计算机数学基础答案

一．课后习题参

1．（P30,第1题）求下列极限：（1）lim

2

2

2xx3

2

；（2）lim

x3

x2

1；（3）lim3x

2

4x1；

x

3x

2x1

x

x

2xx

x

2

（4）limx1lim

x

2

9x1x2x1；

（5）x

2

x2

；

（6）lim

x

2

x

3

x

3

；

（（7）lim

x2

2

1x

0

；（8）lim1

2

x

0

xsin

x

.

1x

解：

12

23

1（1）lim

x2

x3

2x2

x

3x

2

2x1

lim

xx

2112

；

3

3

x

x

1

12

13

（2）lim

x2

x1xxx

x

3

2x

2

x

lim

x0x

1

2.112

1

0.；

x

x

（3）lim3x2

2

x24x1

3242121.；

（4）lim

x12x

1

x

2

x1

3

.；

（5）lim

x

2

22x2

x22

20；

x

2

（6）lim

9x

x3

x

3

x

3

lim

3x

3

x

3

limx

3

x3

6.；

2

1

1x

2

（7）lim

x2

xx

0

1

1x

2

limx0

1

1x

2

1

1x

2

x2

1

1x2

limx0

x

2

limx0

11x

2

2；

（8）因为limx

2

sin

12

1x0

0,且x

1，所以limx

0

xsin

x

0.

2．（P30,第2题）求下列极限：

1

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（1）lim

x

tan3xx

0

；（2）lim2sin

n

n

x2

n

1

x

0；（3）lim12x

x

0

x

2

；（4）lim1

x

x

x

.

解：（1）lim

x

tan3x

x

0

3lim

x

sin3x3x

0

.

1cos3x

311

3；

x（2）lim2sinn

n

2

n

1

xsinn

2.xlim

nx

n2

1

x；

2

（3）lim12x

x

0

x

lim

x

0

12x

2x

e；

2

2

2

（4）lim1

x

x

x

x

limx

21

x

2x

2

2

e.

2

3．（P38,第1题）设fx能否补充定义使之连续. 解：limfx

x3函数fx在x若补充f3

lim

x

5xx

3

3

，指出fx的间断点，，求极限limfx

x3

2x

2

5x3x

3

3

lim

x

x32x1x

3

3

lim2x1x3

7.

3处无定义，但在x

7，则能使fx在x

3附近有定义，故x3处连续.

3就是fx的间断点.

4．（P39,第2题）求下列函数的间断点，并指出间断点的类型（1）

1x

2

2

. 1,1;x,x

；

；（2）

xx0,

2

2

12

3x

；（3）

sinxx

2

；（4）y

x1,x3

2x1,x

（5）y

0,x2x1,x

0,0.

解：（1）函数

1x

2

2

1x

2

2

在x2处无定义，但在x

1x

2

2

2的附近有定义，故x2为

的间断点。又因为lim

x2

xx

2

2

，所以x2为第二类无穷型间断点。

（2）函数

13x

2

在x11及x2

2处无定义，但在x11及x2

2的附近均有

2

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

定义，故x1

xx

2

2

1及x2

2都是

xx

2

2

12

3x

的间断点。

因为lim

x

13xx

2

1

212

lim

x

x1x

2xx

12

1

2，所以x1

1为第一类可去型间断点；

又因为lim

x

2

x

2

3x

2

lim

x

2

，所以x2

2为第二类无穷型间断点。

（3）函数

sinxx

在x0处无定义，但在xsinxx

2

0的附近有定义，故x，所以

sinxx

2

0为

sinxx

2

的

间断点。又因为lim

x0（4）y因为limy

x

1

sinx1lim0.x

xx

为第二类无穷型间断点。

x1,x1,3x,x1;

x

limx1

1

0；limy

x

1

lim3x

x

1

2，所以x11为第一类跳跃型间

断点。

2x1,x

0,0,0.

（5）y

0,x2x1,x

因为limy

x

0

x

lim2x1

0

1；limy

x

0

x

lim2x1

0

1，所以x1

0为第一类跳跃

型间断点。5．（P39,第3题）求下列函数的连续区间，并求出指定极限：（1）fx

1

3

2

x3x1

2

，求limfx；

x0

解：fx

3

x

2

3x2

为初等函数，其定义域为D,11,22,.

由基本结论：因为0

,1，1,2及2,是fx的连续区间。

f0

1

3

,1，故fx在x

0处连续，因此limfx

x0

2

.

（2）fx

x

3

x

3

3xx

2

2

x6

3

x3

；，求limfx

x1

fx

3xx

2

2

x6

x

为初等函数，其定义域为D,33,22,.

3

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

由基本结论：因为1（3）fx解：fx

,3，3,2及2,是fx的连续区间。

f1

32.

3,2，故fx在xln2ln2

1处连续，因此limfx

x1

8

x，求limfx.

x

x为初等函数，其定义域为,2是fx的连续区间。

D,2.

由基本结论：因为

8

,2，故fx在x

a

8处连续，因此limfx

x8

arccosx,1b,xx

2

f

8ln10.

x1,1.

6．（P39,第4题）设fx1,x

1,

试确定a,b使fx在x解：（1）因为fx在x即

lim

x

2

1处连续.

1处连续，故limfx

x10

x

limfx

x10

f0.

x10

1a

lim

,b

10

aarccxosb

0.

5

所以，有

7．（P39,第5题）试证方程x解：设fx

f2x

5

3x1至少有一个根介于1和2之间. x

5

x

5

3x1。则fx

3x1在1,2上连续。又f0

1,2使得f

5

31

0，

263x

0，故由根值定理知，存在1至少有一个根

30.即方程

介于1和2之间。

asinx

ba

0,b

0至少有一个不超过ab的正

8．（P39,第6题）证明方程x根. 解：令fx则

fa

xb

asinx

b

b

a1sina0.

（1）若fabab；（2）若fab

0，则方程xasinxb至少有一个不超过ab的正根，为

0，则f0

b

0，且fx

xasinx

b在a,b上连续，

4

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

故根据根值定理，知，存在x

asinx

a,b使得f

asin

b，即方程

b至少有一个不超过ab的正根.

x在x

9．（P51,第1题）用定义求y线方程. 解：（1）y4

lim

x

4处的导数，并求在相应点处曲线的切

fxx

f44

0

lim

x

xx

24

1x

2

14.

0

lim

x

xx

24

xx

22

0

lim

x

0

（二）曲线yx在x4处的切线方程为1

x4

4.

y

10．（P51,第fx解：lim

x0

x

11．（P51,第

2

fx

2题）设f00，f0存在，求lim.

x0

x

fxf0limf0.x0

x0

3题）证明函数

fx

1

xsin,x0,

x0,x0;

在x0处连续但不可导.

1

limxsinx0

x

0

f0，所以fxx

1x

解：（1）因为limfx

x0

fxx

f00

0处连续。

（2）因为lim

x

0

1xsin0

x

limx0

x0

limsin

x

0

不存在，故fxx0处不可

导。

12．（P51,第4题）用导数定义求y解：y

lnx

x

lnx

ln

xxx

lnx的导函数. ln1

xx.

lim

x

y

0

x

limln1

m

0

xx

x（等价替换）lim

x

0

xx

x1.x

1

所以.ylnx

x

13．设一质点做变速直线运动，它的运动方程是

s

t

2

2t3

5

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

求其瞬时速度vt

st2t2.

14．（P59,第1题）求下列函数的导数：（1）y（3）y

3x2x31x3x4xx

2

10；2x

2

（2）y；

（4）y

x

3

3x

5x；

2

5sinx3cosx7；

（5）y

7cosxsin

5

；（6）y1x12x；

2

（7）y

2

x1

1x

1；

（8）y

4x1

x

；

（9）y（11）y解：（1）y（3）y

x2

x

e

.；（10）yxe；

x

xlnx.

