嘉兴市初中数学试卷分类汇编二元一次方程组易错压轴解答题(附答案)
一、二元一次方程组易错压轴解答题
1．某商场经销A，B两款商品，若买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元. （1）求A、B两款商品的单价；
（2）若对A、B两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用0元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件，求对A、B两款商品进行了几折销售？
（3）若对A商品进行5折销售，B商品进行8折销售，某顾客同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A、B两款商品各几件？ 2．已知关于 、 的方程组
（1）若 （2）当
是方程组的解时，求
的值；
时，若方程组的解满足 为非正数， 为负数，化简： ．
3．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨某公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且每辆车恰好装满货物．根据以上信息解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该公司设计共有几种租车方案？
4．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1. （1）当
时，求c的值.
（2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解. （3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解. 5．我们用 （1）
表示不大于x的最大整数，例如
=________．（其中 为圆周率）；
求x,y的取值范围．
．
请解决下列问题：
=________．
（2）已知x,y满足方程组
6．已知关于x ， y的方程满足方程组 （1）若x﹣y=2，求m的值；
（2）若x ， y ， m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子|m﹣3|+|m﹣4|； （3）在（2）的条件下求s=2x﹣3y+m的最小值及最大值．
7．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 第二周 5台 4台 6台 1200元 1900元 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本) （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台?
（3）在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标?若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由。
8．为了响应“绿水青山就是金山银山”的环保建设，提高企业的治污能力某大型企业准备购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，若购买A型设备2台，B型设备3台需34万元；购买A型设备4台，B型设备2台需44万元． （1）求A，B两种型号的污水处理设备的单价各是多少？
（2）已知一台A型设备一个月可处理污水220吨，B型设备一个月可处理污水190吨，若该企业每月处理的污水不低于1700吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案． 9．对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”：a※b＝a+kb，a*b＝ka+b（其中k为常数，且k≠0），若对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），有点P′的坐标（a※b，a*b）与之对应，则称点P的“k衍生点”为点P′．例如：P（1，3）的“2衍生点”为P′（1+2×3，2×1+3），即P′（7，5）．
（1）点P（﹣1，5）的“3衍生点”的坐标为________；
（2）若点P的“5衍生点”P的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P的“k衍生点”为点P′，且直线PP′平行于y轴，线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，求k的值．
10．如图，长青农产品加工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从 A 地购买一批原料甲运回工厂，经过加工后制成产品乙运到 B 地，其中原料甲和产品乙的重量都是正整数. 已知铁路运价为 2 元/（吨·千米），公路运价为 8 元/（吨·千米）.
（1）若由 A 到 B 的两次运输中，原料甲比产品乙多 9 吨，工厂计划支出铁路运费超 过 5700 元，公路运费不超过 9680 元.问购买原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？ （2）由于国家出台惠农，对运输农产品的车辆免收高速通行费，并给予一定的 财政补贴，综合惠农后公路运输价格下降 m（ 0 < m < 4 且 m 为整数）元， 若由 A 到 B 的
两次运输中，铁路运费为 5760 元，公路运费为 5100 元，求 m 的 值.
11．定义：对任意一个两位数 ，如果 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与 的商记为 例如：
，对调个位数字与十位数字得到新两位数 ，和与 的商为
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数： ， ， 中，“迥异数”为________． ②计算：
________，
________．
，且
；另一个
，且
，请求出“迥异数”
，所以
． ．
，新两位数与原两位数的和为
（2）如果一个“迥异数” 的十位数字是 ，个位数字是 “迥异数” 的十位数字是 和 ．
（3）如果一个“迥异数” 的十位数字是 ，个位数字是 数字是
，个位数字是 ，且满足
，个位数字是
，另一个“迥异数” 的十位
，请直接写出满足条件的所有 的
值________．
12．如图，在平面直角坐标系
中，把一个点 的横、纵坐标都乘以同一个实数 ，然
，得到点
后将得到的点先向右平移 个单位，再向上平移 个单位
（1）若 （2）对正方形 的点，其中点
，
，
，
，则点 坐标是________；
及其内部
及其内部的每个点进行上述操作，得到正方形 的对应点分别为
．求
；
（3）在（2）的条件下，己知正方形 与点 重合，求点 的坐标．
内部的一个点 经过上述操作后得到的对应点
【参】***试卷处理标记，请不要删除
一、二元一次方程组易错压轴解答题
1．（1）解：设A商品单价为x元，B商品单价为y元. 根据题意，得： {20x+10y=36030x+5y=500 解得 {x=16y=4
所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.
