底部剪力振型分解

工程中的数值分析方法

SHANGHAI UNIVERSITY

工程中的数值分析方法课程论

文

COURSE (THESIS)

题 目:底部剪力法和振型分解反应谱法比较分析

学 院 土木工程系 专 业 建筑与土木工程 学 号 15722 学生姓名 芮 指导教师 朱杰江 日 期 2016年 3月5日

工程中的数值分析方法

底部剪力法和振型分解反应谱法比较分析

朱杰江，

（上海大学，上海，200000）

摘要:工程中，多自由度弹性体系水平地震作用的计算一般采用振型分解反应谱法，在一定的条件下还可以采用简化的振型分解反应谱法即底部剪力法。为验证抗震设计规范对底部剪力法和振型分析法的适用条件和范围的规定，用C++编写Jocabi法程序，对五层均匀、五层非均匀、八层均匀、八层非均匀、十层均匀和十层均匀结构进行了比较分析，证实了规范的正确性，并给出了新的规律。

关键词:抗震；底部剪力法；振型分解法；C++；Jocabi法 中图分类号：TU 443 文献标识码：A

Comparative analysis between equivalent base shear method and modal analysis

method

ZHUJiejiang,Rui Zheng Qing

(Shanghai university,200000)

Abstract: In engineering, the calculation of multi degree of freedom elastic system generally adopts horizontal seismic action model analysis method，under certain conditions can also be simplified by using the model analysis method--bottom shear method.In order to vertify the rule of application conditions and range about bottom shear method and modal analysis method in earthquake resistant design code, this article has compared and analysed five-storey uniform, five-storey nonuniform, eight-storey uniform, eight-storey nonuniform, ten-storey uniform and ten-storey nonuniform structure by Jocabi method through c++ program. The result has confirmed correctness of earthquake resistant design code. And it also give some new regularity. Key words:seismic resistance; bottom shear method; model analysis method; C++; Jocabi method

0引言

进行建筑结构地震反应分析时，首先要确定结构的计算简图，除少数结构可以简化成单质点体系外，大多数建筑结构（如多、高层建筑，多跨不等高厂房）质量分布比较分散，则应简化为多质点体系进行分析。实际的建筑结构其质量一般是连续分布的，因此，严格来说，其动力自由度均是无限的。但采用无限自由度模型一方面计算过于复杂，另一方面也没必要，因为选用有限自由度模型的计算结果已能充分满足一般情况下工程设计的精度要求。因此，对于多高层房屋，一般每层楼面及屋面可作为一个质点，而楼面与楼面（屋面）之间墙、柱的质量则分别向上、向下集结到楼面及屋面质点处[1]。这种多自由度模型即为工程上的层间模型。图1所示为这种层间模型的计算简图，这种简图即所谓的“具有n个质量的悬臂柱”，本文所讨论的即“悬臂柱具有n个质量，比较基底剪力法和振型分解反应谱法的结果”。底部剪力法和振型分解反应谱法是计算多自由度弹性体系水平地震作用的两种最

常用的计算方法，和振型分解反应谱法比较，底部剪力法不需要计算结构的各阶振型和频率，相对比较简单，因此，在求解多自由度弹性体系水平地震作用时应用比较广泛。[2]但是，并非底部剪力法可以适用所有的结构，它有一定的适用范围和条件，《建筑抗震设计规范》给出了适用范围：高度不超过40m、以剪切变形为主，且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构。

图1 层间模型的计算简图

Fig.1 Calculation diagram of inter-layer mode

1

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1底部剪力法

用振型分解反应谱法计算建筑结构的水平地震作用比较复杂，特别是当建筑物的层数较多时不能用手算，必须使用电子计算机。理论分析研究结果表明：若建筑物高度不超过40m、以剪切变形为主且质量及刚度沿高度分布比较均匀的结构，结构振动位移往往以第一振型为主，而且第一振型接近于一条直线。[3]故满足上述条件时，《抗震规范》建议采用底部剪力法。当房屋结构满足下述条件时，可采用底部剪力法计算其地震作用效应。