6x

4.；（2）y

x

4

3；x

sin

12x

3x

2

3

52x

；

13

1

32x

2

（4）y1

5

1x

2

3

5cosx3sinx；

（5）y

x7cosx

2

1

x

2

7sinx0

12x

3

12xx

12

7sinx；

1x

1x

3

（6）y

4x

3；（7）y

2

x1

.；

（8）y

8x1x

1x

x

2

2

4x8x4x

2

1x

x

2

.；

（9）y

2

x

2e

x

x

xe

2

2

2e

x

2xe

x

xe

2

2e

x

2xxe

x

2

2

e

2x

.；

（10）y

e

x

xe

x

1

xe.；（11）y

x

12x

lnxx.

1x

12x

lnx

1x

.

15．（P59,第2题）求下列函数的导数：（1）y

2x

1；

5

（2）y（3）y1e；

x

ln2x1；

6

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（4）ysin2xsinx2

；（5）y

e

sinx

；

（6）y

arcsinx；（7）yarccos1

x；

（8）y

arctanx2

；

（9）yln

x

lnx；

2

（10）ylnx

1x

2

；（11）y

lntan

x2

.；

（12）ysinxcosx

2

.

解：（1）y52x1

4

2x1

102x14

.；（2）y1x

1

e

x

e

.21

e

x

21ex

；

（3）y1

2

2x12x12x1

.；（4）y

sin2x

sinx2

；

y

sin2x

sinx

2

cos2x.2xcosx

2

x

2

2cos2x

2xcosx2

；

（5）ye

sinx

esinx

sinxe

sinx

cosx；

（6）y

1

x

11x2

2x1x

.；

（7）y

111111

1x

1x

2

.；

xx

2

1

x

2

1x

2

（8）y

1x

2

2x1

x

22

1x

4

.；

（9）y

11

2

lnxlnx

12.1x2lnx.

1

x

.；

（10）y

lnx1x

2

11

2x1x

1

x

2

.

21

x

2

1

x

2

（11）y

lntan

x1

x1

22

.secx.xtan

xtan22

tan

x222

7

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

cos

x1

2

x12.11

1x.

tan

x.sec2.2sinx.12x22

2cos

2

2sinxxsinx

csc2cos

2

2

22

（12）y

2sinx.cosxcosxsinx.sinx.2x

cosx

22

sin2x.cosx

2

2xsin2x..sinx

2

..

cosx

22

16．（P63,第1题）求下列方程所确定的隐函数的导数dydx：

（1）yxylny；（2）y

1xey

；（3）y

x

siny；（4）y

a

x

arctany

sin2；（5）x2

y

e

2x

siny；（6）xsiny

e

y

e

x

0.

解：

（1）方程两边同时对x求导，得：

dyy

2

dx

y

xdy1dydydx

y.dx，故dx

y1x

1

yyxy1

.

（2）方程两边同时对x求导，得：

dyy

dye

y

dx

e

y

xe

dx

，故

dydx

1

xe

y

.

（3）方程两边同时对x求导，得：

y

1cosy.

dy1dx

，故

dydx

1cosy

.

（4））方程两边同时对x求导，得：

dyx

x

1dy

dy

alna

1y2ax

lnadx

alna

1y2.

dx，故dx

1

1y

2

.

1y

2

（5）方程两边同时对x求导，得：

x2xy

x

2

dy2x

dy2xy2e2dx

2e

cosy.

dydx

，故

dx

cosy

x

2

.

（5）方程两边同时对x求导，得：

x

2xy

x

2

dydx

2e

2x

cosy.

dy2e22xydx

，故

dydx

x

2

cosy

.

（6）方程两边同时对x求导，得：

8

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

x

sinyx

coysdy

y

dydx

.

e

dx

.e

x

，故0.

dye

siny

dx

x.cosy

e

y

.

17．（P63,第2题）用对数求导法求下列函数的导数：

1

（1）yxx

；（2）ylnxx

；

（3）xy

yx

；

（4）y

1xe

x

arccosx

.

解：

1

（1）y

xx两边取对数，得

lny

lnx

x

.

上式两边同时关于x求导

，得

11lnxyy

x

2

.

所以

1

2

y

xx.

1lnx1

x

2

xx

1lnx.

（2）y

lnxx

两边取对数，得lny

xlnlnx.

上式两边同时关于x求导

，得

11

yy

xlnlnx

x.

1lnx.x

所以

y

lnx

x

xlnlnx

1lnx

.

（3）xy

yx

两边取对数，得ylnx

xlny

上式两边同时关于x求导

，得

lnx.

dydx

y.1lnyx.1dy

x

y.

dx

所以

9

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

ydylnyxxylnyy

2

dx

lnx

xxylnxx

2

.

y

x

（4）y

1xe

arccosx两边取对数，得

lny

1xex

1arccosx2

ln1xxlnarccosx

上式两边同时关于x求导

，得

111y.dydx

21

x

1

1

arccosx

.

11x

2

所以

dy1dx

y.1

1

21x

1

1arccosx.

1x

2

11xe

x

2

x

12

arccosx1x

1x2

.

arccosx

18．（P63,第3题）求下列参数方程确定的函数的导数dy

dx：（1）

xet

,y

te

2t

；

（2）

xcossin,y

sin

cos.

；

（3）

x1t2

,；（4）

x

ft,y

arctant.

ytf

t

ft.

其中ft0.

解：

（1）因为

dydtte2t

t

e

2t

2te

2t

e2t

12t；

dxt

t

t

dtee.dydydxdx

dte3t

dt

12t.

（2）因为

dydcossinsinsincoscos;dxd

sin

cos

cos

cos

sin

sin.

所以

10

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

dydydxcosdx

d

dsin

cot.

（3）x

1t2

,

；

y

arctant.

因为

dydtarctant1t

1t2;dx1dt1t

2

1t

2

2

1t

2

tt

21t

.

1t

2

所以

dydydx1t1dxdtdt

1t

2

1t

2

t1t

2

.

（4）xft,y

tf

tft.其中ft0.

因为

dy

dttftft

t

fttftfttft

dx

dtftt

f

t.

所以dydydxtftdx

dt

dt

f

t

t.

19．（P63,第4题）求下列函数的二阶导数：（1）yxe

x2

；

（2）ylnxx

2

a

2

；

（3）y2x2lnx；

（4）y

tanx；

（5）y1x

7cosxsin

5

；

（6）y

1

x12x；

解：（1）y

e

x2

xe

x2

2

e

x2

xe

x2

2x

e

x1

2x2

.；

y

2xe

x

2

12x2

.e

x

2

2x

4x4x3

ex

2

.

（2）y

11

2x1

；

x

x

2

a

2

2x

2

a

2

x

2

a

2

11

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

3

y

1

1

2

a

2

2

.2x

x

x

2

a

2

2

x

x

2

a

23

.

（3）y4x

1

；y1x

4

x

2

.

（4）ysec2

x；y2secxsecx

2sec2

x.tanx.

（5）y13

5sinx；y2

2x

2

734x

7cosx.

（6）y

2x

2

3x

1；y

4x3；y4.

20．（P63,第5题）求下列函数的n阶导数的一般表达式：

（1）yeax；（2）y2xx

1

12x

；（3）yxe；（4）y

x

2

2x8

.解：（1）y

e

ax

e

ax

ax

aeax

；y

aeax

aae

ax

a2

eax

；

归纳可得：y

n

aneax

.

（2）y

1

112x

1

12x

1

；

y0

112x2

.2

12

.2.1

2x

2

；

y12

.22.1

2x3

.2

13

.22

.212x3

；

y

13

22

.2

312x4

.2

14

23

.2.31

2x

4

；

归纳可得：y

n

1

n1

2n

.n!1

2x

n1

.

（3）

yxe

x

xe

x

ex

xe

x

1xex

;y

1xe

x

1

xex

1

x

e

x

e

x

1

xe

x

2

xex

;

归纳可得：

y

n

n

xx

e.

