rrr[变式5](2020·名师原创预测)近年来，我国的航天事业飞速发展，2019年1月3号“嫦娥奔月”掀起高潮。“嫦娥四号”进行人类历史上的第一次月球背面登陆。若“嫦娥四号”在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，“嫦娥四号”先在圆轨道上做圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点，则下列有关“嫦娥四号”的说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B．“嫦娥四号”要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速 C．“嫦娥四号”在椭圆轨道上运行的周期比圆轨道上运行的周期要长 D．“嫦娥四号”运行至B点时的速率大于月球的第一宇宙速度
D [“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s，故A错误；“嫦娥四号”要想从圆轨道变轨到椭圆轨道，必须在A点进行减速，故B错误；由开普勒第三定律知2＝2，由题图可知，圆轨道的半径r大于椭圆轨道的
r3a3
T1T2
半长轴a，故“嫦娥四号”在圆轨道上运行的周期T1大于在椭圆轨道上运行的周期T2，所以C错误；“嫦娥四号”要想实现软着陆，运行至B点时必须减速才能变为环月轨道，故在B点时的速率大于在环月轨道上运行的最大速率，即大于月球的第一宇宙速度，故D正确。]
[变式6]
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(多选)我国探月工程“绕、落、回”三步走的最后一步即将完成，即月球探测器实现采样返回，探测器在月球表面着陆的过程可以简化如下，探测器从圆轨道1上A点减速后变轨到椭圆轨道2，之后又在轨道2上的B点变轨到近月圆轨道3，示意图如图所示。已知探测器在轨道1上的运行周期为T1，O为月球球心，C为轨道3上的一点，AC与AO之间的最大夹角为θ，则下列说法正确的是( )
A．探测器要从轨道2变轨到轨道3需要在B点点火加速 B．探测器在轨道1上的速度小于在轨道2上经过B点的速度 C．探测器在轨道2上经过A点时速度最小，加速度最大 D．探测器在轨道3上运行的周期为
sin3θT1
BD [探测器要从轨道2变轨到轨道3需要在B点减速，选项A错误；探测器在轨道1上的速度小于在轨道3上的速度，探测器在轨道2上经过B点的速度大于在轨道3上的速度，故探测器在轨道1上的速度小于在轨道2上经过B点的速度，选项B正确；探测器在轨道2上经过A点时速度最小，A点是轨道2上距离月球最远的点，故由万有引力产生的加速度最小，选项C错误；由开普勒第三定律可知3＝3，其中＝sin θ，解得T3＝
T2T213r1
r3
r3
r1
sin3θT1，选项
D正确。]
考点四 天体中的“追赶相遇”问题
1．根据
GMmr2
＝mrω2，可判断出谁的角速度大。
2．两星追上或相距最近时，两星运行的角度之差等于2π的整数倍；相距最远时，两星运行的角度之差等于π的奇数倍。卫星与地面上物体追及(卫星在地面上物体的正上方)时，要根据地面上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。
(2019·某某某某三模)(多选)2018年7月27日将发生火星冲日现象，我国整夜可
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见，火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列在同一条直线上，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮且易于观察。地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，火星公转轨道半径为地球公转轨道半径的1.5倍，则( )
A．地球的公转周期比火星的公转周期小 B．地球的运行速度比火星的运行速度小 C．火星冲日现象每年都会出现 D．地球与火星的公转周期之比为
8∶
27
Mm4π2
AD [已知火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则由G2＝m2r得，T＝2π
rTr3
GM，
Mm可知轨道半径越大，周期越大，故火星的公转周期比地球的大，选项A正确；又由G2＝
rv2
m可得v＝ rGMr，则轨道半径越大，线速度(即运行速度)越小，故火星的运行速度比地
球的小，选项B错误；根据
开普勒第三定律得，
T火T地
＝
r3火r3地
＝
27
，因为地球的公转周期为1年，所以火星的公转周8
期大于1年，不是每年都出现火星冲日现象，故选项C错误，D正确。]
[变式7]
经长期观测发现，A行星运行轨道的半径近似为R0，周期为T0，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且周期性地每隔t0(t0>T0)发生一次最大的偏离，如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，已知行星B与行星A同向转动，则行星B的运行轨道(可认为是圆轨道)半径近似为( )
3
A．R＝R0
t20t0－T0
B.R＝R02
t0t0－T0
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C．R＝R0
t30t0－T0
3
D.R＝R0
t0t0－T0
A [A行星运行的轨道发生最大偏离，一定是B对A的引力引起的，且B行星在此时刻对A有最大的引力，故此时A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星的同一侧，设B行星2πt0T0
的运行周期为T，运行的轨道半径为R，根据题意有t0－t0＝2π，所以T＝，由开
T0Tt0－T0
2π
普勒第三定律可得
R3R30T20
＝
3
，联立解得R＝R0
2t0
T2t0－T0
2
，故A正确，B、C、D错误。]
1．(2017·全国Ⅰ卷·15)[本题源于人教版必修2·P9·例题1]发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
1
C [在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误。
2由v2＝2gh知，选项B错误。
在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确。]
将一个物体以10 m/s的速度从10 m的高度水平抛出，落地时它的速度方向与
地面的夹角θ是多少(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)?