（1）结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； （2）房屋的总高度不超过40m；

（3）建筑结构在地震作用下的变形以剪切应变为主；

（4）建筑结构在地震作用时的扭转效应可忽略不计。

多质点弹性体系在水平地震作用下任一时刻的结构底部剪力，可根据结构底部剪力相等的原则，将多质点弹性体系用一个与其基本周期相等的单质点弹性体系来代替，这样，根据地震作用及地震剪力的概念，就可以得出多质点弹性体系结构底部剪力的计算公式：

VFEk1Geq （1）

其中，1：相应于多自由度弹性体系基本周期的水平地震影响系数；

Geq：为多自由度体系的等效总重力荷载。

nGeq0.85Gi （2）

i1各质点的水平地震作用表达式为：

FGiHii （3）

nFEk GiHii1采用式（3）求解各质点水平地震作用的前提是该多自由度弹性体系的地震反应应以基本振型为主，且基本振型应接近于倒三角形分布，如图2所示。根据地震作用的概念可知，多自由度弹性体系各质点的水平地震作用与其水平相对位移直接相关，因此为了简化计算，假定结构是以基本振型

平动为主。同时，为了保证多自由度弹性体系的基本振型接近倒三角形，才规定结构高度一般不高于40m，只有这样，才能保证结构以剪切变形为主，减少结构变形中的弯曲变形成分，避免基本振型曲线和倒三角形出入太大。[4]

图2 倒三角形分布

Fig.2 Inverted triangular distribution

同时，当高度超过40m，或者是结构自振周期较大时，结构基本振型的弯曲变形成分将变大，且高振型的影响也不能忽视，使得按底部剪力法计算得出结构顶部的地震作用小于实际值，也就是说此时倒三角形顶部将包不住振型曲线，这种情况下可将结构总地震作用的一部分作为集中力作用于结构顶部，再将余下的部分按照倒三角形分配给各个质点，也就是所谓的顶部附加水平地震作用，如图3所示。[5,6]

图3 顶部附加水平地震作用

Fig.3 The additional horizontal earthquake

FnnFEk （4）

因此，式（3）将变为：

2

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FHiiGi) （5）

nFEk(1nGiHii1其中，n：顶部附加地震作用系数。

表一 顶部附加地震作用系数表 Table 1 The additional seismic coefficient table

Tg(s) T11.4Tg

T11.4Tg

Tg0.35

0.08T 10.07

0

0.35Tg0.550.08T10.01

Tg0.55 0.08T10.02

注：T1为结构基本自振周期。

2振型分解反应谱法

振型分解法的思路是：利用振型的正交性，将

藕联的多自由度运动微分方程分解为若干个彼此的单自由度微分方程，再根据单自由度体系结果分别得出各个方程的解，然后再将各个解组合叠加，得到总的地震反应。[8,9,10]采用柔度法建立振动微分方程

[A]=

：特征向量

N层均匀结构柔度矩阵通式：

经计算，

bh38004I3.4131010mm41212

EI1.10931012kNmm2

适用范围：除上述可以采用底部剪力法以外的建筑

结构，宜采用振型分解反应谱法。[7]

建筑抗震设计规范5.2.2条规定：采用振型分解反应谱法时，不进行扭转耦联计算的结构应按以下规定计算其地震作用和作用效应。

结构第j振型i质点的水平地震作用标准值，应按下列公式计算：

FjijjXjiGi（i=1,2,…,n,j=1,2,…m） （6）

nnjXjiGi/X2jiGi （7）

i1i1其中，Fji：是j振型i质点的水平地震作用标准值； αj：相应于第j自振周期的地震影响系数； Xji：j振型i质点的水平相对位移； γj：j振型的参与系数。

