【智博教育原创专题】一道向量习题的分析与解答(20131020)

--------对一道试题的思考

近日，笔者在高三一轮复习中教辅书上看到这样一道很普通的题：

题目：如图所示，P为AOB所在平面上一点，向量OAa，OBb，且P在线段AB的垂直平分

线上，向量OPc。若a3，b2，则c(ab)的值为（ ）

53 D. C. 22这道例题中，最为显眼的条件是“P在线段AB的垂直平分线上”，那么怎么充分利用这一条件呢？ 不妨记AB的中点为D，DPAOQ，由已知条件非常容易想到“BDDP,ADDP,ABDP”，

与向量联系起来，可以转化为“BDDP0,ADDP0,ABDP0”，由此可以得到解法一：

11ab连接OD，易知BDBA(ab)，DPOPODc。因BDDP，故

22251ab1，故BDDP(ab)(c)[2c(ab)5]0c(ab)，选C。

2242在此解法中，还可以利用另外两个垂直关系，在此不再累述。

1在解法一中，接连了OD，而OD是ABO的中线，可以联系到OD(OAOB)这一性质，此法

2思路很清晰，充分利用了垂直平分线的垂直，但对“平分”这一点用得还有点含蓄，不够充分。我们进一步对所求式子进行思考可得到解法二： c(ab)OPBA(ODDP)BAODBADPBA，由解法一中分析可知DPBA0，故原

11225式ODBA(ab)(ab)(ab)选C。

222显然，解法二无论是思路还是在计算量上都要优于解法一，原因在于对垂直平分这一条件用得更加充分。前进的步伐是否止于此呢？

“垂直平分线”这一概念对所有的高中生来说，并不陌生，在初中时就已经学习过。垂直平分线的经典性质是：“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”。能否利用这一性质解决本问题呢？我们

试着连接AP,BP，由垂直平分线的性质知：APBP，即cacb，平方得

2225222c2bcbc2ac2a，化简可得c(ab)ab5，即c(ab)。

2

A.5 B.3

利用“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”这一性质完美解决此题。

还可以进一步挖掘“P在线段AB的垂直平分线上”这一条件，点P到底在线段AB哪个位置，题目中并没有告诉我们，那我们能否将点P放在一个特殊的位置上呢？比如放在点D的位置，即P,D两点重合，尝试一下吧！

11若P,D两点重合，则cOD(OAOB)(ab)，则

2211225c(ab)(ab)(ab)(ab)。

222从这道题目的分析中，我们可以深刻的体会到抓住关键条件，深入挖掘以达到破题的目的的必要性，当然，要多角度，深层次的挖掘已知条件一定要对已知条件所涉及的基础知识、基本结论及相关的性质非常熟悉，故在教学过程中应切实做到立足教材，立足大纲的基础上，推出陈新，充分体现尊重教材，激活教材的指导思想。我想我们注重基础学习，系统学习，成功的路就在脚下，穿林涉水攀山越崖，便可在希望之巅观云赏花！