复数整数指数幂的运算法则 2019高考绝密资料

主标题：复数整数指数幂的运算法则

副标题：为学生详细的分析复数的整数指数幂的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：复数，整数指数幂，知识总结 难度：3 重要程度：4

考点剖析：本考点包括复数整数指数幂的运算法则，考纲明确要求学生要了解复数的整数指数幂的意义，能进行简单的计算。 命题方向：

1.利用虚数单位innN的周期性求值是近几年高考的热点． 2.题型以选择题和填空题为主，属于基础题.

规律总结：

1.复数整数指数幂的运算法则规律总结 一个规定：

i01

两个防范

(1)复数的指数只能是整数，不能是分数．

(2)在复数的整数指数幂的运算中，不能把整数化为分数与整数乘积的形式．

复数整数指数幂的运算法则

zmzmn,zmznzmn,z1z2z1mz2mm,nN*

nminnN的周期性：

i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i,iN

导数在研究函数中的应用

主标题：导数在研究函数中的应用备考策略

副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。 关键词：导数，极值，最值，备考策略 难度：4 重要程度：5 内容

考点一 利用导数研究函数的单调性

【例1】设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2. (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围． 解 (1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2， ∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)． 令f′(x)>0，即x(ex－2)>0， ∴x>ln 2或x<0.

令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0∴当x≥0时，f′(x)＝x(ex－2k)≥0恒成立． ∴ex－2k≥0，即2k≤ex恒成立． 1

由于ex≥1，∴2k≤1，则k≤2.

1

又当k＝2时，f′(x)＝x(ex－1)≥0当且仅当x＝0时取等号． 1

因此，实数k的取值范围是－∞，2.



【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

考点二 利用导数研究函数的极值

13

【例2】 设f(x)＝aln x＋2x＋2x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴． (1)求a的值； (2)求函数f(x)的极值．

审题路线 (1)由f′(1)＝0⇒求a的值．

(2)确定函数定义域⇒对f(x)求导，并求f′(x)＝0⇒判断根左，右f′(x)的符号⇒确定极值．

13

解 (1)由f(x)＝aln x＋2x＋2x＋1，

a13

∴f′(x)＝x－2x2＋2.

由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴， ∴该切线斜率为0，即f′(1)＝0. 13

从而a－2＋2＝0，∴a＝－1.

13

(2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋2x＋2x＋1(x>0)， 1133x＋1x－1

∴f′(x)＝－x－2x2＋2＝.

2x21

令f′(x)＝0，解得x＝1或－3(舍去)．

当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值．

【备考策略】 (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

考点三 利用导数求函数的最值

【例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16. (1)求a，b的值；

(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值． f′2＝0，

审题路线 (1)⇒a，b的值；

f2＝c－16

(2)求导确定函数的极大值⇒求得c值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．

解 (1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b， 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16， f′2＝0，12a＋b＝0，故有即

f2＝c－16，8a＋2b＋c＝c－16.12a＋b＝0，a＝1，化简得解得

4a＋b＝－8，b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12. 令f′(x)＝0，得x＝－2或2.

当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) －3 9＋c (－3，－2) ＋  －2 0 极大值 (－2,2) － 2 0 (2,3) ＋ 3  极小值  －9＋c 由表知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.

由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12，

此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.

【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．