解析： （1）解：设A商品单价为x元，B商品单价为y元. 根据题意，得： 解得
所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.
（2）解：设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，则
解得a=0.8
经检验，a=0.8为原方程的解且符合题意 所以A、B两款商品进行了8折销售
（3）解：设顾客购买A商品m件，B商品n件.则
∵m、n都为正整数 ∴①m=1,n=13 ②m=3,n=8 ③m=5,n=3
所以顾客购买A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件.
【解析】【分析】（1）设A商品单价为x元，B商品单价为y元，根据题中“买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元”可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，根据题中“用0元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件”可列出关于a的分式方程，求解即可； （3）设顾客购买A商品m件，B商品n件，根据“同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元”可得关于m，n的二元一次方程，由m，n都为正整数讨论其所有可能性即可.
2．（1）把 {x=2y=1 代入方程组，得 {-7-n=3n+3m=1 解得 {n=-103m=11 ∴3m+n=11-10=1
（2）当n=-2时，解方程组得
解得 ；
解析： （1）把 解得
代入方程组，得
∴3m+n=11-10=1
（2）当n=-2时，解方程组得
解得
；
【解析】【分析】（1）将x=2，y=1代入方程组，即可得到m和n的值，计算得到3m+n的值即可；
（2）将n=-2代入方程组，用含m的代数式表示x和y，根据x为非正数，y为负数表示出其范围，即可得到m的取值范围，继而化简得到答案即可。
3．（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨
根据题意，得： {2x+y=10x+2y=11 ， 解方程组得： {x=3y=4 ，
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一
解析： （1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨 根据题意，得： 解方程组得：
，
，
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨. （2）解：根据题意，得： ∴
，
∵a，b都是正整数 ∴
，
，
∴共有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆； 方案二：A型车9辆，B型车1辆； 方案三：A型车9辆，B型车1辆；
【解析】【分析】（1）此题关键的已知条件：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨，这就是两个等量关系，设未知数，列方程组求出方程组的解即可。
（2）此题等量关系为：租用A型车的数量×1辆A型车一次运货的数量+租用B型车的数量×1辆B型车一次运货的数量=31，列出关于a，b的二元一次方程，求出此二元一次方程的整数解，即可得到租车的方案。
4．（1）∵b＝a+1，c＝b+1. ∴c＝a+2，
由题意，得3a+a+1＝a+2， 解得a＝ 13 ， ∴c＝a+2＝ 73 ；
（2）当a＝ 12 时， 12 x+ 32 y= 52 ，
解析： （1）∵b＝a+1，c＝b+1. ∴c＝a+2，
由题意，得3a+a+1＝a+2， 解得a＝ ， ∴c＝a+2＝ ；
（2）当a＝ 时， x+ y= ， 化简得，x+3y＝5， ∴符合题意的整数解是：
，
，
；
（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2， 整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①， ∵x、y均为正整数， ∴x+y﹣1是正整数， ∵a是正整数， ∴2﹣y是正整数， ∴y＝1，
把y＝1代入①得，ax＝1， ∴a＝1，
此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是
.
【解析】【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝ ，即可求得c＝ ； （2）当a＝ 时，方程为 x+ y= ，即x+3y＝5，根据方程即可求得；
（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此
时方程的正整数解是
.
