中考抛物线综合题

题型一：面积问题

例.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于DE的一条直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

解：（1）∵点A(－2，0)与点B关于直线x＝1对称， ∴B(4，0)，

将点A，B，C的坐标代入函数解析式， 1

a＝－2



得16a＋4b＋c＝0，解得b＝1， c＝4c＝4

4a－2b＋c＝0

1

∴抛物线的解析式为y＝－2x2＋x＋4；

（2）不存在点F使四边形ABFC的面积为17，理由如下： ∵B(4，0)，C(0，4)， ∴BC的解析式为y＝－x＋4，

如解图，过点F作x轴垂线，交BC于G，

1

设F点的坐标为(m，－2m2＋m＋4)，则G(m，－m＋4)，

11

∴FG＝(－m2＋m＋4)－(－m＋4)＝－m2＋2m，

22

11111

∴S四边形ABFC＝S△ABC＋S△BCF＝2AB·yC＋2FG·(xB－xC)＝2×6×4＋2×4×(－2m2＋2m)＝17， 整理得m2－4m＋5＝0，

∵b2－4ac＝16－4×1×5＝－4<0.∴方程无解，∴F点不存在；

199（3）当x＝1时，－2x2＋x＋4＝2，即D(1，2)． 当x＝1时，－x＋4＝3， 93

即E(1，3)，∴DE＝2－3＝2. 1

设Q点坐标为(m，－2m2＋m＋4)，则P(m，－m＋4)． 11

∴|PQ|＝|(－2m2＋m＋4)－(－m＋4)|＝|－2m2＋2m|. 13

由PQ∥DE，PQ＝DE得|－2m2＋2m|＝2， 123123∴－2m＋2m＝2或－2m＋2m＝－2，

解得m1＝1(PQ与DE重合，舍去)，m2＝3，m3＝2＋7，m4＝2－7. ∴P点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．

变式练习

1如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

A O x B y 1 98y C B D x O 1 A 图1

3.如图，已知：直线yx3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线yx3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

能力提升：

如图，抛物线yax22x3与x轴交于A、B两点，且B(1,0)（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）如图1，点P是直线yx上的动点，当直线yx平分APB时，求点P的坐标；（3）如图2，已知直线yx分别与x轴、y轴交于C、F两点，点过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，

点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

2349

题型二：构造直角三角形

例：

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，顶点D的坐标分别为A（－1，0），D（1，m）． （1）当OB=OC时，求抛物线的解析式；

（2）直线CD必经过某一定点，请你分析理由并求出该定点坐标；

（3）点P为直线CD上一点，当以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求m的值．

第5题图

解：（1）∵点A，顶点D的坐标分别为A（－1，0），D（1，m）， ∴B（3，0）， ∴OB=3， ∵OB=OC， ∴C（0，3）， 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x－3）， 把点C（0，3）代入得，∴a×1×（－3）=3， ∴a=－1， ∴抛物线的解析式为y=－(x+1)(x－3)=－x2+2x+3； （2）∵抛物线顶点D的坐标分别为（1，m）， b∴－=1， 2a∴b=－2a， ∴抛物线的解析式为y=ax2－2ax+c， ∵A（－1，0）在抛物线上， ∴a+2a+c=0， ∴c=－3a， ∴抛物线的解析式为y=ax2－2ax－3a=a（x－1）2－4a， ∴m=－4a， ∴D（1，－4a），C（0，－3a）， 设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把D、C点的坐标代入得，

kn4aka，解得， n3an3a∴直线CD的解析式为y=－ax－3a=－a（x+3）， 令x+3=0，

即：x=－3时，y=0，

∴直线CD必经过定点（－3，0）； （3）A（－1，0），B（3，0）， ∴AB=4， 当∠PAB=90°时，PA=AB， ∵P（－1，－2a）， ∴PA=－2a， ∴－2a=4， ∴a=－2， ∴m=－4a=8， 当∠PBA=90°时，PB=AB， ∵P（3，－6a），∴PB=－6a， ∴－6a=4， 2∴a=－， 38∴m=－4a=. 3当∠APB=90°时，PA=PB， ∵P（1，－4a）， 1∴m=－4a=AB=2， 28∴以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，m的值为8或或2． 3

变式练习

1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．

E

2.如图，抛物线y=交于点C．

（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴

3.

