APT定价模型组题

资产组合理论：

1、假如有A和B两种股票，它们的收益是相互的。股票A的收益为15%的概率是40%，而收益为10%的概率是60%，股票B的收益为35%的概率是50%，而收益为-5%的概率也是50%。 （1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？

（2）如果50%的资金投资于股票A，而50%的资金投资于股票B，问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？

答案：（1）股票A的期望收益E(RA)0.415%0.610%12%;股票A的标准差

2A0.4（15%12%）0.6(10%12%)20.0245。

股票B的期望收益E(RB)0.535%0.5(5%)15%;股票B的标准差

2B0.5（35%15%）0.5(5%15%)20.2

因为股票A和股票B的收益是相互的，所以它们收益之间的协方差为0。 （2）该投资组合的期望收益

E（RP）0.5E(RA)0.5E(RB)0.512%0.515%13.5%,

2222A2（0.5）B2（0.5）0.02452（0.5）0.220.1007 标准差P（0.5）

2、假设有两种基金：股票基金A，债券基金B，基金收益率之间相关系数为0.05，概率分布如下：A：

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期望收益 10% 标准差 20%

B：期望收益 5% 标准差 10%

计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？ （2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？

答案：（1）设组合中A基金投资比例为X，那么B基金投资比例为1-X。组合的方差

P2x2A2(1x)2B22x(1x)AB0.22x20.12(1x)20.10.20.1x(1x)是关于X的一元二次方程，其最小的条件是关于X的导数为0。 对X求导，并使其等于0，得：

0.096x0.018，解得：X=0.1875,1-X=0.8125

所以最小方差组合中A基金的投资比例为0.1875，B基金的投资比例为0.8125。 （2）最新方差组合的期望收益

E(RP)=xE(RA)(1x)E(RB)0.187510%0.81255%5.9375%

标准差

Px2A2(1x)2B22x(1x)AB0.220.187520.12(10.1875)20.10.20.1875(10.1875)0.1 0.0912

CAPM：

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3、假设国库券利率是4%，市场组合的期望收益率是12%，根据CAPM： （1）画图说明期望收益和之间的关系 （2）市场的风险溢价是多少？

（3）如果一个投资项目的为1.5，那么该投资的必要回报率是多少？

（4）如果一个为0.8的投资项目可以获得9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？

（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%，那么该股票的是多少？

答案：（1）

E(R) E(R)=4%+（12%-4%）*Beta

（2）市场的风险溢价是：12%-4%=8% （3）E（R）=4%+（12%-4%）*1.5=16%

（4）该项目必要回报率E（R）=4%+（12%-4%）*0.8=10.4%，而只能获得9.8%的期望收益率，小于10.4%，所以不应该投资该项目。

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（5）11.2%=4%+（12%-4%）*，解得：=0.9。

4、假设无风险收益率为6%，市场组合的预期收益率为10%，某资产组合的β系数等于1.2。根据CAPM计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为20元，其β=0.8，预期该股票1年后股价为23元，期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多还是应该看空该股票？

答案：（1）该资产组合的预期收益率E（R）=6%+（10%-6%）*1.2=10.8%

(2)该股票的期望收益率为E(R)= 6%+（10%-6%）*0.8=9.2%，按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06。而该股票的现价20<21.06，说明该股票被低估了，所以投资者应该看多该股票。

APT：

5、考虑一个单因素APT模型，股票A和股票B的期望收益率分别为15%和18%，无风险利率是6%，股票B的为1.0。如果不存在套利机会，股票A的应该是多少？

答案：根据APT，对于股票B：18%=6%+1.0F，解得：F=12% 对于股票A：15%=6%+F=6%+12%，解得：=0.75。

6、考虑一个多因素APT模型，股票A的期望收益率是17.6%，关于因素1的是1.45，关于因素2的页脚内容4

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是0.86。因素1的风险溢价是3.2%，无风险利率是5%，如果不存在套利机会，那么因素2的风险溢价是多少？

答案：根据APT，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26% 因此，因素2的风险溢价是9.26%。

7、考虑一个多因素APT模型，假设有两个的经济因素F1和F2，无风险利率是6%， 两个充分分散化了的组合的信息如下：

对应因素1的组合 β 对应因素2的期望收益 β A 1.0 2.0 19% B 2.0 0.0 12% 如果不存在套利机会，那么因素1和因素2的的风险溢价分别是多少？

答案：设因素1和因素2的风险溢价分别为R1和R2，根据APT，有： 对于组合A：19%=6%+1.0R1+2.0R2 对于组合B：12%=6%+2.0R1

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联立以上两个等式，解得：R1=3%，R2=5%

因此，因素1和因素2的风险溢价分别为3%和5%。

8、已知股票A和股票B分别满足下列单因素模型：

RA0.10.9RMARB0.051.1RMB

M0.2(A)0.3(B)0.1（1） 分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。

（2） 用股票A和B组成一个资产组合，两者所占比重分别为0.4和0.6，求该组合的非系统性标

准差。

答案：（1）股票A的标准差A0.92M2(A)20.920.220.320.3499 股票A的标准差B1.12M2(B)21.120.220.120.2417 股票A和股票B的协方差

ABCOV(RA,RB)COV(0.10.9RMA,0.051.1RMB)COV(0.9RM,1.1RM)0.99M0.990.20.0396RP0.4RA0.6RB0.4(0.10.9RMA)0.6(0.051.1RMB)22（2）组合的收益率

组合的非系统性标准差

0.42(A)20.62(B)20.420.320.620.120.1342

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9、假设每种证券的收益可以写成如下两因素模型：RitE(Rit)i1F1ti2F2t，其中：Rit表示

第i种证券在时间t的收益，F1t和F2t表示市场因素，其数学期望等于0，协方差等于0。此外，资本市场上有2种证券，每种证券的特征如下：

证券 E（Rit) βi1 βi2 1 10% 1 0.5 2 10% 1.5 0.75 （1） 建立一个包括证券1和证券2的投资组合，但是其收益与市场因素F1t无关。计算该投资组

合的期望收益和贝塔系数β2。

（2） 设有一个无风险资产的期望收益等于5%，β1=0，β2=0，是否存在套利机会？

答案：(1)设组合中证券1的投资比例为X，那么证券2的投资比例为1-X。

RptXR1t(1X)R2tX[E(R1t)11F1t12F2t](1X)[E(R2t)21F1t22F2t]

因为其收益与市场因素F1t无关，所以组合关于F1t的贝塔应该为0，即：

X11(1X)210X(1X)1.50

解得：X=3，1-X=-2，所以E(Rpt)3(10%)2(10%)10%

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p2X12(1X)223(0.5)2(0.75)0

所以其收益与市场因素F1t和F2t都无关。

（2） 因为（1）中投资组合收益与市场因素F1t和F2t都无关，所以是无风险的投资组合，其收益为10%，高于无风险资产5%的期望收益，所以应该借入期望收益为5%的无风险资产，然后投资于（1）中10%的投资组合。

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