5．（1）3；-2
（2）解方程组得： ， 则-1≤x＜0，2≤y＜3．
【解析】【解答】（1）[π]=3，[2-π]=-2； 故答案为：3；-2；
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求
解析： （1）3；-2 （2）解方程组得： 则-1≤x＜0，2≤y＜3．
【解析】【解答】（1）[π]=3，[2-π]=-2； 故答案为：3；-2；
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出所求；（2）求出方程组的解得到[x]与[y]的值，即可确定出x与y的范围．
，
6．（1）解： ，
①﹣②×2得：﹣x=﹣m+3，即x=m﹣3，
把x=m﹣3代入②得：2m﹣6+y=m﹣1，即y=﹣m+5， 把x=m﹣3，y=﹣m+5代入x﹣y=2中，得：m﹣3+m﹣5=
解析： （1）解：
，
①﹣②×2得：﹣x=﹣m+3，即x=m﹣3，
把x=m﹣3代入②得：2m﹣6+y=m﹣1，即y=﹣m+5，
把x=m﹣3，y=﹣m+5代入x﹣y=2中，得：m﹣3+m﹣5=2，即m=5； （2）解：由题意得： 解得：3≤m≤5， 当3≤m≤4时， m﹣3≥0，m﹣4≤0， 则原式=m﹣3+4﹣m=1； 当4（3）解：根据题意得：s=2m﹣6+3m﹣15+m=6m﹣21， ∵3≤m≤5，，
∴当m=3时，s=﹣3；m=5时，s=9， 则s的最小值为﹣3，最大值为9．
【解析】【分析】（1）把m看做已知数表示出方程组的解，得到x与y，代入x-y=2求出m的值即可；（2）根据x，y为非负数求出m的范围，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（3）把表示出的x与y代入s，利用一次函数性质求出最大值与最小值即可．
7．（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得： {3x+4y=12005x+6y=1900 解得 {x=200y=150
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别
解析： （1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得： 解得
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元
（2）解：设釆购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(50-a)台 依题意得：160a+120(50-a)≤7500， 解得：a≤37
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元 （3）解：根据题意得： (200-160)a+(150-120)(50-a)>1850 解得：a>35，
∵a≤37 ，且a应为整数，
∴在(2)的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当a=36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当a=37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台
【解析】【分析】 （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据第一周和第二周的销售情况分别列方程，组成二元一次方程组，解出x、y值即可。（销售收入=A种型号的销售数量×A种型号的单价+B种型号的销售数量×B种型号的单价）； （2） 设釆购A种型号电风扇a台， 根据购买金额不超过7500元列一元一次不等式，解不等式，在a的取值范围内取最大整数即可。（购买金额=A种型号的进价×A种型号的数量+B种型号的进价×B种型号的数量）；
（3）根据超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元列一元一次不等式，解不等式，求出a的范围，结合题（2）的a的范围，得出a的可能取值，根据a的取值分别列出可行方案。
8．（1）解：设A型、B型污水处理设备的单价分别为x万元、y万元，
{2x+3y=344x+2y=44 ， 解得， {x=8y=6 ，
答：A型、B型污水处理设备的单价分别为8万元、6万元 （
解析： （1）解：设A型、B型污水处理设备的单价分别为x万元、y万元，
，
解得，
，
答：A型、B型污水处理设备的单价分别为8万元、6万元
（2）解：设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备（8﹣a）台，根据题意可得：
220a+190（8﹣a）≥1700， 解得：a≥6，