水平地震作用效应（弯矩、剪力、轴向力和变形），当相邻振型的周期比小于0.85时，可按下式确定：

SEKS2j （8）

其中，SEK是水平地震作用标准值的效应；

Sj是j振型水平地震作用标准值的效应，可 只取前2~3个振型。

3用雅可比方法求解基本振型

3.1经典雅可比方法的计算基本步骤

经典Jacobi方法就是用一系列平面转换矩阵，从实对称矩阵A出发，逐次作相似变换而使之对角化，则此对角阵的对角元素就是矩阵A的全部特征值，而且所作正交变换的正交矩阵乘积的各个列向量即为矩阵A的相应的特征向量[11]。 经典Jacobi方法的基本步骤如下：

选定Ak-1的非对角元素的绝对值最大的元素 a（）pqk-1；

计算sinθ和cosθ的值

xa（k-1）

pq （9）

y1(a（k-）1k(1) 2qqapp) （10）

3

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sign(y)

xx2y2 （11）

2 （12） sinsin

2x(112) （13）

#define N 5 #define E 0.000001 #define PI 3.141592657 #define MAXITER 10000

typedef vector dim1Vector; typedef vector dim2Vector; typedef vector dim3Vector; bool QueryArray(dim2Vector Array); 于是平面旋转变换矩阵为：

1p行Qcossinsincosq行1

计算变换之后的Ak

由于对A进行平面旋转变换[Q]时，只是改变A的p行p列和q行q列，所以只需计算Ak的p行p列和q行q列元素即可。

a(k)k1)cos2a(k1)k1)ppa(ppqqsin2a(pqsin2（14）

a(k)a(k1)(k1)k1)qqppsin2aqqcos2a(pqsin2（15）a(k)(k)(a(k1)k1)k1)pqaqpqqa(pp)sincosa(pqcos2（16）a(k)(k)a(k1)(k1)piaipipcosaiqsin(ip,q)（17）a(k)(k)a(k1)(k1)qiaiqipsinaiqcos(ip,q)（18）计算特征向量

x(k)x(k1)(k1)ipipcosxiqsin(i1,2...n)（19）x(k)x(k1)(k1)iqipsinxiqcos(i1,2...n) （20）x(k)x(k1)ijij(i,j1,2...n;i,jp,q) （21）3.2经典雅可比方法的C++程序 程序内容

#include \"stdio.h\" #include \"stdlib.h\" #include \"math.h\" #include \"vector\" using namespace std;

dim2Vector matTran(dim2Vector Array);

dim2Vector matMul(dim2Vector mat1, dim2Vector mat2);

void main() {

int i, j; int count;

bool flag = false;

double A[N][N] = {1267.9, -307.23, 0, 0, 0, -307.23, 710.24, -403.01, 0, 0, 0, -403.01, 927.21, -524.2, 0, 0, 0, -524.2, 770.07, -245.88,

0, 0, 0, -245.88, 245.88}; dim1Vector tempArray(N, 0); dim2Vector Array;

dim2Vector charatMat(N, tempArray); dim2Vector dim2Jac; dim2Vector dim2JacT; dim3Vector dim3Jac; double maxArrayNum; int laber_j, laber_i; double theta;

for(i=0; itempArray.clear(); for(j=0; jtempArray.push_back(A[i][j]); Array.push_back(tempArray); }

count = 0; tempArray.clear();

tempArray.resize(N, 0);

while(countcount++;

4

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dim2Jac.clear();

dim2Jac.resize(N, tempArray);

maxArrayNum = 0; laber_i = laber_j = 0;

for(i=0; iif(i==j) continue;

if(maxArrayNummaxArrayNum = fabs(Array[i][j]); laber_i = i;

laber_j = j; } }

theta =

atanf(Array[laber_i][laber_j]*2/(Array[laber_i][laber_i]-Array[laber_j][laber_j]+E)); for(i=0; idim2Jac[laber_i][laber_i] = dim2Jac[laber_j][laber_j] = cosf(theta/2);

dim2Jac[laber_i][laber_j] = sinf(theta/2); dim2Jac[laber_j][laber_i] = -sinf(theta/2); dim2JacT = matTran(dim2Jac); dim3Jac.push_back(dim2JacT);