题型三：构造等腰三角形

例：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx－3（a≠0）与x轴交于点A（－

2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．点P、Q分别是AB、BC上的动点，当点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度如图向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设P、Q同时运动的时间为t秒（0＜t＜2）． （1）求抛物线的解析式；

（2）设△PBQ的面积为S，当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？ （3）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？

解：（1）把A（－2，0）、B（4，0）代入抛物线解析式得，

3a4a2b308，解得， 316a4b30b433∴抛物线的解析式为y=x2－x－3. 84（2）如解图①，过点Q作QD⊥AB于点D.

由题意可知：AP=3t，BQ=t． ∴PB=6－3t．

由题意得，点C的坐标为（0，－3）， ∴OC=3.

在Rt△BOC中，BC=3242=5， ∵DQ∥OC，

∴△BDQ∽△BOC， BQDQtDQ∴＝,即， BCOC533∴DQ=t. 511399∴S△PBQ=PB×DQ=（6－3t）×t=－(t−1)2+， 22510109∴当t=1，△PBQ的面积最大，最大面积是. 10（3）当BQ=PQ，如解图②， ∵BQ=PQ，DQ⊥PB， 1∴PD=DB=（6－3t）， 2∵DQ∥OC，∴△BDQ∽△BOC， 31t(63t)DQDB30∴=，即52，∴t=. OCOB2334当BP=BQ即6－3t=t， 3∴t=， 2当BP=PQ，如解图③，过点Q作QD⊥x轴于点D， 第4题解图③

∵PQ=BP，

∴PB=PQ=6－3t. ∵DQ∥OC，

∴△BDQ∽△BOC， 3tDQDBBD∴=，即5， OCOB344∵BD=t， 5419∴DP=DB－PB=t－（6－3t）=t−6， 55在Rt△DPQ中，DP2+DQ2=PQ2， 193∴(t−6)2+(t) 2＝(6−3t)2， 5548∴解得t=. 2930348∴当t=或或时，△PBQ是等腰三角形. 23229

变式练习

1．如图，已知抛物线yax2bx3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上是否存在一点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

3.如图，抛物线yax25ax4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式； （2）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

y C A 1

B

x 0 1

题型四：构造相似三角形

例;如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=－12x+bx+c经过点A（－2，0），4B（8，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．

坐标；若不存在，请说明理由；

②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．

变式练习

1.如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2. 如图，二次函数的图象经过点D(0，73)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴

9上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

3.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

能力提升.

1.如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、

B（4，4）两点．

（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，

且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

2.如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题：

①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；

（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

题型五：构造平行四边形 例：如图，抛物线y=ax2+bx－5经过A（－1，0），B（5，0）两点． 2（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC的值最小时，求△ABP的面积； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

5ab02解：（1）把A（－1，0），B（5，0）代入抛物线解析式得，，解525a5b021a得2， b2125x－2x－； 2215（2）∵抛物线的解析式为y=x2－2x－， 22b∴对称轴为直线x=－=2， 2a连接BC交对称轴于点P，此时点P满足使得PA+PC的值最小，如解图①， ∴抛物线的解析式为y= 第10题解图① 设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 5把B（5，0），C（0，－）代入得， 21k5kb02， 5，解得bb522∴直线BC的解析式为y=当x=2时，y=1－∴P（2，－15x－， 2253=－， 223139），此时S△ABP=×6×=； 2222（3）存在， 如解图②， ①当点N在x轴下方时， 5∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，－）， 25∴N1（4，－）； 2

第10题解图②

②当点N在x轴上方时，过点N作ND垂直x轴于点D，

∵四边形ACMN是平行四边形， ∴AN=CM，AN∥CM， ∴∠NAD=∠AMC， 在△AND和△MCO中，

NADCMO， ANCMANDMCO∴△AND≌△MCO（AAS）， 55∴ND=OC=，即N点的纵坐标为， 22155∴x2－2x－=， 222解得x=2±14， 55），N3（2－14，）， 22555综上，符合条件的点N的坐标为（4，－）、（2+14，）或（2－14，）222．

∴N2（2+14，

变式练习

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y5xm（m为常数）4的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B． （1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E

的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

3.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

例：已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y3x3的图像与y轴交于点A，点

4M在正比例函数y3x的图像上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、

2M．

（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一

次函数y3x3的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

4

变式练习

1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°， 以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点 在对称轴上．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？ （3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝2经过抛物线上两点D，E．已知点D，E的横坐标分别为x1，x2且满足x1+x2＝3，直线BC的表达式为y＝﹣x+n．

（1）求n的值及抛物线的表达式；

（2）设点Q是直线DE上一动点，问：点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出点Q的坐标及△QOB周长的最小值；