又∵A型污水处理价格高，
∴A型污水处理买的越少总费用越低，
∴当购买A型污水处理6台，则购买B型污水处理2台时，总费用最低
【解析】【分析】（1） 设A型、B型污水处理设备的单价分别为x万元、y万元， 根据“总费用= A型设备数量×A型设备单价+B型设备数量×B型设备单价\ 结合费用为34万元和44万元两种情况分别列方程，组成二元一次方程组求解即可；
（2） 设购买A型污水处理设备a台， 根据“总费用= A型设备数量×A型设备单价+B型设备数量×B型设备单价 ≥1700 \"，列不等式，求出a的范围为a≥6；由于A型设备的单价较高，所以A型污水处理买的越少总费用越低， 由此可得当购买A型污水处理6台，则购买B型污水处理2台时，为总费用最低的方案。
9．（1）（14，2） （2）解：设P（x，y） 依题意，得方程组 ． 解得 {x=-1y=2 ． ∴点P（﹣1，2）
（3）解：设P（a，b），则P′的坐标为（a+kb，ka+b）． ∵
解析： （1）（14，2） （2）解：设P（x，y） 依题意，得方程组
．
解得
．
∴点P（﹣1，2）
（3）解：设P（a，b），则P′的坐标为（a+kb，ka+b）． ∵PP′平行于y轴 ∴a＝a+kb，即kb＝0， 又∵k≠0， ∴b＝0．
∴点P的坐标为（a，0），点P'的坐标为（a，ka）， ∴线段PP′的长度为|ka|． ∴线段OP的长为|a|． 根据题意，有|PP′|＝3|OP|， ∴|ka|＝3|a|． ∴k＝±3．
【解析】【解答】解：（1）点P（﹣1，5）的“3衍生点”P′的坐标为（﹣1+3X5，﹣1X3+5），即（14，2）， 故答案为：（14，2）；
【分析】（1）根据定义的两种新运算的计算方法求得P（1,3）的3衍生点坐标即可； （2）设P的坐标为（x,y）,根据本题定义的两种新运算方法分别列式，组成方程组，求得x、y, 得到P点坐标；
（3） 设P（a，b），由新运算方法得到P′的坐标为（a+kb，ka+b） ，由PP'∥y轴，则此两点的横坐标相等，据此列式，求得b=0, 将b值代入P、P'点坐标，把PP’的长度用含a的代数式表示，再求得OP的长度表达式，根据 |PP′|＝3|OP| 列式求出k值即可。
10．（1）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨， ，
解得，11.8＜x≤14 57 ∵x为整数， ∴x=12，13，14， ∴x+9为21，22，23， ∴购买原料甲有三种方案，分
解析： （1）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，
，
解得，11.8＜x≤14 ∵x为整数， ∴x=12，13，14， ∴x+9为21，22，23，
∴购买原料甲有三种方案，分别是21吨、22吨、23吨； （2）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，
，
解得，
，
答：m的值是3.
【解析】【分析】（1）根据 工厂计划支出铁路运费超 过 5700 元，公路运费不超过 9680 元 列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决；
（2）根据 由 A 到 B 的两次运输中，铁路运费为 5760 元，公路运费为 5100 元得到相应的方程组，从而可以求得m的值.
11．（1）21；8；m+n
（2）解：∵ f(10m+n)=m+n ，且 ∴ ∴ {k=3m=2 ∴ ；
（3）5或7
【解析】【解答】解:（1）①∵对任意一个两位数a，如果
解析： （1）21；8；m+n （2）解：∵ ∴
；
，且
∴ ∴
（3）5或7
【解析】【解答】解:（1）①∵对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数” ∴“迥异数”为21； ② （3）∵ ∴
∵x−3>0，x−4>0 ∴x>4
∴4；，解得x<8
当x=5时，m=52，n=12，
当x=6时，m=63，n=22(不合题意，舍去)， 当x=7时，m=74，n=32， 综上所述：x为5或7.
【分析】（1）①由“迥异数”的定义可得；②根据定义计算可得；（2）由
，可求k的值，即可求b；（3）根据题意可列出不等式，可求出
512．（1）（2）解：根据题意得：
解得 {a=12m=12n=2 即 a=12 ， m=12 ， n=2 ；
（3）解：设点 F 的坐标为 (x,y) ，根据题意得 {12x+1
解析： （1）
（2）解：根据题意得：
解得 即
，
，
；
，根据题意得
（3）解：设点 的坐标为
解得
．
，
，
，
，
∴ 的坐标为
【解析】【解答】解：（1）∵ ∴ ∴ 故答案为：
；
【分析】（1）根据题意和平移的性质求点 坐标；（2）由正方形的性质，结合题意列方程组求解；（3）设点 的坐标为
，根据平移规律列方程组求解．
