第10讲 非对称韦达(原卷版)圆锥曲线综合讲义

一、解答题

x2y23AA1．B为上顶点，已知椭圆E：221(ab0)的离心率是，1，2分别为椭圆E的左右顶点，ab2A1BA2的面积为2.直线l过点D1,0且与椭圆E交于P，Q两点．

1求椭圆E的标准方程； 2求

OPQ面积的最大值；

3设直线A1P与直线QA2交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程．

x2y22．已知A，B分别为椭圆C:221(ab0)的左右顶点，E为椭圆C的上顶点，F为椭圆C的右

ab焦点，E与F关于直线yx对称，AEF的面积为21，过D于A，B两点).

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：直线AM与BN的交点P在一条定直线上.

a,0的直线交椭圆C于两点M，N(异2x2y223．已知椭圆221(ab0)的左、右焦点是F1、F2，左右顶点是A1、A2，离心率是，过F2的

ab2直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且F1PQ的周长是42，

直线A1P与A2Q交于点M. (1)求椭圆的方程；

(2)(ⅰ)求证直线A1P与A2Q交点M在一条定直线l上； (ⅰ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：

PF2PN是定值．

22xy24．P是椭圆E的上顶点，已知A的椭圆E:221(ab0)的左右项点，1、A2分别是离心率eab2. 且PA1PA21（1）求椭圆E的方程；

（2）若动直线l过点0,4，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线AM恒过定点.

1x2y25．已知椭圆C:221ab0的离心率为，短轴长为23．

2ab（1）求椭圆C的方程；

（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．

x2y26．已知椭圆W:1的长轴长为4，左、右顶点分别为A,B，经过点P(1,0)的动直线与椭圆W相

4mm交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）. （1）求椭圆W的方程及离心率； （2）求四边形ACBD面积的最大值；

（3）若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）

x2y27．已知F分别是椭圆C:221(ab0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一1(3,0),F2(3,0)ab点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝2|PF1|． （1）求椭圆C的标准方程：

（2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点．

x2y28．已知椭圆C:221过点A(2,1)，且a2b．

ab（ⅰ）求椭圆C的方程：

（ⅰ）过点B(4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x4于点P,Q．求

|PB|的值． |BQ|x2y29．如图，O为坐标原点，椭圆C:221（ab0）的焦距等于其长半轴长，M,N为椭圆C的上、

ab下顶点，且|MN|23

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P0,1作直线l交椭圆C于异于M,N的A,B两点，直线AM,BN交于点T．求证：点T的纵坐标为定值3．

10．椭圆𝑎2+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) 的两顶点为𝐴,𝐵如图，离心率为2，过其焦点𝐹(0,1)的直线𝑙与椭圆交于𝐶,𝐷两点，并与𝑥轴交于点𝑃，直线𝐴𝐶与直线𝐵𝐷交于点𝑄.

𝑦2

𝑥2

√2

（ⅰ）当|𝐶𝐷|=

3√2时，求直线𝑙的方程； 2

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值. （ⅰ）当点𝑃异于𝐴,𝐵两点时，求证：𝑂𝑃𝑂𝑄

13x2y211．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P1,为椭圆上一点．

22ba

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．

1x2y212．已知椭圆C:221(ab0)的长轴长为6，离心率为.

3ab（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M//F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1,k2，且3k12k20,求直线F1M的方程.

1x2y213．已知椭圆C:221(ab0)的长轴长为6，离心率为.

3ab(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左､右焦点分别为F1，F2，左､右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M//F2N，直线F1M的斜率为26，记直线AM，BN的斜率分别为k1,k2，试证明:3k12k2的

值为定值.

x2y2314．已知椭圆E:221ab0的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过点P1,0作直线ab2交椭圆于点C，D（与A，B均不重合）.当点D与椭圆E的上顶点重合时，AD5. （1）求椭圆E的方程

（2）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：

k1为定值. k2