（3）如图2，M是线段OB上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线BC和抛物线分别交于点P，N．若点F是直线BC上一个动点，当点P恰好是线段MN的中点时，在坐标平面内是否存在点G，使以点G，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

例：二次函数与矩形：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；

（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．

①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为

矩形．

变式训练：1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式；

（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝

，试求m的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

题型七：线段最值问题

例：如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

变式训练:

1如图，已知直线y11x1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx2bxc与22直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标。

2axbxca02已知：抛物线y的对称轴为x1，与x轴交于A，B两点，与y0、C0，2．轴交于点C，其中A3，（1）求这条抛物线的函数表达式． （2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标． （3）已知在对称轴上存在一点Q，使得|QB-QC|的长最大．请求出点Q的坐标．

3.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；

（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

1（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这

2个最小值；若不存在，请说明理由．

4. 如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

能力提升

22x+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（－2，0）两点，与3y轴交于点C，连接AC． （1）求抛物线的解折式；

（2）如图②，动点Q在第一象限的抛物线上运动，连接QO交线段AC于点E，过点A作直线AF∥y轴，点F在x轴上方，且满足AF=CE． ①当△AEF是直角三角形时，求线段AF的长： ②当OE+OF的值最小时，求线段AF的长． 1.如图①，抛物线y=－

解：（1）将点A、B的坐标代入得：

263bc0b，解得3， 82bc03c4222x+x+4； 33（2）①如解图①，当∠EFA=90°时． ∴抛物线的解析式为y=－

第7题解图①

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4， ∴OC=4．

在Rt△COA中，由勾股定理可知：AC=OC2OA2=5． 设AF=CE=x，则AE=5－x． ∵AF∥OC， ∴∠EAF=∠OCA，即cos∠EAF=cos∠OCA， AFOCx420，解得x=∴，即， AEAC5x5920∴AF=． 9如解图②，当∠FEA=90°时． 第7题解图② 设AF=CE=x，则AE=5－x． ∵AF∥OC， ∴∠EAF=∠OCA，即cos∠EAF=cos∠OCA， AEOC5x425，解得x=∴，即， AFACx5925∴AF=． 92025或． 99②如解图③，在AC上取点D使AD=OC=4，作点D关于AF的对称点D′，连接OD′交AF于点F，此时OE+OF最小，过点D′作D′G⊥x轴，垂足为G． 综上所述，当△AEF是直角三角形时，AF的长为 ∵OC∥AF，

∴∠ECO=∠DAF． 在△OCE和△DAF中，

CEAFECODAF， OCAD

∴△OCE≌△DAF， ∴OE=DF． ∴OE=FD′． ∴OE+OF=OF+FD′． ∵AC=5，AD=OC=4， ∴CD=1． 316∴点D的坐标为（，）， 552716∴点D′的坐标为（，） 55∵AF∥D′G， ∴△OFA∽△OD’G， x3AFAO16∴，即，解得x=． 1627D'GOG95516∴当OE+OF的值最小时，线段AF的长为． 92. 已知,如图,二次函数yax22ax3a(a0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:y3x3对称.

3（1）求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;（2）求二次函数解析式;

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HNNMMK和的最小值.

3.如图，已知直线y11x1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx2bxc与22yyllHKHKAOBxAOBx 备用图 直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标。

4.如图，已知抛物线y＝ax ＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

题型八;角的相关问题

y 2

A O B C x 例：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2－3x+c 3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，直线y=－3x+b与抛物线相交于点A，D，与y轴交于点E，已知OB=3，OC=2． 6（1）求a，b，c的值；

（2）点P是抛物线上的一个动点，若直线PE∥AC，连接PA，求tan∠APE的值；

（3）动点Q从点C出发，沿着y轴的负方向运动，是否存在某一位置，使得∠OAQ+∠OAD=30°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

变式练习

391.如图，抛物线yx2x3与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），

44与y轴交于点C，点P是第一象限抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l垂直于x轴，垂足为D，交直线AC于点E．连接CD． （1）求出A，B，C三点坐标及直线AC的解析式； （2）当∠DCO=∠DCA时，直接写出此时点P坐标；

（3）在点P运动的过程中，是否存在以点P，C，E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出此时m的值？若不存在，请说明理由．

yl yPCCEBODAxBO备用图Ax

2.如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一动点，PE∥y轴，交直线BC于点E连接AP，交直线BC于点 D．

（1）求抛物线的函数表达式； （2）当AD＝2PD时，求点P的坐标； （3）求线段PE的最大值；

（4）当线段PE最大时，若点F在直线BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接写出点F的坐标．

3.如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为 ； （2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；

（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．

4.