Array = matMul(matMul(dim2Jac, Array), dim2JacT); if(QueryArray(Array)) flag = true; }

for(i=0; ifor(i=0; icharatMat = matMul(charatMat, dim3Jac[i]); printf(\"迭代次数：%d\\n\ printf(\"\\n特征值：\\n\"); for(i=0; ifor(j=0; jprintf(\"%lf \ printf(\"\\n\");

}

printf(\"\\n特征矩阵：\\n\"); for(i=0; ifor(j=0; jprintf(\"%lf \ printf(\"\\n\"); } }

bool QueryArray(dim2Vector Array) {

int i, j;

for(i=0; iif(i==j) continue;

if(fabs(Array[i][j])>E) return false; }

return true; }

dim2Vector matTran(dim2Vector Array) {

int i, j;

dim1Vector temp(N, 0); dim2Vector dst(N, temp); for(i=0; idim2Vector matMul(dim2Vector mat1, dim2Vector mat2) {

int i, j, k;

dim1Vector temp(N, 0); dim2Vector dst(N, temp); for(i=0; idst[i][j] += mat1[i][k]*mat2[k][j]; return dst; }

4实例分析

5

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某8层钢筋混凝土框架（如图4所示），集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值为G1=G2=G3=G4=G5=G6=G7=G8=1000kN，柱的截面尺寸为800mmx800mm，采用C40的混凝土，E=32.5kN/mm2，梁的刚度EI=∞，建筑场地为Ⅱ类，抗震设防烈度7度，设计地震分组为第二组，设计基本地震加速度为0.1g，结构阻尼比ζ=0.05。 4.1计算特征值、特征向量

对8层钢筋混凝土框架结构的程序运行结果

图4 八层钢筋混凝土框架

Fig4. Eight-story reinforced concrete frame

图5 特征值和特征向量 Fig5. Eigenvalues and eigenvectors

6

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4.2水平地震作用的计算 求地震影响系数

表2 特征周期值表 单位：s Table 2 The characteristics of periodic table

设计地震分

组 第一组 第二组 第三组

Ⅰ 0.25 0.30 0.35

Ⅱ 0.35 0.40 0.45

场地类别

Ⅲ 0.45 0.55 0.65

Ⅳ 0.65 0.75 0.90

表3 水平地震影响系数最大值αmax

Table 3 The maximum value of horizontal earthquake influence coefficient αmax

地震影响

多遇地震

6度 0.04

设防烈度 7度 0.08（0.12）

8度 0.16（0.24） 0.90(1.20

)

1.40 9度 0.32

罕遇地震 0.50(0.72

)

表4 前三阶振型的特征向量

Table 4 Table feature vector with three modes

X1

0.012

0.1752

0.2554

0.3268

0.38

0.4342

71

5 0.466

0.483

X2

0.2554

0.4342

0.483

0.3871

0.1752

-0.012

-0.3268

-0.4666

图5地震影响系数曲线

Fig.5 Seismic effect coefficient curve

X3

0.3871

0.4665

0.1752

-0.2554

-0.483

-0.3269

0.012

0.4342

7

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根据上述表可知Tg=0.40s及αmax=0.08

122T根据程序运行结果可取前三阶振型进行计算 T1= 0.80783 T2= 0.27234 T3= 0.16719 因为ζ=0.05根据公式可知η2=1, γ=0.9又因为0.18γ

GiX1i1 =

i18

GX2i1ii1=(0.012*1000+0.1752*1000+0.2554*1000+0.3268*1000+0.3871*1000+0.4342*1000+0.4665*1000+0.483*1000)/(0.012*0.012*1000+0.1752*0.1752*1000+0.2554*0.2554*1000+0.3268*0.3268*1000+0.3871*0.3871*1000+0.4342*0.4342*1000+0.4665*0.4665*1000+0.483*0.483*1000)=2.617