12

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（4）y

1x1616

16

2

11

x

12

1

1616

2x8

1

6x41

2

x4

1

x2

1

yx4x21x4

2

16

1x2

2

;

y1x

16

3

1x

16

2

2

16

12x4

3

16

12x2

3

;

y12x412x2

3

16

123x4

4

16

123x2

4

;

归纳可得n1y1

6

16

1

n

2

n!

1x4

nx4

n1

16

n1

12nx2

4

1

n1

x

3

2

.

21．（P71,第1题）设y的y,dy，及解：y

y2x

3

2x3x4，计算在x3处dx分别取1,0.5,0.1,0.01时

y3x

dy.4，x0x

fx0

3.；yf3f4

f3

fx

x

6x

2

3.

fx0.x51.x

51；51.x51.x51.x

25.5；5.1；0.51.f3.x

51x.

fx0

f3.dy71，dy

1．当x2．当x3．当x4．当x

1时，y0.5时，y0.1时，

y

f3.5f3.1f3.01

f3f3f3

30.25，dy5.28，dy0.51，dy

0.01时，y

22．（P71,第2题）对指定的x和dx，求dy.（1）y（2）y

x

2

5,x

6

2

3

1,dx,dx

2

0.01；0.05.

cosx,x

3x

解：（1）y5

x

2

5

6xx

2

5.

13

2

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

y1216.dy

ydx|x1

dx

0.01

2160.012.16.

（2）ysinx；y

6sin

6

0.5.

dy

ydx|x

0.50.050.025.

dx60.05

23．（P71,第3题）求下列函数的微分：

（1）y1

x2x；

（2）yxsin2x；（3）y

x；（4）y

ln2

1

x.

x

2

1

解：（1）y

1211

11x

2

2.x

x

2

x

.

dyydx

11x

2x

dx.（2）y

sin2xx2cos2xsin2x

2xcos2x.

dy

ydxsin2x2xcos2xdx.1.x

2

1x

2x

（3）y

2x2

1

12

.

x

2

1

x

2

1x

2

1

dyydx

1dx.

x

2

1x

2

1

（4）y

2ln1xln1x

2ln1x

11

x

1

x2

ln1xx1

.

dyydx2ln1x

x1

dx.

24．（P71,第4题）求下列函数在指定点处的线性逼近：（1）ysinx,x

0；

（2）y

1x,x

0；

（3）y

1

1x

2,x1.

解：利用公式fxfx0

fx0.x

x0.，得

（1）y

sinx,x

0

14

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

y

sin0cosx|x0.x

1121

x,x

x.

（2）y

y

1

0；.x0

1

12x.

|x

x

2

x

（3）y

12

2x1

2

|

x1

.x1

12

12

x1.

25．（P71,第5题）用微分求下列函数的近似值：（1）36.1；（3）sin59

0

（2）5245；

；

36

0.1

36

1215

（4）ln1.05.

解：（1）36.1

|

x

x

.0.136

6

112

0.16.008.

（2）245

55

2432

5

243

.5

1x

4

|

x243

2

3

（3）sin59

0

11

.4.253

sin60

0

3.00493.

0

1sin

3180

sin

3

cosx|x

.

3

180

32

（4）ln1.05

12

.

180

0.857.

010.05

0.05.

200mm，中心角

55.

0

ln10.05

1

.0.05ln1|x1

x

26．（P71,第6题）某厂生产一种扇形板，要求半径R

.如果测量弦长l时的误在检验产品时，一般用量弦长的办法来间接测量圆心角差l0.1mm，问由此引起的中心角的测量误差是多少？解：根据余弦定理

cos

R

2

R2R

22

l

2

.

故

arccos

R

2

R

22

l

2

2R

arccos

2200

2

2

l

2

2200

.

又当R200mm，

55时，l

0

2R

2

2R.cos.

15

2

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

l

2所以

d

200

2

.l

22002

l

2

1

2200

2

22002

22002

.cos200

2

.

1sin.

21cos1.0.1

1

200

.

sin

2000

.

1cos

2

0.00056(rad)155.

27．（P82,第1题）求下列函数的单调区间：（1）fx2x

3

3x

2

36x16；

（2）fx2x

8x

(x0)；

（3）fxx2

x

1x

2

；（4）fx

xe.

解：（1）（一）D,（二）fx6x

2

6x366x2x3.

（三）令f

x

0

x1

2,x2

3,无不可导点.

（四）列表判断：

x

(

,2)

2,33,

f

x

—

fx

（2）（一）D0,

；（二）

fx

2

82x2x2

x

2

x

2

.

（三）令fx0，得x12（舍）x2

2.

（四）列表判断：

x

0,2

2,

f

x

fx

16

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（3）fx

x1x

2

（一）D,；

（二）

fx

1.1x2

x.2x

1x1x1x

22

1x

22

.

（三）令fx

0，得x11，x2

1.

（四）列表判断：

x,1

1,1

1,

fxfx

（4）fxx2ex

.

（一）D,

（二）fxx2xe

x

（三）令f

x0

x1

0,x2

2,无不可导点.

（四）列表判断：

x

(

,0)

0,22,

f

x

fx

28．（P82,第2题）求下列函数的极值：（1）fxxln1

x；

（2）fxx1x；2

（3）fx

x

tanx；（4）fx

x1

3

x

52

.

解：（1）fx

x

ln1x

（一）D1,

；（二）

fx

1

1x1x

1x.

（三）令fx0，得x

0.（四）列表判断：

17

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

x

1,000极小0

0,

f

fx

x

（2）fx（一）D（二）f

x

x1x

,1;

1

121x

;0

x

3

.在x1处不可导（舍）. 4340 5极大

4

34

（三）令f

x

（四）列表判断：

x

(

x

3,)4

,1

f

fx

—

（3）fx

xtanx

,

（一）D；

1sec2x

0,故fx

x

tanx在D

,

（二）因为fx所以fx（4）fx（一）D（二）f

xx

内单增，

tanx无极值。x1

23

x5.

2

,

23

;

x1

13

.x5

13

2

x1

23

.2x5

83

x1

13

x5

13

x

12

;

2

x13

83x1

.x5

.x5

x5

x

12.

3x1

2

x13

.x54x2

13

18

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（三）令f

x0

x1

12

,x2

5..在x1处不可导.

（四）列表判断：

x

(

,1)

11,

12

120

81394

4

12

,550

5,

fx

不存在

fx

极小

0

极大极小

0

29．（P82,第3题）利用二阶导数求下列函数的极值：（1）fx

2x2ln4x；（2）fx

0,xx,xx

ln22

2e

x

x

e.

1x

2.x1x

x

解：（1）（一）D

（三）令f（四）f

（2）（一）D

（三）令f（四）f

;（二）f0

x

21;

1.在x

1x

0处不可导（舍）20，所以f12e

x

2

2.因为，fx

;（二）f02e

x

24ln2为极小值. 1.;

e

x

e

x

2e

2x

x

x

ln2

.2

ln22

22

0，

e.因为，f

所以f22为极小值.

30．（P84,第1题）确定下列函数的凹向区间与拐点：（1）fx（3）fx解：（1）fx

（一）D（二）f

x

2x

3

3x

1

2

x1；

（2）fx（4）fx

x

ln1

1x

；

x

2

12

e2x

3

2

x

2

；3x

2

.

x1；

,

2

6x6x1，fx12x612x

12

.；

19

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（三）令f

x0x

12.无二阶不可导点.

（四）列表判断：

x

(

,112

)

122

,

f

x

0 fx拐点

12

,1

2）fx

x

1x

.（一）D,00,；（二）fx1

1x

2

.，f

x

2x

3

.；

（三）令f

x0无解.在无x0处二阶不可导.

