(完整版)锐角三角函数与圆的综合应用(含答案)

1.如图，在△ABC中，ABAC，以AB为直径的eO分别交AC、BC于点D、E，点F

1在AC的延长线上，且CBFCAB.

2⑴ 求证：直线BF是eO的切线；

⑵ 若AB5，sinCBF

2．如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点 B在⊙O上， 且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F， △BEF的面积为8，且cos∠BFA＝

5，求BC和BF的长. 5OADCEBF2，求△ACF的面积． 33．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，

且AED=45． D C (1) 试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2) 若⊙O的半径为3，sinADE=

1

5，求AE的值． 6A O B E 4. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC

边相切于点D，联结AD.

（1）求证：AD是∠BAC的平分线； A（2）若AC= 3，tan B=

3，求⊙O的半径. 4O E

CB

D 5．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，

BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．

（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

3（2）若sinABE，CD2，求⊙O的半径．

3AEDO F

CB

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； 1

（2）如果⊙O的直径为9，cosB＝ ，求DE的长

3

2

7：如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.

COBAD

»的中点，DPAC,垂足为点P. 8：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是BC（1）求证：PD是⊙O的切线.

3 （2）若AC=6, cosA=，求PD的长.

5

APCDOB

9.如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE∥ CD，交AC

的延长线于点E.连接BC．

（1）求证：BE为⊙O的切线；

EC1（2）如果CD=6，tan∠BCD=，求⊙O的直径的长．

2

AOMBD

3

10.如图，AB 是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，ACCD.

（1）求证：CD是半⊙O的切线； （2）若OA2，求AC的长.

11.如图，点P在半eO的直径BA的延长线上，AB2PA，PC切半eO于点C，连结BC.

C（1）求P的正弦值；

（2）若半eO的半径为2，求BC的长度.

PAOB

12.如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心O交eO于点B，且AC⊥DE，垂足为F，

1E 连结AD、BE，若sinA，∠BED=30°．

2B （1）求证：AD是⊙O的切线； A F O （2）△DCE是否是等边三角形？请说明理由；

（3）若eO的半径R2，试求CE的长．

D

例 1：（1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.

∴ ∠EAB+∠E=90°. ……………………1分 E4

COBC

∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，

∴ ∠EAB+∠BAD =90°.

∴ AD是⊙O的切线. ……………………2分 （2）解：由（1）可知∠ABE=90°.

∵ AE=2AO=6, AB=4,

∴ BEAE2AB225. …………………………………………………3分

∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB, ∴ cosBADcosE. ……………4分 ∴

ABBE125425. ……………………5分 .∴ AD.即5AD6ADAE例2：（1）证明：如图：连接 OD，AD.

∵D为弧BC的中点，∴弧CD = 弧BD.∴121PAB. 2PDEC∵21BOD，∴PABBOD. 2∴PA∥DO . ………………………………1分 12∵DP⊥AP，∴∠P=90°.∴∠ODP=∠P=90°. A即 OD⊥PD.

∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线. ………………………………2分 （2）连结CB交OD于点E.

∵AB为⊙O直径 ，∴∠ACB =∠ECP=90°. ∵∠ODP=∠P=90°，∴四边形PCED为矩形.

∴PD = CE，∠CED = 90°.…………………………………………………3分 ∴OD⊥CB.∴EB = CE. ……………………………4分 在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∴cosA = ∵AC = 6 , cosA =

OBAC. AB31，∴AB = 10 . ∴BC = 8 .∴CE=PD= BC = 4. ……………5分 52例3.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，

∴CD⊥AB. ……………………………………… 1分

∴∠AMC＝90°.

∵BE∥CD，∴∠AMC＝∠ABE.∴∠ABE＝90°，即AB⊥BE.

又∵B是⊙O上的点，

∴BE是⊙O的切线. ………………………………………… 2分

（2）∵M是CD的中点，CD=6，∴CM=CD=3. 在Rt△BCM中，∵tan∠BCD=

3BM1BM1=,∴=,∴BM=. …………… 3分

22CM2312又∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°. ∵CM⊥AB于M，∴Rt△AMC∽Rt△CMB.∴

32AMCM,∴CM2AMBM. CMBM∴32AM.∴AM=6. …………………………… 4分

∴AB=AM+BM=6+=

321515. …………………… 5分，即：⊙O的直径的长为. 225

4.（1）连结

OC ∵OA=OC，∠A=30°∴∠A=∠ACO=30°∴∠COD=60° 又∵AC=CD，∴∠A=∠

D=30°.∴∠OCD=180°－60°－30°=90° ∴CD是半⊙O的切线（2）连结BC∵AB是直径，∴∠ACB=90° 在Rt△ABC中，∵cosA=

AC ABCPCO90．…………………1分

∵AB2PA，PAOAOBOC． DOC1在Rt△PCO中，sinP······························································ 2分 ． ·

POP2AOB（2）过点O作ODBC于点D，则BC2BD． ············································· 3分

1QsinP，P30，POC60．

2∵OCOB，BOCB30．

323∴AC=23 25：（1）证明：如图，连接OC．∵PC切半eO于点C，

AC=ABcosA=4×

BDOBgcos30在Rt△OBD中，OB2，3．BC23．----------------4分，

6.（1）连接OD．--------------------------------1分

∵BED30o，AOD60o， ∵sinA1 ∴∠A=30o∴∠A+∠AOD=90o 2∴∠ADO=90o ∴ AD是⊙O的切线．---------------------------2分 （2）△DCE是等边三角形．理由如下：

»CD»．CECD．--------------------3分 QBC为eO的直径且ACDE．CEQBC是eO的直径，BEC90o，

QBED30o，DEC60o，△DCE是等边三角形．-----------------------4分

（3）QeO的半径R2． 直径BC4 ∵△DCE是等边三角形，∴∠EDC=60o∴∠EBC=60o 在Rt△BEC中，sinEBCCEBCsin60o4CE， BC323---------------------------------------------------5分 26