γ

8GiX2i2 = i18GiX22ii1

=(0.2554*1000+0.4342*1000+0.483*1000+0.3871*1000+0.1752*1000+(-0.012*1000)+(-0.3268*1000)+(-0.4666*1000))/(0.2554*0.2554*1000+0.4342*0.4342*1000+0.483*0.483*1000+0.3871*0.3871*1000+0.1752*0.1752*1000+(-0.012)*(-0.012)*1000+(-0.3268)*(-0.3268)*1000+(-0.4666)*(-0.4666)*1000)=0.8523

8γ

3 = GiX3ii18G2iX3ii1

=(0.3871*1000+0.4665*1000+0.1752*1000+(-0.2554)*1000+(-0.483)*1000+(-0.3269)*1000+0.012*1000+0.4342*1000)/(0.3871*0.3871*1000+0.4665*0.4665*1000+0.1752*0.1752*1000+(-0.2554)*(-0.2554)*1000+(-0.483)*(-0.483)*1000+(-0.3269)*(-0.3269)*1000+0.012*0.012*1000+0.4342*0.4342*1000)=0.4868

4.3计算各阶振型下的水平地震作用Fij

结构第j振型i质点的水平地震作用标准值，

应

按下列公式计算：

FjijjXjiGi（i=1,2,…,n,j=1,2,…m）

其中，Fji：是j振型i质点的水平地震作用标准值；

j：相应于第j自振周期的地震影响系数；

Xji：j振型i质点的水平相对位移； j：j振型的参与系数。 第一阶振型时各质点地震作用F1i为

F1111X11G1=0.042497*2.617445*0.012*1000=9.913F1211X12G2=0.042497*2.617445*0.1752*1000=19.488

F1311X13G3=0.042497*2.617445*0.2554*1000=28.409

F1411X14G40.042497*2.617445*0.3268*100036.35113F1511X15G5=0.042497*2.617445*0.3817*1000=43.0585F1611X16G6=0.042497*2.617445*0.4342*1000=48.2976F1711X17G7=0.042497*2.617445*0.4665*1000=51.

F1811X18G8=0.042497*2.617445*0.483*1000=53.7258

第二阶振型时各质点地震作用F2i为

F2122X21G1=0.08*0.852341*0.2554*1000=17.415 F2222X22G2=0.08*0.852341*0.4342*1000=29.6F2322X23G3=0.08*0.852341*0.483*1000=32.934F2422X24G4=0.08*0.852341*0.3871*1000=26.395

8

工程中的数值分析方法

F2522X25G5=0.08*0.852341*0.1752*1000=11.946

在任一时刻当某一振型的地震作用达到最大

值时，其他各振型的地震作用并不一定达到最大值，故近似地按下式确定：

F2622X26G6=0.08*0.852341*(-0.012）*1000=-6.07685SEKS2j

F2722X27G7=0.08*0.852341*(-0.3268）*1000=-22.28 F2822X28G8=0.08*0.852341*(-0.4666）*1000=-31.81

第三阶振型时各质点地震作用F3i为

F3133X31G1=0.08*0.486811*0.3871*1000=15.0755

F3233X32G2=0.08*0.486811*0.4665*1000=18.16779

F3333X33G3=0.08*0.486811*0.1752*1000=6.823

F3433X34G4=0.08*0.486811*(-0.2554)*1000=-9.9465

F3533X35G5=0.08*0.486811*(-0.483)*1000=-18.81

F3633X36G6=0.08*0.486811*(-0.3269)*1000=12.73

F3733X37G7=0.08*0.486811*0.012*1000=3.47

F3833X38G8=0.08*0.486811*0.4342*1000=16.90987

4.4各层间地震剪力的计算

按上述方法求出相应于各阶振型j各质点i的水平地震作用Fij后，即可利用一般结构力学的计算方法求解相应于各阶振型时结构的弯矩，剪力，轴力等内力反应及位移反应等地震作用效应，用Sj表示第j阶振型地震作用Fij的作用效应。但结构受地震作用时，各阶振型的地震作用效应一般不会同时发生。