（四）列表判断：

x

(

,0)

0(0,)

f

x

不存在fx

间断点

3）fx

11

x2

2

2

e

（一）D

,

；

2

fx

1x2

（二）1x2

2

e

2

x

2

2

xe

2

；

2

fx

1xx2x2

2xe

2

12

e

2

xxe

2

1x

2

2

x1x1e2

（三）令fx

0，得x1

1,x2

1.无二阶不可导点.

20

（（22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（四）列表判断：

x

,1

10

1,110拐1,

12e

1,

fx

拐

2

fx1,

12e

（4）fx

ln1x.

,

（一）D（二）

fxfx

（三）令f

；1

2

1x21x

x

2

2x1x

2

；

2

2

2x.2x

22

21x1x

1,x2

1xx

22

.

0，得x1

1.无二阶不可导点.

（四）列表判断：

x

,1

10拐

1,ln2

1,110拐1,ln2

ax

3

1,

f

fx

x

31．（P84,第3题）确定a,b的值，使1,3是函数fx解：fx

3ax

2

bx的拐点.

2

2bx；f

f1axa

3

x6ax6a

2

2b.0.

a

b

3

由拐点的必要条件知：又由于1,3是曲线y①，②联立可解出：

2b

①②

bx上的点，故有：f132,b

92.

32．（P84,第4题）求下列曲线的渐近线：（1）y（3）y

1x1

；

（2）y

xx

2

x3

2x

；

x

2xarctan.

2

21

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

解：（1）因为lim

x

1x1

0，故曲线y

1x1

1x1

有一条水平渐进线y

1.

0；

又因为lim

x1

1x1

xxx2

2

x

，故曲线y

x3

有一条铅直渐进线x

xxx2

（2）因为lim

2xx1，故曲线y

2

x3

2x

有一条水平渐进线y

x2

1；

又因为lim

及lim

x，故曲线y

x有两

x2

x

2x

3

x

3

x

2x

3

x

2x

3

条铅直渐进线x2及x3.

（3）y

2xarctanx

2

.

因为limx

2xarctan

x2

，故曲线y

2x

arctanx

2

无水平渐进线；

又因为无间断点，故曲线y2xarctanx

2

也无铅直渐进线.

32．（P97,第1题）画出面积等于下列极限的平面区域，并用定积分表示下列极限：

n

n

（1）lim

n

4ntanilim

3i1

4n

（2）n

i1

n

1

3in

.

解：

n

（1）lim

i4

n

tanxdx

lncosx4i1

4n

tan

4n

0

|

0

ln

212

2

ln2.

n

3n

（2）lim

3n

n13i1i1

n

lim

3n

i1

ni.3n

0

1xdx

3330

1xdx

0

1xd1x

2

323

1x|

140

3

.n

33n

另解：4lim

n

lim

13i1

n1in

n

i1

ni.3n

1

xdx

41

xdx

23

4

3

x

2

|

141

3

.33．（P97,第2题）利用定积分的几何意义与性质计算下列定积分：

3

1

2xdx0

3

（1）1

；

(2).31

9x

2

dx;(3).

0

3x5dx.

解：3（1）

1

1

2xdx在几何上表示一个梯形的面积为

372

3110.

22

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

(2).

03

19xdx

0

2

03

1dx

03

9xdx

3；

9.4

2

其中

在几何上表示一个矩形的面积，为1dx3

3

0

9

xdx则表示圆x

22

y

2

9在第二象限部分的面积，为

故(3).

30

03

19xdx

530

2

9

3.

4

353

3x5dx

530

53xdx53xdx

其中53xdx和251及62

5dx

35

3

53xdx分别表示一个直角三角形的面积，分别为

15

523

3

3

53

4

166

，故

666

34．（P97,第3题）利用定积分的性质证明下列不等式：（1）（3）

40

(3).03x

2516

41

.

sinxdx

2

3

20

sinxdx；（2）；

（4）

2

2131

2

5x

4

xdx1dx

1

x263.

1dx；

6

sinxdx

6

3

解：（1）显然

40

sinxdx

3

3

20

sinxdx.又因为当0

sinx,故

2

3

x

2

时，

0sinx1，所以，sinx

20

sinxdx

20

2

3

20

sinxdx.

2

因此有

40

sinxdx

x

3

sinxdx.

5

xx

5

2

3；而

x

1

2

1

3.

（2）因为当1故当1

21

2时，

51dx.

x

x

xdx

2时，有

21

1.所以，由定积分的单调性知

5x

（3）由于fxsinx,x

62

,是单调增加的，故sinx在

62

,

上的最小值为

23

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

msin162

;最小值为M

sin21.故由估值定理知12

2

2

sinxdx

1

2

62

即,

sinxdx

6

66

6

3

.

（4）因为

x

4

1

x4

0

x2

，所以

34

3x

3

3

261

x1dx1

x2

dx

3

|1

3

.

35．（P98,第4题）估计下列积分：

2

2

3

1.

x

0

e

x

dx2.

4si2

nxdx.

4

解：1.令fx

e

x

2

x

,x

0,2.

2

2

fx

e

x

x

2x1，令f

x

e

x

x

2x10x

1

2

. 由f0

1,f

11

42

2

e,f2

e,得函数fx在区间0,2上的最大值M

1

1e2

与最小值m

f

14

4

2x2x

2

e.因此，2e

0

e

dx2e

2

2.令fx

sin2

x,x

34

,

4

.

fx

2sinxcoxs

si，令nx

2fx

sin2x

0

x

2

.

由f

14

2,f

314

2,f

2

1.得函数fx在区间0,2上的最大值

3M1e2

与最小值m

114

2

2

.因此，

2

.

34

4

sinxdx1.

34

4

4

3

即

4

2

4

sinxdx

4

2

.

36．（P105,第1题）求下列函数的导数：

x

1

1.gx

3t

4

1

tedt;

2g.x

x2

sintdt.

（3）gx3x

u1

2x

u1

du.解：

f2

24

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

1.gxx3ex

;

2.gxsin

4

1111xx

x

2

.sin

4

x

.

（3）gx

0u1

3xu1

3xu1

2xu1

2x

u1

du0u1

du0

u1

du0

u1

du；gx

3xu12x10

uduu1

0

u1

du3x13x1.32x1

2x1

.2. 37．（P105,第2题）计算下列积分：

1.

04

2

31122

3

5x

6x

14dx;2.

1

t

2

t

4

dt;3.

1

xxdx;

44.

2x1

5

x

2

1dx;5.

2xsexc.txandx6.;

cos2xcos2

xsin2

x

dx;

7.cos

2

xxx2

2

dx;8.

32

2x

.3

x

dx.

0解：

1.3

5x

4

6x

2

14dx

5.

x

5

x

3

5

6.

3

14x

|

03

339.

3

2.

11111281

t

2

t

4

dt

t

3t

3

|

3

1

81

.

2

01

2

23.

1

xx2

dx

1

x

2

xdx

0xxdx1x

2

xdx

x

3

x

2

x

2

x

3

x

3

x

2

3

2|

01

23|

10

3

2|

2

3

1

.

2

2

41

2

24.

xx

2

1x1

5

x

2

1

dx5

x2

1dx2x35

x

2

1dx

3

x

|

2106

5

3

.5.2xsecx.tanxdx

2xdx

secx.tanxdx

x

2

secxc.

cos2x2

2

6.cos2

xsin2

x

dx

cosx

sinx

cos2

xsin2

x

dx

25

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

7.cos2

x1cosx

12

dx2dx

12

dx

2

cosxdx

x12

2

sinxc.

1dx

1sin2

x

cos2x

dx

csc2

xdx

sec2

xdx

cotx

tanx

c.

3

x2

x2

2

8.

3

x

dx2.2x

.3x

dx

2

x2

2x

.3

x

dx

2x.3

x

2x

.3

x2x.3

x

dx

3x

2x

3x

x

2

dx2dx

23

dx

232x

3c.

ln

ln

22

3

38.(P105 ,第3题）试求一函数fx及数a，使满足：

6

xfta

t

2

dt2x.

