全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)

数学(理科)

一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)

1.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为2,公差为4的等差数列.若anbn,则n的值为( ).

A.4 B.5 C.6 D.7 2.函数ycos2(x A.

412)sin2(x122)1的最小正周期为( ).

C. D.2

B.

x3.已知f(10)x,则f(5)( ).

A.105 B.510 C.lg5 D.log510 4.两个集合A与B之差记为“A/B”,定义为A/B{x|xA,xB}.如果集合 A{x|log2x1,xR},集合B{x||x2|1,xR},那么A/B( ).

A.{x|x1} B.{x|x3} C.{x|1x2} D.{x|0x1} 5.设a,bR,a2i1bi3i,则limababnnnnn等于( ).

A.1 B.1 C. 1或1 D.不存在 6.已知球面上的四点P、A、B、C,PA、PB、PC的长分别为3、4、5,且这三条线段两两 垂直,则这个球面的表面积为( ).

A.202 B.252 C.50 D.200 7.正方体ABCDA1B1C1D1中,若E为棱AB的中点,则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为( ). A.

26 B.

x224 C.

1717 D.17 8.已知椭圆

8y22m1(0m22)的两焦点分别为F1、F2,点P(2,2)满足

|PF1||PF2|42,则m( ).

C.1 D.2

 9.直线AxByC0与圆x2y24交于M、N两点,若满足C2A2B2,则OMON(O为坐标原点)等于( ).

A.2 B.1 C.0 D.1 A.2 B.2210.已知方程x2(1a)x1ab0的两根为x1,x2,且0x11x2,则( ).

1111ba的取值范围是

A.(1,] B.(1,) C.(2,] D.(2,)

2222B A C

11.五个人站在图中A、B、C、D、E五个位置上互相传球,规定每次 只能传给相邻的人,如B不能直接传给D等.若开始时球在A手中,则经

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E D

过四次传球后,球又回到A手中的传法种数是( ).

A.16 B.32 C. D.128

12.设f(n)为整数n(十进制)的各位数上的数字的平方之和,比如f(123)122232, 记f1(n)f(n),fk1(n)f[fk(n)](k1,2,3,),则f2007(2006)等于( ).

A.20 B.42 C.37 D.45

第(Ⅱ)卷 (非选择题 共90分)

二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)

13.已知a(2,1),b(1,2),且|atb|5,则实数t__________.

14.

已

知

(1x)x2(2,1x3)(xn1a0)ax1ax(anxn)21且a0a1an126,那么二项式(3x15.过双曲线M：x21x)n的展开式中常数项为__________.

yb221(b0)的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐

近线分别交于点B、C,且|AB||BC|,则双曲线M的离心率__________.

16.在000,001,,999这1000个连号中抽奖,若抽出的号码中,出现仅出现两个偶数数字则中奖,那么抽取一个号码能中奖的概率是________.

三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知sinB513,

且a、 b、c成等比数列.

(Ⅰ)求cotAcotC的值；

 (Ⅱ)若ABBC12,求ac的值.

18.(本小题满分12分)四个纪念币A、B、C、D,投掷时正面向上的概率如下表所示(0a1).

C 纪念币 A B D

概率

12

12

a a

这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数.

(Ⅰ)求的分布列及数学期望；

(Ⅱ)在概率P(i)(i0,1,2,3,4)中,若P(2)的值最大,求a的取值范围；

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19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1B1B底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60的角,AA12.底面ABC是边长为2的正三角形, 其重心为G点.E是线段BC1上的一点,且BEBC1.

31A1

(Ⅰ)求证：GE//侧面AA1B1B；

(Ⅱ)求平面B1GE与底面ABC所成的锐二面角的大小.

A

20.(本小题满分12分)设f(x)x3B1

C1 E G CB

3,g(x)t3xt(tR).

322(Ⅰ)当t8时,求函数yf(x)g(x)的单调区间；

(Ⅱ)求证：当x0时,f(x)g(x)对任意正实数t成立.

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21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列{an}由a11,an1 (Ⅰ)对于一切的nN*,证明： (Ⅱ)若a是满足a1ca1c11can(n1,2,3,)确定.

an1；

的正实数,且Sn|a1a||a2a||ana|,证明：Sn1.

22.(本小题满分14分)已知常数列a0,点A(a,0)是直角ABC的直角顶点,顶点B在定直线l：xa2上移动,斜边BC所在直线恒过定点D(a,0).

(Ⅰ)求顶点C的轨迹T的方程；

(Ⅱ)设P是轨迹T上的任一点,l是过点P法线(即与过P点的切线垂直的直线),且M(2a,0),N(2a,0),证明：直线MP、NP与直线l的夹角相等.

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全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)

数学(理科) 参

一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C C D B C C 二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,) 13.0 14.540 15.10 16.272008 D .

9 A 10 D 11 B 12 B

三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知sinB且a、 b、c成等比数列.

 (Ⅰ)求cotAcotC的值； (Ⅱ)若ABBC12,求ac的值. 解：(Ⅰ)依题意,b2ac,由正弦定理及sinB513513,

,得sinAsinCsin2B51325169.

cotAcotCcosAsinAcosCsinCsin(AC)sinAsinCsinBsinAsinC16925135.

5 (Ⅱ)由ABBC12,得accos(B)12,即accosB12.由sinB,得

13cosB1213(舍负)

1213 ∴b2ac13,由余弦定理,得13(ac)22ac2ac,∴(ac)263,故

ac37. 18.(本小题满分12分)四个纪念币A、B、C、D,投掷时正面向上的概率如下表所示(0a1).

C 纪念币 A B D

概率

12

12

a a

这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数.