其中，SEK是水平地震作用标准值的效应；

Sj是j振型水平地震作用标准值的效应，可只取前2~3个振型。有静力平衡可得各阶振型下的楼层地震剪力，然后根据“平方和开方”方法（SRSS法）可求得各层间地震剪力为 SEK1=297.48KN SEK2=284.18KN SEK3=262.36KN SEK4=235.29KN SEK5=203.1KN SEK6=165.44KN SEK7=120.4KN SEK8=.69KN

表5 水平地震作用效应组合表

Table 5 Effect of horizontal seismic action combination

table

层数 F1i F F SEK V/2 M 1 9.9131 17.415 15.076 297.48 148.74 371.85 2 19.488 29.607 18.168 284.18 142.09 355.22 3 28.409 32.934 6.8231 262.36 113.18 327.95 4 36.351 26.395 -9.947 235.29 117. 294.11 5 43.059 11.946 -18.81 203.1 101.55 253.87 6 48.297 -6.077 -12.73 165.44 82.72 206.8 7 51.0 -22.28 3.4708 120.4 60.2 150.5 8 55.726 -31.82 16.91 .69 32.345 80.862

9

工程中的数值分析方法

5数据分析与结论

5.1表格分析

表6 质量均匀分布结构底部剪力法和振型分解反应谱法各层剪力值结果对比

Table 6 Comparison of shear force in different layers of quality uniform structure between

equivalent base shear method and modal analysis method

(a )五层框架结构

振型分解反应谱法

底部剪力法

绝对误差

相对误差

层间剪力值

（KN）

（KN） （KN） 1 267.24 284.56 -17.32 0.065 2 242.38 260.83 -18.45 0.076 3 202.35 220. -18.29 0.090 4 168.48 184.67 -16.19 0.096 5

.78

98.

-8.86

0.099

(b)八层框架结构

振型分解反应谱法

底部剪力法

绝对误差

相对误差

层间剪力值

（KN）

（KN） （KN） 1 297.48 312.8 -15.32 0.051 2 284.18 304.7 -20.52 0.072 3 262.36 288.5 -26.14 0.100 4 235.29 2.2 -28.91 0.123 5 203.1 231.8 -28.7 0.141 6 165.44 191.4 -25.96 0.157 7 120.4 142.9 -22.5 0.187 8

.69

86.3

-21.61

0.334

(c)十层框架结构

振型分解反应谱法

底部剪力法

绝对误差

相对误差

层间剪力值

（KN）

（KN） （KN） 1 305.34 315.34 -10 0.033 2 298.25 308.23 -9.98 0.033 3 286.38 296.87 -10.49 0.037 4 274.78 288.34 -13.56 0.049 5 259.84 278. -19.05 0.073 6 242.46 260.58 -18.12 0.075 7 210.68 248.8 -38.12 0.181 8 188.87 228.45 -39.58 0.210 9 140.68 170.83 -30.15 0.214 10

58.