（1）

解：（1）式两边关于x求导，得：

fx1x

2

x

,所以，fxxx.

又在（1）式中取x

a，得a

6

fta

t

2

dt

2a，故.

60

2a.即a9.

0,x

0,

39．(P105 ,第4题）．设fx

x,0x1,求gx

x0

ftdt的类似于

2x,1x

2,0,

x

2.

fx的表达式. x0

解：（1）当x

0时，gx0

ftdt

x

0dt

0;xx

（2）当0

x1时，gx

x

2

0

ftdt

t

2

x0

tdt

2

|0

2

;

x1

x

2

（3）当1x2时，gx

x

0

ftdt

0

tdt

1

2tdt

22x1;

（4）当x2时，gx

xftdt1tdt20

0

1

2tdt

x2

0dt

1.

所以，

26

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

0,x

0,g

x

x0

ftdt

x

2

2,0x1,x

2

22x1,1x

2,

0,

x

2.

40.(P110 ,第1题）．计算下列积分：（1）10

99

2x1dx；（2）

21

3x5dx；

（3）xx2

1

dx；

（4）12

0

xx1dx；（5）cos4xsinxdx；（6）20

cos3

xdx;（7）

11x

x

dx；

（8）

21

3

x

dx；

（9）

2x3ex

x

dx；

（10）1x20

ex

dx；（11）

x1cosxdx；

（12）

20

2x1sinxdx;

（13）x1lnxdx；

（14）e2

elnxdx；

（15）arctanxdx；（16）

120

xarctanxdx；

（17）0

xsinxdx；

（18）

ee

1

lnxdx.

解：（1）2x110

dx122x110d2x112.111

2x111c；

（2）212123222313x5dx31

3x5d3x53.33x5|19118

3

；

（3）9999xx21dx12x21dx21112

1002.100

x1c；

113

（4）

2

10

xx

2

1dx

12

0

x

2

1dx

1

12.23

x2

1

2

|

10

3

221；

（5）cos4

xsinxdxcos4

xdcosx

15

5

cosxc；

（6）

23

0

cosxdx

2

2

13

20

1sinxdsinx

sinx

3sinx

|

2

0

3

；

（7）

111x

x

dx

1

x

.

x

dx2

11

x

d1x2ln1

x

c；

26

6

3

6

3

（8）

11

t

6

2

6t5

2

t11x

3

x

dxx1

t

3

t

2

dt6

2

t

1

t1

dt6

1

t1

dt

27

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

6

2

6

2

6

6

13

1

t

2

t1dt6

1

1t

d1t

6

t

t

2

6

3

2

t

|

2

1

6ln1t

|

2

1

3

2

6

6

6

t

t

2

3

6

32

t

|

2

1

6ln1t

|

1

22326256ln1

6

2

6ln2；

（9）2x3ex

dx2x3dex

ex

2x3

ex

d2x3ex

2x3

2ex

dx

ex

2x3

2e

x

c

ex

2x1

c；

10）

1212x

x

0

xde

x2

e

x|

1

10

xex

dx

0

2

10

xedxe2

0xde

x

x

1

1ex1

e2xe|dx

e2e2x

0

0

0edx

e2e

x

|

10

e2；

（11）

x1cosxdx

x1dsinxx1sinx

sinxdx1

x1sinx

sinxdx

x1sinxcosxc；

12）

20

2x1sinxdx

20

2x1dcosx2x1cosx|2

0

2

20

cosxdx

12sinx|2

03；

12

13）

x1lnxdxlnxd

xx12

2

2

2

lnx

x12x

dx

x12

xx12

2lnx

2112.1x

dx2

lnxx

2

4

x

1

2

lnxc.；2

14）

ee2

e2

lnxdxxlnx|2

e

e

e

dx2ee

e

2

e

e2

；

15）arctanxdx

xarctanxxdarctanxxarctanx

x1x

2dxxarctanx

11121x

2d1

x2

xarctanx2

ln1x2c；1116）

arctanxdx

2

x

2

1

1xarctanxdx

x

2

1

0

0

22

arctanx|0

0

2.1x2dx1x

2

11

120

1x

2

dx

1

118

82

xarctanx

|

0

42

；

17）

2xsinxdxxsinxdx

2

0

0

xsinxdx

28

（（（（（（（22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

其中

2

0

xsinxdxxsinxdx

02

xdcosxxdcosx

3

1e

1

xcosx|0xcosx|4.

e1

2

0

cosxdx

2

sinx|03

sinx|

2

；

3.

cosxdx

所以，（18）

20ee

1

xsinxdx

lnxdxlnxdx

1

1

lnxdx

1

1

xlnx|e

xlnx|1

e

1

1

1

e

1

dx

1

xlnx|1

e

e1

dx

xlnx|ex|ex|1

e

21e

41.(P111 ,第2题）．设fx是以l为周期的奇函数，试证明都是以l为周期的周期函数. 42.(P111 ,第3题）．设fx是（1）若fx为偶函数，则（2）若fx为奇函数，则证明：其中，所以，

0lllll

0

llll

fx的任一原函数

l,l的连续函数，试证明：

l

fxdxfxdx

l

20.

0

fxdx;

fxdx

l

fx

xdx

0l

0

fxdx.

0l

fxdxtfxdx

l0

f

l0

tdtfxdx

ll

f

l0

xdxfx

l

l0

f

xdx；xdx.

fxdxf

特别地，（1）若fx为偶函数，则（2）若fx为奇函数，则

ll

f0.

xdx2

0

fxdx;

fxdx

43.(P113 ,第1题）．判断下列广义积分的敛散性；如收敛则求其值：

（1）

1

13x1

2

dx；（2）

0

sinxdx.；

（3）

1

0

x2x3

dx；（4）

0

edx.；

x

x

（5）解：（1）

11

lnx

dx；x13x1

12

2

（6）

1

edx.；

dx

13x1

2

d3x1

13x1；

|

1

x

lim

13x1

12

0

12

29

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（2）因为（3）所以，

0

sinxdx

cosx|

0

1

x

limcosx不存在，故

0

sinxdx.发散；

1x2x3

dx

1x2

1x3

dx

1x

dx2dxx3

1

x2ln

x3

c

0

x2

dxln|x2x3x30

2

ln1ln

3

1

x2

limlnx

x33ln.2

e

x

2ln3

21

xlimln

x3

1

x

2ln3

（4）（5）

0

edx

x

0

ed

x

x

|

0

x

lime

x

1

2

011；

lnx

1

x

1

x

dx

1

lnx.dx

x

1

1

lnxdlnx

12

lnx|1

12

limlnx0x

2

，

即（6）

lnxx

edx

dx发散；

2

edx

x

0

2

0

ed

x

x2e

x

|

0

2lime

x

x

2022.

44.(P119 ,第1题）．计算下列平面曲线所围成区域的面积：

（1）.y（3）.xy（5）y解：（1）A

3

x,y

x；（2）.y

2aa

0；

（4）.y（6）.y

2

x3

31

32

x

2

2xx

2

,x2x

2

1,x3,yx,y

3,y0.；

a,y

2x

2

x,x

2

x3；1,y

2.

x,y

10

x；5,y

x

2

xdx

3

x2

2

|

10

1；6

（2）.A

31

x

2

dx

x

|6

133

；

2

2aa

（3）.A（4）.A（5）.A

2aa

x

a

2

x

dxx

2

x

2

alnx

2

|

32

ln2a；

2

3002

x3

x

3

2x3dx

2

9

；2

x

2

2x

2

xdx

2

10

2x

3

xdx

3

x

4

4

x

x

3

3

|

02

x

xx

4

34

|

10

3712

；

30

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

2

45.(P119 ,第2题）．求下列曲线所围成的图形的面积：

（1）.x（3）.r（5）.r解：（1）.A

0

（6）.AA1A2A3

363

1

20

ydy

2

01

ydy

2

332

.

acost,y

3

asint；

3

（2）.x（4）.r

2

acost,yasint；

2acos；2a2cos

a

0；

2asin2acos2

a

a0；0.