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2．(2018·全国Ⅲ卷·15)[本题源于人教版必修2·P36·T1]为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B.4∶1 C．8∶1 D.16∶1
Mm4π2T24π2C [地球的引力充当卫星的向心力，由G2＝mr2知，3＝，
rTrGM则两卫星
T2P3T2QrQ＝，
r3P因为rP∶rQ＝4∶1， 故TP∶TQ＝8∶1。 选项C正确。]
地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位①，用来量
度太阳系内天体与太阳的距离。已知火星公转的轨道半径是1.5天文单位，根据开普勒第三定 律，火星公转的周期是多少个地球日？
3．(2019·全国Ⅰ卷·21)[本题源于人教版必修2·P80·T1和人教版必修2·P41“称量”·地球的质量](多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等 B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
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D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍 教你审题：
(1)“把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动”转化,弹簧—小球模型。
(2)“物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系”转化,
ax图象的斜率
mg－kx＝ma变形,a＝g－x为－，纵轴截距
mm为重力加速度g。
3“两星球均为质量均匀分布的球体。Mm′
满足,G2＝m′g
R已知星球M的半径是星球N的3倍”
AC [设P、Q的质量分别为mP、mQ；M、N的质量分别为M1、M2，半径分别为R1、
kk
R2，密度分别为ρ1、ρ2；M、N表面的重力加速度分别为g1、g2。在星球M上，弹簧压缩量M1M19a0
为0时有mPg1＝3mPa0，所以g1＝3a0＝G2，密度ρ1＝＝；在星球N上，弹
R144πGR1
πR31
3
M2M23a0
簧压缩量为0时有mQg2＝mQa0，所以g2＝a0＝G2，密度ρ2＝＝；因为R1＝
R244πGR2
πR32
3
3R2，所以有ρ1＝ρ2，选项A正确；当物体的加速度为0时有mPg1＝3mPa0＝kx0，mQg2＝
mQa0＝2kx0，解得mQ＝6mP，选项B错误；根据ax图线与坐标轴围成图形的面积和质量
的乘积表示合外力做的功可知，EkmP＝mPa0x0，EkmQ＝mQa0x0，所以EkmQ＝4EkmP，选项C
2正确；根据运动的对称性可知，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，选项D错误。]
题根1：把质量是0.2 kg的小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，
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如图甲所示。迅速松手后，弹簧把球弹起，球升至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态(图乙)。已知B、A的高度差为0.1 m，C、B的高度差为0.2 m，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略。
(1)分别说出由状态甲至状态乙、 由状态乙至状态丙的能量转化情况。 (2)状态甲中弹簧的弹性势能是多少？状态乙中小球的动能是多少？
高考试题在这道题的基础上，从动力学角度出发，提供一个ax图象，展示物体运动变化过程。
题根2：人教版教材必修2 P41：通过万有引力定律来“称量”地球的质量。
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