88.26

-29.37

0.499

10

工程中的数值分析方法

表7 质量非均匀分布结构底部剪力法和振型分解反应谱法各层剪力值结果对比

Table 7 Comparison of shear force in different layers of quality non-uniform structure between

equivalent base shear method and modal analysis method

(a)五层框架结构

振型分解反应谱法

底部剪力法 绝对误差 相对误差

层间剪力值

（KN） （KN） （KN） 1 273.24 294.36 -21.12 0.077 2 251.26 268.32 -17.06 0.068 3 210.45 231.34 -20. 0.099 4 173.45 191.34 -17. 0.103 5

73.23

102.34

-29.11

0.398

(b)八层框架结构

振型分解反应谱法

底部剪力法

绝对误差

相对误差

层间剪力值

（KN）

（KN） （KN） 1 303.34 318.23 -14. 0.049 2 291.23 306.34 -15.11 0.052 3 254.56 280.45 -25. 0.102 4 228.45 257.34 -28. 0.126 5 198.34 229.29 -30.95 0.156 6 157.48 188.37 -30. 0.196 7 118.34 137.34 -19 0.161 8

54.23

71.9

-17.67

0.326

(c)十层框架结构

振型分解反应谱法

底部剪力法

绝对误差

相对误差

层间剪力值

（KN）

（KN） （KN） 1 315.45 323.45 -8 0.025 2 302.34 312.28 -9.94 0.033 3 276.78 288. -12.11 0.044 4 267.18 276.78 -9.6 0.036 5 251.34 261.34 -10 0.040 6 234.56 254.56 -20 0.085 7 198.56 228.49 -29.93 0.151 8 178.9 219.45 -40.55 0.227 9 120.45 168.45 -48 0.399 10

48.48

78.45

-29.97

0.618

11

工程中的数值分析方法

5.2数据分析

图6 质量均匀分布剪力相对误差

Fig6. The relative error of the uniform distribution of the shear force

图7 质量非均匀分布剪力相对误差

Fig7. The relative error of the non-uniform distribution of the shear force

（1）高度越大，两种方法的误差越大。

（2）结构越不均匀，两种计算方法误差越大。 （3）结构取5层时，两种计算误差在10%之内，误差可以接受。结构取8层、10层时误差就很大，且随着层数的增加而增加。

（4）对于顶层剪力值，两种计算方法的误差最大。

（5）在计算了的5、8、10层中，底部剪力法算出的剪力都比振型分解反应谱法所计算出的结果要偏大。

5.3结论

振型分解法的思路是：利用振型的正交性，将藕联的多自由度运动微分方程分解为若干个彼此的单自由度微分方程，再根据单自由度体系结果分别得出各个方程的解，然后再将各个解组合叠加，得到总的地震反应。

底部剪力法的思路是：首先计算出作用于结构总的地震作用，即底部剪力；然后将总的地震作用按照一定的规律分配到各个质点上，从而得到各个质点的水平地震作用；最后按结构力学的方法计算出各层的地震剪力及位移。

从以上分析结果可以看出，对于高度小于40m

12

工程中的数值分析方法

（本例中八层以下）的均匀结构，底部剪力法和振型分解法计算结果具有较好的吻合性；而对于高度高于40m的均匀结构，两种算法结果差别较大。因为结构层高到一定程度时，底部剪力法的简化模型与基本振型的差别越来越大，另一方面，由于高阶振型的影响，结构顶部的地震剪力偏小，对其用顶部附加地震作用系数进行调整，而此调整也不能很好的反应实际情况。因此，规范对高度小于40m的均匀规则结构采用底部剪力法和振型分解法均可，而对于一般的高层或非均匀结构采用振型分解法的规定是经济合理的,必要时用时程分析法进行补充。在工程上，处理采用振型分解反应谱、底部剪力法外，对于高层建筑特别是不规则建筑等，还常采用时程分析法计算结构的地震反应。时程分析法在合理性和可靠性方面较反应谱法前进了一大步，但其计算工作十分繁琐，必须借助计算机完成，目前只在一些重要的、特殊的、复制的以及高层建筑结构的抗震设计中应用。

参考文献

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[8] 中华人民共和国国家标准.GB50223-2008建筑抗震设防分类标准[S].北京：中国建筑工业出版社，2008. [9] 中华人民共和国国家标准.GB50010-2010混凝土结构设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社，2010. [10] 陈兴冲.工程结构抗震设计[M].重庆：重庆大学出版社，2001.

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