四川省成都市东辰国际学校2019-2020学年九年级期中数学试题(解析版)

四川省成都市东辰国际学校2019-2020学年

九年级期中数学试题

一、选择题

2

1. 在方程x＋x＝y，5x－2x＝3，(x－1)(x－2)＝0，x－

2

2

（ ） A. 1个

【答案】C 【解析】

解：一元二次方程有：5x－2x2＝3，（x－1）（x－2）＝0， x（x－1）＝1，一共有三个．故选C． 2. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ） A -2

B. 2

C. 4

D. -4

【答案】A 【解析】 【分析】

根据x1x2【详解】设另一根为x2， 则-1+x2=-3， ∴x2=-2. 故选A

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：x1x23. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，如果CD=3，那么AB的长是（ ） A. 1.5

B. 3

C. 6

D. 12

【答案】C 【解析】 【分析】

..1＝4，x(x－1)＝1中，是一元二次方程的有xB. 2个 C. 3个 D. 4个

b求解即可. acb，x1x2 . aa

根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2CD，得到答案． 【详解】∵∠C=90°，点D为斜边AB上的中点， ∴AB=2CD，又CD=3， ∴AB=6， 故选C.

【点睛】考查直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.

，AB＝2，则BD的长为( ) 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°

A. 4 【答案】A 【解析】 【分析】

B. 3 C. 2 D. 1

根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB，再根据矩形的对角线相等解答． 【详解】在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∵∠ACB=30°，AB=2， 2=4， ∴AC=2AB=2×

∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=4． 故选A．

【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．

5. 如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）

A. AB=AD且AC⊥BD 【答案】B

B. AB=AD且AC=BD AC和BD互相垂直平分 C. ∠A=∠B且AC=BD D.

【解析】

解：A．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；

B．根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；

C．根据一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；

D．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形． 故选B．

6. 某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，其中甲跑第一棒，那么乙跑第二棒的概率为（ ） A.

1 24B.

1 12C.

1 6D.

1 3【答案】D 【解析】

【分析】列举出所有情况，看乙跑第二棒的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】甲跑第一棒有6种情况，其中乙跑第二棒的情况数有2种，所以概率为故选D．

21=． 63

【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确画出图是解题的关键.

，则花坛对角线AC的长等于（ ） 7. 如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°

A. 63米

B. 6米

C. 33米

D. 3米

【答案】A 【解析】

分析：本题考查的是菱形的性质，直角三角形的性质解决即可.

，∴OA=33米,∴AC= 解析：因为菱形周长为24米，所以边长为6米，因为BAD60，所以∠BAO=30°

63米.

故选A.

8. 某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为（ ）． A. 8% 【答案】C 【解析】 【分析】

【详解】设每次降价的百分率为x，由题意，得 200（1-x）2=128，

解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率为20%． 故选C．

考点：由实际问题抽象出一元二次方程.

9. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为( )

B. 18%

C. 20%

D. 25%

A. 2 【答案】B

B. C. D. 1

【解析】 【分析】

【详解】∵四边形ABCD为正方形，AB=2， 过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FB=AB=2，BM=1，

则在Rt△BMF中，FM=BF2BM2=2212=3， 故选B．

考点：翻折变换（折叠问题）．

10. 如图所示，矩形ABCD中，AE平分BAD交BC于E，CAE15，则下面的结论：①ODC是等边三角形；②BC=2AB；③AOE135；④SAOESCOE，其中正确结论有（ ）

A. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】

B. 2个 C. 3个 D. 4个

根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出 ∠DOC = 60°即可得出三角形DOC是等边三角形,求出AC= 2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60相加即可求出,∠AOE根据等底等高的三角形面积相等得出

SAOESCOE.

【详解】∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD ∴OA=OD=OC=OB ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=15°. ∴∠CAE=15°， ∴∠DAC=30°. ∵OA=OD，

∴∠ODA=∠DAC=30° ∴∠DOC=60°. ∵OD=OC，

∴△ODC是等边三角形. ∴①正确；

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°. ∴∠DAC=∠ACB=30°. ∴AC=2AB. ∵AC＞BC， ∴2AB＞BC. ∴②错误；

∵AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB=30°.

.

∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°， ∴∠DAE=∠BAE=45°. ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE.

∴四边形ABCD是矩形. ∴∠DOC=60°，DC=AB， ∵△DOC等边三角形， ∴DC=OD. ∴BE=BO.

∴∠BOE=75°， ∵∠AOB=∠DOC=60°， ∴∠AOE=135°. ∴③正确； ∵OA=OC，

∴根据等底等高的三角形面积相等可知S△AOE=S△COE ∴④正确 故正确答案是C.

