考研--导数、微分、积分

一.基本求导法则与导数公式：

1.常数和基本初等函数的导数公式：

(1)(C)'0 (2)(x)'x1 (3)(sinx)'cosx (4)(coxs)'xs in(3)(5)(tanx)'sec2x (6)(cotx)'csc2x dxln|x|Cxdx(4)arctxanC 21xdx

(7)(secx)'secxtanx(8)(cscx)'cscxcotx

(9)(ax)'axlna (10)(ex)'ex

(11)(logax)'11xlna (12)(lnx)'x

(13)(arcsinx)'11x2(14)(arccosx)'11x2 (15)(arctanx)'11x2

(16)(arccotx)'11x2 2.函数的和、差、积、商的求导法则： 设uu(x),vv(x)都可导，则 (1)(uv)'u'v'

(2)(Cu)'Cu'(C是常数） (3)(uv)'u'vuv'

(4)(uu'vv)'uv'v2(v0） 3.反函数的求导法则： 设

xf(y)在区间

Iy内单调、可导，且

f'(y)0，则它的反函数

yf1(x)在

Ixf(Iy)内也可导，且[f1(x)]'1f'(y)或

dydx1dx dy4.复合函数的求导法则：

设

yf(u)，而ug(x)且f(u)及g(x)都可导，则复合函数yf[g(x)]的导数为 dydxdydududx或y'(x)f'(u)g'(x) 二.基本积分表：

(1)dxkxC(是常数) (2)xdx11x1C(1)

(5)1x2arcsinxC

(6)cosxdxsinxC (7)sinxdxcosxC

(8)dxcos2xsec2xdxtanxC (9)dxsin2xcsc2xdxcotxC

(10)secxtanxdxsecxC (11)cscxcotxdxcscxC

(12)exdxexC

(13)axdx1lnaaxC(14)tanxdxln|cosx|C (15)cotxdxln|sinx|C

(16)secxdxln|secxtanx|C (17)cscxdxln|cscxcotx|C

(18)dxa2x2arcsinxaC

(19)dx1xa2x2aarctanaC

(20)dx1xax2a22aln|xa|C (21)dxx2a2ln(xx2a2)C

(22)dxx2a2ln|xx2a2|C

三.和差化积.

coscos2cos2cos2 coscos2sin2sin2

sinsin2sin2cos2

sinsin2cos2sin2

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(14)tanxdxln|cosx|C

tanxdxsinxcosxdxd(cosx)cosxln|cosx|C

(15)cotxdxln|sinx|C

cotxdxcosxsinxdxd(sinx)sinxln|sinx|C

(16)secxdxln|secxtanx|C

secxdxdxcosxd(sinx)cosxcos2xdx1sin2xd(sinx)1d(1sin(1sinx)(1sinx)2x)(1sinx)

1d(1sinx)2(1sinx)12ln|1sinx1sinx|C 12ln|(1sinx)21sin2x|C12ln|1sinxcosx|2C ln|secxtanx|C

(17)cscxdxln|cscxcotx|C

可参考secxdx的解法。

(18)dxa2x2arcsinxaC

d(xdxdxa2x2a)

a1(x)2a1(x)2aarcsinxaC

(19)dx1a2x2aarctanxaC dxa2x21dxd(1)a21(xC1a2a)a1(xa)21aarctanxaC

(20)dxx2a212aln|xaxa|C

dxx2a2dx(xa)(xa) 12a(1xa1xa)dx

1xa2aln|xa|C

(21)dxx2a2ln|xx2a2|C

根据sin2cos21，两边可以同时除以sin2或cos2,根据具体题目而定。 令xatant(222t2),则axasect

dxasec2tdt

dxasec2tx2a2asectdtsectdt

|secttant|Cln|xa2ax2lna|C

ln|xa2x2|lnaC

ln(xa2x2)C1

(22)dxln|xx2a2x2a2|C

可参照

dx的解法。

x2a2●竖式积分：

u(x)v'(x)dxu(x)v(x)u'(x)v(x)dx竖式积分口诀：

（1）左导右积，正负相间。 （2）斜为乘积，横为积分 说明：

（1）竖式积分可以连用。 （2）左边可导到0 （3）（i）Pn*sinx多项式Pn为左。

（ii）单个超越函数（对数，反三角）为左，

右为1 例题：求

xcosxdx

解：该题可以用竖式积分，可以解得

xcosxdxxsinxcosxC