料特性的变截面压电智能梁的动态模型,在分析中还考虑了柔性梁的剪切变形和转动惯量。1　变截面压电智能梁的模型

式中,󰀁(x,t)是转角;w是梁的横向位移;k是截面形状系数(对于矩形截面k=0.833);G是剪切模量;A为横截面积;L是梁的长度;L1是压电元件的长度。且有

(EI)1=EbIb+EsIs+EzIz　(EI)2=EbIb(󰀂I)1=󰀂I)2=󰀂bIb+󰀂sIs+󰀂zIz　(󰀂bIb

(󰀂A)1=󰀂bAb+󰀂A)2=󰀂sAs+󰀂zAz　(󰀂bAb

其中,下标b、粘结层和压电元件;I是关于s、z分别表示梁、中性轴的惯性矩。注意到,压电元件和粘结层都假定为均质的,它们的材料和几何特性包含在(EI)1、(󰀂I)1、(󰀂A)1中。

取无量纲时间和坐标变量

t=

4

E2I2/(󰀂2A2L)

1/2

t,　x=x/L,w=w/L

则系统的运动方程(1)可化为󰀁4wi󰀁2wi(EI)i(󰀂I)iai+×224+bi2-bi

Lk(GA)iL(󰀂A)i󰀁x󰀁t󰀁4wi(󰀂I)i(EI)i󰀁4wi2

+b󰀁=0i

L4k(GA)i(󰀂A)i󰀁x2󰀁t2󰀁t4L(EI)1(󰀂A)1式中,L=1,a1=,b1=,==1。

L(EI)2(󰀂A)2a2b2

设系统的振动为

j t

wi(x,t)=󰀁i(x)e　i=1,2

(2)

图1　变截面压电智能梁的结构图

(3)

图1所示为上下表面分别粘贴有压电元件的矩形变截面压电智能梁的结构示意图。同时考虑梁的剪切变形和转

动惯量,利用变分原理,可以导出系统的运动方程为

k(GA)i(EI)i

2

󰀁1和󰀁2是模态函数(对应于变截面压电智能梁的两个截面), 是固有频率。式(3)代入式(2)得

󰀁4󰀁󰀁2󰀁ii4

+2(p+q)+(4piqi-!iii)󰀁i=0　i=1,242󰀁x󰀁x(4)

式中,

4

!i=

󰀁2wi󰀁󰀁󰀁2wii--(󰀂A)=0i

󰀁x2󰀁x󰀁t2

2

󰀁󰀁󰀁wi󰀁󰀁i-󰀁I)i2i=0i)-(󰀂2+k(GA)i(󰀁x󰀁x󰀁t

当x∈[0,L1]时,i=1;x∈[L1,L]时,i=2。

(1)

(EI)ibi 2(󰀂I)ibi 2bi 2

,pi=,q=

2aiL2k(GA)ii2aiL2(󰀂A)iai

󰀁国家自然科学基金资助项目(No.59675018)中日合作日本文部省资助项目(No.08045029)收稿日期:19980608第2期马治国等:变截面压电智能梁的频率分析*

・225・

　　模态函数可以写为󰀁i=Ci1cos(∀ix+Ci2sin(∀ix)+Ci3cosh(#ix)+Ci4sinh(#ix)(5)式中,

2421/2∀i=pi+qi+(!i+(pi-qi))421/2#2i=-(pi+qi)+(!i+(pi-qi))

w1(0,t)=0,　󰀁1(0,t)=0　x=0

w1(L,t)=w2(L,t),󰀁1(L,t)=󰀁2(L,t)　x=Lk(GA)1

󰀁w1

-󰀁1󰀁x(EI)1

x=L=k(GA)2

󰀁w2

-󰀁2󰀁x　x=L

x=L󰀁󰀁󰀁󰀁1(L,t)=(EI)22(L,t)　x=L󰀁x󰀁x=0,　

x=1

i=1,2

　　对于悬臂梁,边界条件和连续条件为

󰀁w2

-󰀁2󰀁x󰀁󰀁2

(1,t)=0,　x=1󰀁x图2　无量纲频率与粘结层的厚度和弹性模量的关系

差别是相当大的,特别是对于分布于梁上的压电元件的长

2　分析和讨论

由方程(4)和方程(5),考虑边界条件和连续条件,可以获得变截面压电智能梁的固有频率。截面为矩形8的变截面压电智能梁的前三阶无量纲固有频率(f= L2/2∃(󰀂bAb/