【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用.

二、填空题

11. 正方形ABCD的边长AB＝4，则它的对角线AC的长度为_______. 【答案】42 【解析】 解：对角线AC=2

AB2BC2424242.故答案为42．

12. 若代数式x＋9的值与－6x的值相等，则x的值为________. 【答案】-3 【解析】

解：根据题意得：x2+9=-6x， 整理得：x2+6x+9=0， （x+3）2=0， 所以x1=x2=-3． 故答案为-3． 13. 如图，

ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件___（只添一个即可），使

ABCD是矩形．

【答案】AC=BD（答案不唯一）

【解析】

试题分析：根据矩形的判定定理推出即可：

添加，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定ABCD是矩形；

添加∠ABC=90°等，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定ABCD是矩形． 14. 已知x1=3是关于x的一元二次方程x-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是_______

2

【答案】1 【解析】

解：设方程另一根为a，则a+3=4，解得：a=1，故答案为1．

15. 一个不透明的布袋里装有2个白球、1个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，先从布袋中摸出1个球，放回搅匀后，再摸出1个球，两次摸到的球都是白球的概率为_____. 【答案】

1 4【解析】 【分析】

根据题意可知，第一次摸到白球的概率是两个概率的乘积，本题得以解决． 【详解】由题意可得，

22，第二次摸到白球的概率是，两次都摸到白球的概率就是这44221×＝， 4441即两次摸到的球都是白球的概率是．

41故答案为．

4两次摸到的球都是白球的概率是：

【点睛】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是明确每次发生的概率，两次都发生的概率就是每次发生的概率的乘积．

16. 关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是_____. 【答案】－2 【解析】 【分析】

若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．

【详解】∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根， ∴△=4-4（a+1）×3≥0，且a+1≠0， 解得a≤-

2，且a≠-1， 3则a的最大整数值是-2． 故答案为-2．

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系： ①当△＞0

时，方程有两个不相等的实数根；

②当△=0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．

，则EF长为________． 17. 如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B＝60°

【答案】23 【解析】 【分析】

【详解】解：连接EF，

由菱形ABCD,AB4BCCD,BAD180B120,AEBC,AFCD

AEB90BAE90B906030,

同理DAF30,EAF120303060

RtAEB中,BE1AB2,AEAB2BE2422223 2AEAF,AEF是等边三角形EFAE23.

，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，18. 点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A，B重合）得到线段PE，连接BE，则∠CBE等于_____．

【答案】45° 【解析】 【分析】

【详解】试题分析：在AD上取一点F，使DF=BP，连接PF，由正方形的性质就可以得出△DFP≌△PBE，就可以得出∠DFP=∠PBE，根据AP=AF就可以得出∠DFP的值，就可以求出∠CBE的值． 解：在AD上取一点F，使DF=BP，连接PF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°．

∴AD﹣DF=AB﹣BP，∠ADP+∠APD=90°， ∴AF=AP．

∴∠AFP=∠APF=45°， ∴∠DFP=135°． ∵∠DPE=90°

∴∠APD+∠BPE=90°． ∴∠ADP=∠BPE． 在△DFP和△PBE中，

DFBPADPBPE， DPPE∴△DFP≌△PBE（SAS）， ∴∠DFP=∠PBE， ∴∠PBE=135°，

∴∠EBC=135°=45°﹣90°．

故答案为45°．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

三、解答题

19. 解下列方程：

(1)(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)； (2)x(2x－4)＝5－8x.

【答案】(1) x1＝－2，x2＝3；(2) x1＝－1＋【解析】

试题分析：（1）整理后用因式分解法解答即可； （2）整理后用配方法解答即可．

试题解析：解：（1）移项，得：（x－1）（x＋2）－2（x＋2）＝0 变形，得：（x＋2）（x－1－2）＝0 ∴x＋2＝0或x－3＝0 ∴x1＝－2，x2＝3；

（2）去括号，得：2x2－4x＝5－8x 移项，得：2x2＋4x＝5

二次项系数化为1，得：x2＋2x＝配方，得：x2＋2x＋1＝

1414，x2＝－1－. 225 257＋1，即（x＋1）2＝ 22两边开平方，得：x＋1＝±7 2∴x1＝－1＋

1414，x2＝－1－． 2220. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．

求证：四边形ABCD是矩形．

【答案】详见解析. 【解析】 【分析】

已知AB∥CD，∠BAD=90°，由平行线的性质可得∠ADC=90°，在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，根据勾股定理的逆定理得出∠B=90°，即可得四边形ABCD是矩形． 【详解】证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°， ∴∠ADC=90°，