（6）.r

4A1

4

2

asintda.cost

33

0

12

2

asint.cost.sintdt

232

12a

2

20

sint

4

1sitndt

2

384a

2

a

2

;

（2）.A

4A1

4

20

acostda.sint

20

costdt

2

4a.

2

4

a；

2

（3）.A

12

22

r

2

d2a

2

22

cosd

12

2

2

a；

（4）.r

12

2

2asin2a

0A2A1

4

40

2asin2d8a

40

sincosd

8asin

2

|

12

2

40

4a；

（5）.A

2

0

r

2

d

20

0

2a

2

2cos

2

0

2

2

d

0

4a

2

44coscos

2

d

16a16acosd4a

20

cosd

2

2

16a

2

16asin

2

|

0

4a

1cos2

2

2

d16a2a

12

sin2

|

0

18a

2

;

（6）.A

122

a

2

44

r

2

d

44

acos2d

2

a

2

40

1cos4d

14

sin4

|

40

4

a.

2

2

46.(P119 ,第3题）．求抛物线yx4x3及在点0,3,3,0处的切线所所

31

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

围成的图形的面积. 解：因为x

2

4x32x4，所以抛物线yx

2

4x3及在点0,3处的

切线斜率为k

4，故

抛物线y

x

2

4x

3及在点0,3处的切线为y4x3；

同理，可得抛物线y

x

2

4x3及在点3,0处的切线为y

2x

6.

y4x

3,3

联立

y

2x6.

解得x2,

y

3.

A

A9991

A2

8

8

4.

3

其中，A21

0

4x3x

2

4x3dx

98

;A32

4x3dx92

32x6x

.

2

8

47.(P119 ,第4题)求c，使yc平分由yx2

和y

1所围成的图形的面积.

解：由题意

c220

ydy

1c

ydy，即

3

cc

31cc，所以，c

3

14

.

2计算椭球面xy2

z248.(P122 ,第1题)a

2

b

2

c

2

1所围成的椭球体的体积.

解：V

2V1，其中V1是上半椭球面的体积.

显然过点0,0,z0

z

c且垂直于z轴的截面都是椭圆，其方程为

x2

y

2

a

2

z221

1

c

2

b

2

1

zc

2

由椭圆的面积公式易知，此截面的面积为

2Az

ab1

zc

2

.

cc2

3

故

V

2V1

2

0

Azdz2

ab1z

z0

c

2dz2abz

3c

2|

c4

0

3

abc.32

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（注意：上题用到了椭圆

xa

22

yb

2

2

1的面积公式：Aab.上课讲过）

49.(P122 ,第2题)求下列旋转体的体积：（1）.由y2（2）.由y（3）.由y（4）.y（5）.圆x

2

4ax及xe及x

x

2a围成的图形绕x轴旋转；

1,y轴所围成的图形绕x轴旋转；4

x轴所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转；

3

及yx

x及y

2

2

x轴所围成的图形分绕y轴旋转；

2

y5

V

16绕x轴旋转.

2a0

解：（1）.

（2）.V

ydx

2

2a0

4axdx

10

2ax

2

|

2a0

8a.

2x

3

V1V2

edx

0

1

2

e

x

2

dxe

2

2

e

|

10

2

1e.

2

（3）.绕x轴V

V1V2

4x

33

31

4xdx9.

1

2

31

3x6

2

dx443

.

3

|

1

|x

3

263

1

绕y轴旋

3

2

3110

VV1V2

1

4

10

ydy

2

3y

2

dy

22

443

.

（4）.V

V1V2

ydyy

2

dy

2

44

5

3

.1016x

2

2

（5）.绕x轴旋转所得旋转体是一个环.

V

V1V2

40

40

44

5

2

16x

160

2

dx

.

5dx

16xdx

2

50.(P138 ,第1题)求解下列微分方程：

（1）.y

e

xy

；

1ydx

22

（2）.xy

0；

ylny；

2

（3）.1xdy（5）.y

1y1x

（4）.x1y

yy1x

2

2

0；

2xydx;

2

；（6）.4xdx3ydy

3xydy

33

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（7）.xdy3ydx0,y|x1

1；

（8）.ydyxdx0,y|x3

4；

（9）.yyy

x

x

e；

（10）.y

yy

x.

解：（1）y

exy；

解：（1）.分离变量：eydy

ex

dx

两边积分：

ey

dy

ex

dx，

e

y

e

x

C，即e

x

e

y

C.

（2）.分离变量：xdy1dx

ylny

1ylny

dyx

dx

两边积分：lnlnylnxlnc

lny

cxy

ecx

.

（3）.分离变量：

1

1ydy

11xdx

两边积分：

111

y

dy

1x

dxln1yln1xlnc

1x1y

c.

（4）.x1y2

yy1x2

0；分离变量：

ydyxdx1y

2

1x

2

两边积分：

yx

1y2

dy

1x

2

dx

1y

21x

2

c，即1x2

1y2

c.

（5）.分离变量：

1

1y

2

dy

11x2

dx

两边积分：

1

dy1dx

1y

2

1x

2

arcsinyarcsinx

c，

（6）.分离变量：

3y2x2

y

2

dy1x

2

dx

34

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

两边积分：

3y32

y

2

dy

2x1

x

2

dx

2

ln2y

2

ln1x

2

c.，

（7）.xdy3ydx0,y|x1

1；

分离变量：

1ydy

31

xdx两边积分：lny3lnx

lnc

y

cx3

为通解；

代入条件y|x

1

1，得c1，所以原方程的特解为y

x3

.

（8）.分离变量：ydyxdx

y

2

2

两边积分：ydyxdx

x

c22

2

为通解；

代入条件y|x4，得c20，所以原方程的特解为x2

3y

2

20.

y（9）.yyx

ex

；

令ux

y

x，则y

ux

dydx

ux

dudx

原齐次方程，得：

ux

duueu

dx

.

整理后得：eu

du1

x

dx，

两边积分得：eu

du1x

dx

eu

lnxc.

y

故原方程的通解为：e

x

lnx

c.

（10）.y

yy

x.

y

原方程可化为

dyxdx

y,为齐次方程. x1令uxy

x

，则u

xduudxu1.整理后得：u1

2uu

2

du1x

dx，

35

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

两边积分得：

11112u

2u

du

x

dx

12ln

u2ulnxlnc

u2u

cx

，故原方程的通解为：

y2x

y

cx.

51.(P138 ,第2题)求解下列微分方程：

解：（1）.yycosx1

2

sin2x.

此为一阶线性微分方程，由公式：

y

e

cosxdx

1cosxdx

2

sin2xe

dxc

e

sinx

e

sinx

sinxcosxdxc

esinx

sinxde

sinx

cesinx

sinxe

sinx

e

sinx

dsinxc

sinx1cesinx

.

（2）.y

2xyxe

x2

；

此为一阶线性微分方程，由公式：

2

y

e

2xdx

xe

x2

dxce

xxe

x2

e

2xdx

dxc

2

2

e

x

2

xe

x

ex

2

dx

ce

x

2

x

2

c.

（3）.y

yx

x1

ex1；原方程化为y

1y

ex

x1

x1，

为一阶线性微分方程，由公式：

1

ye

x1

dx

e

x

x1

1x

x1dxce

lnx1

e

x1e

lnx1

c

x1e

x

x1

1x1

c

x1e

x

c.

（4）.y

y2lnxx

x0；原方程化为y

1y2lnxx

x

0，为一阶线性微分方程，由公式：1

1ye

x

dx

2lnx

exdx

dxc

e

lnx

2lnx

lnx

xx

edxc

36

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

x

2lnxlnx1x

2

dxc

x

2lnxd

1x

cx2

x

x

c.