压电元件的厚度比(tb/tz)和长度比(L/L1)的EbIb)1/2)与梁-关系如图2所示。等高度的平面代表相应的等截面梁(即忽

略了压电元件和粘结层的惯量和刚度)的固有频率。对于固定端粘结贴压电元件的变截面压电智能悬壁梁,其一阶固有频率总是高于等截面梁的固有频率。然而,对于第二、第三阶固有频率却不相同。由图可知,在考虑压电元件的刚度和惯量的情况下,变截面压电智能梁的高阶固有频率将随着压电元件厚度的减小和长度的增大而降低。除了压电元件的影响,粘结层厚度和弹性模量对固有频率也有影响。如图3所示,表示了变截面压电智能梁的一阶无量纲固有频率与粘结层厚度和弹性模量之间的关系。从图中可知,变截面压电智能梁的固有频率随着粘结层的厚度近似呈线性变

度较大的情况,变截面压电智能梁的频率总是比等截面梁的高。从图可知,变截面压电智能梁与等截面梁之间的差别随着长度的比减小而增大。

图3　无量纲频率与粘结层的

厚度和弹性模量的关系

化,而弹性模量的变化对其影响不大。

图4表示了厚度比为4时,在考虑了梁的剪切变形和转动惯量时变截面压电智能梁的前三阶固有频率与等截面梁的对比。解析结果表明,考虑梁的转动惯量和剪切变形的变截面压电智能梁的频率比没有考虑时的低。第一阶固有频率之间的差别可以忽略,而在第二、第三阶固有频之间的图4　无量纲固有频率与长度比的关系

(下转第229页)

第2期

参

考

文

献

傅仕伟等:基于仿真的油泵类产品的集成开发

・229・

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5　周新建等.机械产品基于装配语义的变形设计及其在Pro-E上

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6　蒋险峰等.支持Top-down设计的产品数据模型.机械工业自动

化,1997,19(1):17～20

7　王耕耘等.支持自顶向下模具设计的装配建模方法.中国机械

工程,1998,9(1):46～48

FuShiwei　YanJunqi　JiangZuhua

MaDengzhe　GuLiqiang

(ShanghaiJiaotongUniversity,Shanghai200030)Abstract　Thispaperdiscussedtwoimportantsimulations

intheintegrateddevelopingframeworkoffuel-pump-performancesimulationandassemblysimulation.The

physicalmodelandmathematicalmodeloffuel-pump

werecreatedintheperformancesimulationmould.Factorsaffectedperformanceandthesimulationoutputareanalyzedanddiscussed.Anideaabuottop-down

designmethodologyofproductwasdiscussed,aswellasitscreatingsteps.Thedevelopedassemblymodelhasthefunctionsofparametricandfeaturevariable.Italsocancheekstaticanddynamicinterferenceduringassembly.

Keywords　Simulation　Fuelsystem　AssemblyPerfor-mance

TheIntegratedDevelopingModeofFuel-pumpBasedonSimulation(Ⅱ)PerformanceSimulationandAssemblySimulation

(上接第225页)

3　结论

建立了变截面压电智能梁的动态模型,分析了表面粘贴由压电元件的均质柔性梁的固有频率。模型中考虑了压电元件和粘结层的惯量和刚度以及梁的剪切变形和转动惯量的影响。分析表明,变截面压电智能梁的一阶固有频率总是高于等截面梁的固有频率,而高阶固有频率将随着压电元件厚度的减小和长度的增大而降低。考虑梁的转动惯量和剪切变形的智能阶梯梁的频率,比没有考虑时的低。

参　考　文　献

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VibrationandAcoustics,Vol,113,1991

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IntelligentStructures.AIAAJoural,1987,25(10):1373～13055　叶开沅等.非均匀变截面梁的稳定和自由振动的阶梯折算法.

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6　叶开沅等.非均匀变厚度梁的动力响应的一般解.应用数学与

力学,1992,13(9)

7　倪振华.振动力学,西安:西安交通大学出版社,19

FrequencyAnalysisofSection-varying

PiezoelectricIntelligentBeams

MaZhiguo　WenBangchunYanYunhui　JiangZW

(1NorthwesternUniversity,Shengyang　110006)Abstract　Thedynamicmodelofthesection-varyingpiezo-electricbeamswithsurface-bondedpiezoelectricele-mentisdevelopedandthenaturalfrequencyisanalyaed.Intheanalysis,thestiffnessandinertiaofthepiezoelectricelementandbondinglayerareincluedaswellastheshearingdeformationandrotaryinertiaofthebeam.Itisshownthattheeffectsofthestiffnessandinertiaofthepiezoelectricelementonthenaturalfrequencyofthebeamissignificant,andthatofthee-lasticmodulusofthebondinglayerissmall.Theresultalsodenotestheshearingdeformationandrotaryinerti-aofthebeamhavesignificanteffectonthehighfre-quency.

Keywords　Section-varyingbeams　Piezoelectricelement

　Naturalfrequency

1