又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13， ∵132=52+122，

∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形．

21. 有四张扑克牌，分别为红桃3、红桃4、红桃5、黑桃6，背面朝上洗匀后放在桌面上，从中任取一张后记下数字和颜色(不放回)，再背面朝上洗匀，然后再从中随机取一张，求两次都为红桃，并且数字之和不小于8的概率． 【答案】

1 3【解析】

试题分析：先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都为红桃，并且数字之和不小于8的结果数，然后根据概率公式求解． 试题解析：解：画树状图如下：

总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同．其中，两次都为红桃，并且数字之和不小于8的结果有4

种，所以，P（两次都为红桃，并且数字之和不小于8）＝

41 ． 123点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

22. 临近端午节，某食品店每天卖出300只粽子，卖出一只粽子的利润为1元.经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子.为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0（2）在不考虑其他因素的条件下，当零售单价下降多少元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖．．出的粽子更多？ ．．．．．．

【答案】（1） (1-m) ，（300+1000m）；（2）当零售单价下降0.4元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多 【解析】 【分析】

（1）降价后的利润等于原来的利润-降价即可得到；每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可； （2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解． 【详解】（1）该店每天可售出300+100×每只利润为（1-m）元；

(2) 根据题意，得(1-m)（300+1000m）=420， 解得m1=0.4 m2=0.3，

显然，当m=0.4时, 300+1000m=700， 当 m=0.3时, 300+1000m=600， 700＞600，

答：当零售单价下降0.4元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来． 23. 已知关于x的方程(m－1)x－x－2＝0.

2

m=（300+1000m）只粽子． 0.1(1)当m为何实数时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若x1，x2是方程的两个根，且x1x2＋x1x2＝－【答案】(1)故m>【解析】 【分析】

221，试求实数m的值． 87且m≠1时，方程有两个不相等的实数根(2)m＝5 8

（1）由题意得：判别式△≥0且m－1≠0，即可得到关于m的不等式，求解即可；

22（2）根据根与系数关系：求出两根之和，两根之积．由x1x2x1x2＝x1x2（x1＋x2）＝．代入即可得

18到一个关于m的方程，求解即可．

【详解】解：（1）由题意得：△＝（－1）2－4×（m－1）×（－2）＝8m－7＞0， ∴m＞

7. 8又∵m－1≠0， ∴m≠1． 故m＞

7且m≠1时，方程有两个不相等的实数根； 8（2）由题意得：x1＋x2＝

12. ，x1x2＝－m1m11822∵x1x2x1x2＝x1x2（x1＋x2）＝，

∴－

121·＝， m1m18∴（m－1）2＝16， ∴m1＝5，m2＝－3． ∵m≥

7且m≠1， 8∴m＝5．

24. 如图，已知点E,F分别是□ABCD的边BC,AD上的中点，且∠BAC=90°．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积． 【答案】（1）见解析（2）【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；

253 2

（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，

1BC． 21同理，AF=CF=AD．

2∴AE=CE=∴AF=CE．

∴四边形AECF是平行四边形． ∴平行四边形AECF是菱形．

（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10， ∴AC=5，AB=53． 连接EF交于点O，

∴AC⊥EF于点O，点O是AC中点． ∴OE=

15AB3． 22∴EF=53． ∴菱形AECF的面积是

1253． AC·EF=22

考点：1．菱形的性质和面积；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．

25. 如图，在RtABC中，ACB90，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作

DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE

（1）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形?说明你理由； （2）当D为AB中点时，A等于 度时，四边形BECD是正方形． 【答案】（1）四边形BECD是菱形，理由见解析；（2）45 【解析】 【分析】

（1）先证明AC//DE，得出四边形BECD是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CDBD，得出四边形BECD是菱形；

（2）先求出ABC45，再根据菱形的性质求出DBE90，即可证出结论． 【详解】解：当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；理由如下： ∵DEBC，

DFE90，

∵ACB90，

ACBDFB， AC//DE，

∵MN//AB，即CE//AD，

的四边形ADEC是平行四边形，

CEAD； D为AB中点， ADBD，

BDCE，

∵BD//CE，

四边形BECD是平行四边形，

∵ACB90，D为AB中点，

CD1ABBD， 2四边形BECD是菱形；

（2）当A45时，四边形BECD是正方形；理由如下： ∵ACB90，A45，

ABC45，

∵四边形BECD是菱形，

ABC1DBE， 2DBE90，

四边形BECD是正方形．

故答案为：45．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．