（5）.y

2xy2x

3

0；

原方程化为y

2xy

2x3

.为一阶线性微分方程，由公式：

y

xdx

2x3

e

2xdx

dxc

ex2

2x3ex2

e

2dx

c

ex

2

x2

dex

2

cx2ex2

ex2

dx2

cx2

ex2

ex2

c.

（6）.xy

y

x

lnx0;原方程化为y

y

1x

lnx

0,为一阶线性微分方程，由公式：1

1ye

x

dx

1xdx

dxc

e

lnx

1lnx

lnx

elnx

edxc

x

1xlnx

dx

c

x

1lnx

dlnxcxlnlnxc.

（7）.y

ytanx

secx,y|x

0

0；

此为一阶线性微分方程，由公式：

y

e

tanxdx

secxe

tanxdx

dxce

lncosx

secxe

lncosx

dxc

1cosx

secx.cosxdxc

secxxc

又代入条件y|x0

0,得c

0.故原方程的特解为yxsecx.

（8）.y

2y

2

x

x

xe,y|x

1

0；

此为一阶线性微分方程，由公式：

2

dx

2

ye

x

x2ex

dx

e

x

dxce

2lnx

x2exe

2lnx

dxc

x

2

x2e

x

1x

2

dxcx

2

e

x

c.

又代入条件y|x

1

0,得ce.故原方程的特解为yx

2

e

x

e.

37

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

（9）.y

yx2

x

2

2x,y|xy

x

2

3

1

2

；

原方程化为y

1

1x2

dx

2x为一阶线性微分方程，由公式：

1x2

dx

ye

x2

x

2

2xe

1

dxce

lnx2

x

2

2xe

lnx2

dxc

x2x

2

2x

x3

2

dxcx2

x2

2

c.

x

2

又代入条件y|x

yx

1

2

得c1.故原方程的特解为yx2

2

1.

（10）.y

xsinx,y|x

1.

2

原方程化为y

1

1yx

xsinx.为一阶线性微分方程，由公式：

1xdx

ye

x

dx

xsinxedxce

lnx

xsinxe

lnx

dxc

x

xsinx.dx

x

1

cxcosxc.2

2

又代入条件y|x

1得c

2

.故原方程的特解为yxcosx.

52.(P143 ,第1题)求解下列微分方程：

1

（1）.y；（2）.y2

1x

（3）.xy（5）.yy解：（1）.yyy

1

2dx1x

2

xe,y0x

32

2x

1,y01,y01;

xy1；

2

（4）.y

0；

（6）.yy

12xy,y01,y0

2.

3；

yy0,y04,y0

1

；2

1x

arctanxc1;

xarctanx

x

c1xc2

2dx1x

arctanxc1dx

12

xarctanxln1x

2（2）.y

x

e

2x

c1xc2.

2

dx

xe

2x

22

c1;

38

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

1x

2

e

2x

1代入条件y0

1,得c12

.所以，y

22

2

.

x

2

1x

3

2x

y

e

2x

22

2

dx

e

x6

4

2

c2.

33

2x

代入条件y0

1,得c24

.所以，y

xex3

2

4

.

x3

2x

x3x4

e2x

x2

y

e3

6

4

2

4

dx24

84

4

xc3.得c7e2x

代入条件y01,x

2

372

8.故y

x

4

2484

4

x

8

.

（3）.x2yxy

1；

令y

px,则y

dpdx

，

于是，原方程变为：x2

dpdp

11dxxp1，化为

dx

xpx

2.这是一阶线性微分方程，由公式，得：

11pe

x

dx1x

dxlnxx2ece

lnx

1lnxx

2ec

1

xlnxc1c1x1x

.即ylnx1

x

c1x

.故y

lnxx

c111

xdx

2ln2

x

c1lnxc2.

（4）.yx2

12xy,y01,y03；

令y

px,则y

dpdx

，于是，原方程变为：

dpdx

x

2

1

2xp,，化为

dp2xp

1x2

dx

这是可分离变量型，积分得：dp2xp

1

x

2

dxlnpln1

x

2

lnc1，

即y

p

c2

11x.代入条件p03，得c1

3.

39

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

所以，y

31x2

.故y

31x2

dx

3xx

3

再代入条件y01，得c2

1.

故原方程的特解为y

3x

3

x1.

（5）.yyy

2

y

0；

y

py,则y

pdpdy

,

原方程变为：yp

dpdy

p

2

p0------（1）

当p0时，

（1）变为：ydpdy

p1.

当p

1时，这是可分离变量的分方程.

分离变量且两边同时积分：

dp1p1

ydy

lnp1

lny

lnc1

lnc1y

即：dy

dx

c1y1--------（3）此也为可分离变量的分离变量且两边积分，得：

dycx

c2，

1y1

dx

1clnc1y1

1

整理后，得：

y

ec1c2

c1

x

11x

1ce1

cc2e

c1

c.1

（6）.yy30,y0

4,y0

2.

y

py,则ypdpdy,

原方程变为：p

dpdy

y

3

0.------（1）

（1）为可分离变量型.分离变量得

y

3

dy

pdp；

c2.

p

c1y1------.

2）

40

（22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

两边积分，得代入条件即

y

3

dypdp

32y

2

p

2

2

c1.

p|

p

2

y4

2,得c1

0.

8y

y

2

,即y

P

（2）

（2）.也为可分离变量型：

ydy

8dx；

分离变量且两边积分，得：

y

2

2

8x

c2，

8.

代入条件

y|

x0

4,得c2

y

2

故原方程的特解为

2

8x8.

54.(P144 ,第3题)求下列微分方程的解：

（1）y（3）y（5）4y

2y3y8y

y

0；

（2）y（4）4y

4y4y

2

3yyy

0,y00,y0

6,y02,y03,y0

0.

r2

10；0；

0；5y

0；

r

2

（6）y

2r

1

0.

0,y0

解：（1）.特征方程为

解之，得特征根：r1

x

1.

所以，原方程的通解为y（2）.特征方程为

r

2

c1

3c1e

x

c2xe.

0.c2e.

3x

4r

解之，得特征根：r11,r2

3.

所以，原方程的通解为y于是

y

c1e

x

3c2e.

3x

代入初始条件y0

c1c1

c23c2

6,10.

6,y0

c1c2

10，有4,2.

0.

解之，得

r

2

所以，原方程的特解为解之，得特征根：r1

y4e

x

2e.

3x

（3）.特征方程为

3r

0,r2

3.

41

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

所以，原方程的通解为（4）.特征方程为

4r

2

yc14r

c2e.1

0.解之，得特征根：r1

12x

3x

r2

12

.

所以，原方程的通解为

1

y

c

c1c2xe

12

.

x

于是

y

c2e

2

x

12

12

cxe

x

12

e

2

1

c2

1

1c2

2

.cx

代入初始条件y0

c1c2

12c1

2,0.

2,y0

c1c2

8r

x

0，有2,1.

5

1

解之，得

所以，原方程的特解为

y2xe12

2

x

.

（5）.特征方程为

4r

2

0.解之，得特征根：r1,212xsin

12x.

1i.

所以，原方程的通解为（6）.y

2

ye

c1cos

y0,y0

r

2

3,y0

2

0.

解之，得特征根：r1,2

c2sin

x.

0

i.

特征方程为

0.

所以，原方程的通解为于是

y

c1sin

x

y

c1cosx

c2cosx.

代入初始条件y0

c1c2

55.(P260 ,第

3,y0

c1c2,B

0，有3,0.

所以，原方程的特解为

y

3cos

x.

3,0.

解之，得35

24

3题)设A35

24

45

35

3425

，求AB,BA.

5270

44

2

2

2

解：AB

3425

24

3322342553425445

33

45

32

22

45

;

2931

2224

BA

32

2355

.