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(Ⅰ)求的分布列及数学期望；

(Ⅱ)在概率P(i)(i0,1,2,3,4)中,若P(2)的值最大,求a的取值范围；

解：(Ⅰ)P()是个正面向上,4个背面向上的概率.其中的可能取值为0,1,2,3,4.

00 ∴P(0)C2(1)2C2(1a)2(1a)2,

11241001P(1)C2(1)C2(1a)2C2(1)C2a(1a)(1a),

1111222011022P(2)C2()2C2(1a)2C2(1)C2a(1a)C2(1)2C2a(12a2a2),

11212112222421122222P(3)C2()2C2a(1a)C2(1)C2a,P(4)C2()2C2aa2.

111a11222224 ∴的分布列为



0

141

122

143

a214

14P

14(1a)2

12(1a)

14(12a2a2)

a2

a2

的数学期望为E0(1a)21(1a)2(12a2a2)34a22a1.

4 (Ⅱ)∵0a114,∴P(0)P(1),P(4)P(3).则

P(2)P(1)(12a

2a2)(2a24a1)0,P(2)P(3)(12a2a2)(2a21)0,

24424a11a12222222a4a10,]. a 由2,得,即a的取值范围是[22222a1019.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1B1B底面ABC,侧棱AA1与底面 A1ABC成60的角,AA12.底面ABC是边长为2的正三角形, C12B1 其重心为G点.E是线段BC1上的一点,且BEBC1.

31 (Ⅰ)求证：GE//侧面AA1B1B；

(Ⅱ)求平面B1GE与底面ABC所成的锐二面角的大小.

1122A E G CB

解：(Ⅰ)延长B1E交BC于点F,则BFB1C1BC,即F为BC的中点.∵G为ABC的重心,

∴A、G、F三点共线,且

FGFAFEFB11,∴GE//AB1,故GE//侧面AA1B1B.

3 (Ⅱ)作B1HAB于H,∴B1H面ABC.∵侧棱AA1与底面ABC成60的角,AA12. ∴B1BH60,BH1,B1H3.作HTAF于T,连B1T,则BT1AF,∴B1TH为

所求二面角的平面角.又AHABBH3,HAT30,∴HTAHsin30在

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32,

RtB1HT中,tanB1THB1HHTx2333,故所求锐二面角的大小为arctan2233.

20.(本小题满分12分)设f(x)3,g(x)t3xt(tR).

32(Ⅰ)当t8时,求函数yf(x)g(x)的单调区间；

(Ⅱ)求证：当x0时,f(x)g(x)对任意正实数t成立. (Ⅰ)解：当t8时,yx334x163,由yx240,得x2.∵当

时, x(,2)(2,y0；当x(2,2)时,y0,∴y的单调增区间是(,2),(2,)；单调增区间是(2,2).

(Ⅱ)证明：令h(x)f(x)g(x)x33t3xt(x0),则h(x)x2t3.当t0时,由

31222h(x)0,

xt3；当x(t3,)时,h(x)0；当x(0,t3)时,h(x)0,∴h(x)在(0,)上的最小值

是h(t3)0,故当x0时,f(x)g(x)对任意正实数t成立. 21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列{an}由a11,an1 (Ⅰ)对于一切的nN*,证明： (Ⅱ)若a是满足a1ca1c11can111(n1,2,3,)确定.

an1；

的正实数,且Sn|a1a||a2a||ana|,证明：Sn1.

1c1 解：(Ⅰ)用数学归纳法证明：当n1时,a11,c0, 假设nk时结论成立,即

1c1a11成立.

1c11c1ak1,则ccakc1,即

1cak1cc121.

1c1∴

1c1ak11,∴nk1时结论也成立,综上,对一切的nN*,

1canan1成立.

(Ⅱ)|an1a||1ca|1(can)(ca)|ana|an1a|ana|a|ana|,

∴|ana|an1|a1a|.当a1时,

1c11,与a1ca矛盾,故0a1.

∴Sn|a1a||a2a||ana||a1a|a|a1a|an1|a1a|

(1a)(1aa2an1)(1a)11a1.

22.(本小题满分14分)已知常数列a0,点A(a,0)是直角ABC的直角顶点,顶点B在定直线 l：xa2上移动,斜边BC所在直线恒过定点D(a,0).

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(Ⅰ)求顶点C的轨迹T的方程；

(Ⅱ)设P是轨迹T上的任一点,l是过点P法线(即与过P点的切线垂直的直线),且M(2a,0),

N(2a,0),证明：直线MP、NP与直线l的夹角相等.

3aaC(x,y) 解：(Ⅰ)设B(,t),,依题意ABAC0,∴(,t)(xa,y)0,即

223a2(xa)ty0 ①.

a3axa22xya 又CD与BD共线,∴(ax)(t)y0 ②. 由①②消去t,得221(y0).

222 (Ⅱ)由双曲线的对称性,不妨设P(x0,y0)是双曲线上位于x轴上方的点,由 得y3x23a2,∴yx0a22y223a1,

,而

3x3x3a22.故过点P的切线的斜率k切3x023x03a2y03a221,

3x0y0 ∴k切y03x0y0,∴kly03x0,kMPy0x02a.设是MP与直线l的夹角,则

y0x02atan|1y0||4x0y02ay023x06ax0y02y0||4x0y02ay03a6ax02|2y03a. 设是NP与直线l的夹角,

3x0x02ay03x0y0x02a4x0y02ay023x0kNPy0x02a,则tan|1y0||6ax02y0||4x0y02ay03a6ax02|2y03a.

3x0x02aNP与直线l的夹角 ∴tantan,又090,090,∴,故直线MP、

相等.

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