因式分解

　　因式分解是初中代数的重要内容，因其分解方法较多，题型变化较大，教学有一定难度。转化思想是数学的重要解题思想，对于灵活较大的题型进行因式分解，应用转化思想，有章可循，易于理解掌握，能收到较好的效果。

　　因式分解的基本方法是：提取公因式法、应用公式法、十字相乘法。对于结构比较简单的题型可直接应用它们来进行因式分解，学生能够容易掌握与应用。但对于分组分解法、折项、添项法就有些把握不住，应用转化就思想就能起到关键的作用。

　　分组分解法实质是一种手段，通过分组，每组采用三种基本方法进行因式分解，从而达到分组的目的，这就利用了转换思想。看下面几例：

　　例1、   4a2+2ab+2ac+bc

　　解:原式 =（4a2+2ab）+(2ac+bc)

　　=2a(2a+b)+c(2a+b)

　　=(2a+b)(2a+c)

　　分组后，每组提出公因式后，产生新的公因式能够继续分解因式，从而达到分解目的。

　　例2、   4a2-4a-b2-2b

　　解:原式=(4a2-b2)-(4a+2b)

　　=(2a+b)(2a-b)-2(2a+b)

　　=(2a+b)(2a-b-2)

　　按“二、二”分组，每组应用提公因式法，或用平方差公式，从而继续分解因式。

　　例3、   x2-y2+z2-2xz

　　解:原式=(x2-2xz+z2)-y2

　　=(x-z2)-y2

　　=(x+y-z)(x-y-z)

　　四项式按“三一”分组，使三项一组应用完全平方式，再应用平方差进行因式分解。

　　对于五项式一般可采用“三二”分组。三项这一组可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二项这一组可采用提公因式法或平方差公式分解，因此变化性较大。

　　例4、   x2-4xy+4y2-x+2y

　　解:原式=(x2-4xy+4y2)-(x-2y)

　　=(x-2y)2-(x-2y)

　　=(x-2y)(x-2y-1)

　　例5、   a2-b2+4a+2b+3

　　解:原式=(a2+4a+4)-(b2-2b+1)

　　=(a+2)2-(b-1)2

　　=(a+2+b-1)(a+2-b+1)

　　=(a+b+1)(a-b+3)

　　对于六项式可进行“二、二、二”分组，“三、三”分组，或“三、二、一”分组。

　　例6、   ax2-axy+bx2-bxy-cx2+cxy

　　①解:原式=(ax2-axy)+(bx2-bxy)-(cx2-cxy)

　　=ax(x-y)+bx(x-y)-cx(x-y)

　　=(x-y)(ax+bx-cx)

　　=x(x-y)(a+b-c)

　　②解:原式=(ax2+bx2-cx2)-(axy+bxy-cxy)

　　=x2(a+b-c)-xy(a+b-c)

　　=x(x-y)(a+b-c)

　　例7、   x2-2xy+y2+2x-2y+1

　　解:原式=(x2-2xy+y2)+(2x-2y)+1

　　=(x-y)2+2(x-y)+1

　　=(x-y+1)2

　　对于折项、添项法也可转化成这三种基本的方法来进行因式分解。

　　例8、   x4+4y4

　　解:原式=(x4+4x2y2+4y4)-4x2y2

　　=(x2+2y2)2-4x2y2

　　=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)

　　例9、   x4-23x2+1

　　解:原式=x4+2x2+1-25x2

　　=(x2+1)2-25x2

　　=(x2-5x+1)(x2+5x+1)

　　又如x3-7x-6可用折项、添项多种方法分解因式:

　　⑴x3-7x-6=(x3-x)-(6x+6)

　　⑵x3-7x-6=(x3-4x)-(3x+6)

　　⑶x3-7x-6=(x3+2x2+x)-(2x2+8x+6)

　　⑷x3-7x-6=(x3-6x2-7x)+(6x2-6)

　　只有掌握好三种基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大、技巧性较强的题型。

　　本文有些内容超出大纲，但由于强调转化，既巩固知识，又开阔视野，对因式分解这一章会起到一定