56.(P261 ,第5题)设A

11

11

,B

1111

，求AB,AB.

42

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

解：AB

2

ABABABAB11111111111111

11112211001101

1

2

2110

0

1

1

0

;0

A2B

2

AABB111111111

1111111

00220000

22

00

.

13141

57.(P261 ,第6题)设A

04

2

,B

25，求ABT

,BTAT.

34

41解：AB

131255180

4

2

3

414

28

;

18T

AB

T

551414281828;

BTA

T

4231

04141

5

4

351

2

18

28

.

58.(P270,第1题)求下列矩阵的逆矩阵

2

112

23（1）A

210；（2）A

110;

1111

212

1001

3710（3）A

32003510571

8.；

（4）A

731121

3

16

1

1

1

2

解：（1）用初等变换法求逆.

2

11100111001AE

210010r1

r2

2100101

1

10

0

1

2

1

11

0

0

43

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

r22r1r32r1

100

133

102031

0101323013230

122

13

r2

1001

010

113131

100013131

123213230

230133101

r1r2r33r2

100

010010

13013230131101301

231

1011

1r3

00

230

r113r3r223r3

100

EA

1

故

13

A

1

011

1323.0

231

（2）用伴随矩阵法求逆.

2

212

30c11

4c20

1

22

3

11

因为|A|

11

10

41

31

10，

所以A可逆.

A

1

1|A|

A11

A

*

AAA

212223

AAA

313233

111

456

334

111

6

454

33

A

*

A12A13

（3）用初等变换法求逆.

2

A|E

3511

1r1

127312731122

001

010000010080010

r1r2

1351

r23r1r35r1r4r1

127311220100

001

010080

100100100100100

160001001

011000080

1000100011002005101

01

r1r2r32r2r42r2

160001

010385

10001000

3511

2005101

01

160001

010385

16100201

03811

10025

0001910

1r2

000

161167

44

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

1

r4r3

0100

0010

020

3811144129

000010

114r4

1000

0100

00010

081

231127

12927

0011

0001

000

4111414

1000

2

1000100613

24700r38r4

6800107700012

21411147

7

14

14

2

100所以

A

1

61

3247

06

0877141422117714

14

（4）用初等变换法求逆.

1

37101000AE

73510010031120010111200011

1120001r1

r4

735100100311200101

37101000r11120001r27r3r1r314r1

04240107022400130481210011

112000114

r2

01121014074

022400130

4

8

121

0

01

45

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

r101210140341r2r32rr244r2

01121014074001201211200

6

8110

6r10000

0

1212112rrr3r212r3463

01000121240012012112000412

63

100

000121214

r4

010001212400120121120001141232

341000

001212r32r4

0100

0121240010121222EA1

.

000114

12

3234

所以

0

01212A

1

012124121222.

14

12

32

34

59.(P270,第2题)求解下列矩阵方程：（1）

2546122413

X

2

1

；（2）

232

X

35

3

3

1

；

2

11（3）X2

101131

114

3

2

.

251

1

解：（1）X

461

3

2

1

，又25351

3

1

2

，故

X

3546

2231

2

2

1

0

8

.

（2）X211

2432

1

3

2

3

1

5

3

又

46

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

23

12

1

23

12

；

35

23

1

11

35

23

35

23

.

所以

X

23

12

1

23

41

35

23

1

23

14

133

2

12

221

23

111

432712

9322434

1318

153

101

1

1453

.

（3）X又

.

221

111

r22r1r32r1

110010100

010133

001102031

0101323013230

1

r1

r2

122

111

13

1000111001

010

010113

1001

0

0013131

132301232

22

r2

2301331131

01

r1r2r33r2

100

010010

13013230131101301

231

1011

1r3

00

230

r113r3r223r3

100

故

221

111

101

1

13231

011

1323.0

所以

X

14

133

2

13231

011

13230

283

25

123

.

60.(P271,第3题)设A为n可逆矩阵，试证（1）A

1

A

1

；（2）A

*

A

n1

.；

47

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

证明：（1）因为AA1

E

AA

1

1

AA

1

1，所以，A

1

A1

.

（2）AA*

|A|E

|AA*

||A|n

|E||A|n

，所以|A*

||A|

n1

.

61.(P271,第4题)如果A为方阵，且A

m

0（m为正整数），试证：E

A

1

EAA2

A

m1

.

证明：由Am

0及E

AEA

A2

A

m1

EA

m

E0

E，可知

E

A可逆，且有E

A

1

EA

A2

A

m1

.

62.(P282,第1题)判断下列方程组是否有解，若有解，写出其一般解，并指出自由未知量的个数：

x1

2x2

3x42x51,（1）

x1x23x3x43x52,2x13x24x35x42x57,9x1

9x2

6x3

16x42x5

25.

2x13x211x3

5x42,（2）

x1x25x32x41,2x1x2x.

23x343,x1

x2

3x3

4x4

3.

x13x25x34x42x51,x1

3x2

2x32x4x51,（3）

x12x2x3x4x53,x14x2x3x4x53x1

2x2

x3

x4

x5

1.

3x1

5x22x32x4x5

7,

（4）

2x13x2x3x42x57,x1x2

x32x4

x5

1,3x1

4x2

3x3

7x4

5x5

2.

解：（1）

x1

x2

x3

x4

x5

b

x1

x2

x3

x4

x5

b

1

20321r2r12032

1

r1

32r1A

Ab

113132r49r1

0334512345270741259

9

6

16

225

0

27

6

11

1616

48

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

x1x2x3x4x5

b

x1x4x3x2x5

b

1

r2

r3

27327

x4

0436

x3

31411

x2

2

1

c2

c4

1000

x1

31411

x4

0436

x3

27327

x2

2

1

000

x1

25511616

x5

b

25511616

x5

b

r13r2r34r2r411r2

1000

0100

3

1241938

1972550

416236

51939

rr2r3

1000

0100

124190

197250

4162530

191

因为RA

RA

4，故方程组无解.

231152

（2）A

A|b

13231310

r2r1r32r2r4r2

10631

r1r2

533

212343

13521233231334310

6182

3110352

4

6193

3110451

4

r3r2r4r2

03030310

6181

03000010

6118

311035129

11

1r231r411r3

r4

311012359

11

12

r4

030000

030000

100

r16r3r2r3r48r3

100010001000

030001000100

221211119

11

2233121

1

1

31

r2r4

010001000

11

2233121

RA

r19r4

2r2r4

3r3r4

10002010000010100011

B.

1

4

因为r程组的解为

RA

n,所以，方程组有唯一解.从B可直接看出，原方

49

22002931.doc习题中难题解答及期末考试范围

x1x2x3x4

（3）

x1

x2

x3

x4

x5

b

2,01,1.

x1

r2r3r4r5

r1r1r1r1

x2x3x4x5

b

11

A

Ab

111

x1

x2

33

52

42111

x4

011

113131

x5

b

10000

x1

30571

x2

53444

x3

42353

x4

011

212121

x5

21412

x3

154443

x3

12

b

1

r2

r5

31570

x2

43352

x4

011

2

1r2

10000

x1

31570

x2

x3

54443741243

43352

x4

011212121

x5

0000

x1

12121

x5

2

b

2

b

1

r13r2r35r2r47r2

0000

x2

x3

7416243

x4

5312162

x5

3

5

r35r5

10000

x1

x2

01000

x3

532162

x5

b

3

5

01000

x1

126128161

b

12128161

2

2

1

132r4

x4

r1r2r4r57r34r324r33r3

10000

x1

01000

x2

00100

x3

x4

952324

x5

49316

6321224

b

01000

00100

95214

49312

611224

0000

r1r2r3r59r45r42r44r4

10000

01000

00100

RA

0120012100

4

0000

5

n，故方程组有解，且基础解系中含n

1121

因为r

RA

r1个解向

向量.由B阵得原方程组的同解方程组为

50