裁剪框 ------------------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线----------------------------------------------- 学院___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________ 扬州大学试题纸 ( 2014 － 2015学年第 1学期) 物理科学与技术 学院 班(年)级课程 线性代数 (A) 卷 题目 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 一、填空题（每小题3分，共 30 分） a2abb21、行列式2aa+b2b=0，a,b满足的关系( )。 111n−1\"2 1)=( )。2、有一n级排列n n−1\"2 1，求该n级排列的逆序数τ(n 3、若⎜⎛25⎞⎛4−6⎞=X⎟⎜⎟，则X=( )。 ⎝13⎠⎝21⎠4、设A=⎜⎛1−2⎞*−1，则A=( )，A=( )。 ⎟⎝21⎠5、已知α1,α2,α3线性相关, α3不能由α1,α2线性表示，则α1,α2线性 ( )。 ⎛111⎞⎛011⎞⎜⎟⎜⎟6、若A=110,B=−101，且AX+B=A，则X=( )。 ⎜⎟⎜⎟⎜101⎟⎜−1−10⎟⎝⎠⎝⎠7、在分块矩阵A=⎜⎛0⎝CB⎞−1−1−1⎟中，已知B、C存在，则A= ( )。 0⎠8、设A是三阶矩阵，且A=a，则kA=( )。 ⎛001⎞⎜⎟9、矩阵A=010的特征值是( )。 ⎜⎟⎜100⎟⎝⎠⎛cosθ⎜10、设A=⎜0⎜sinθ⎝0−sinθ⎞⎟x0⎟，若A为正交矩阵，则x=( )。 0cosθ⎟⎠第1页 二、证明题(每小题10分，共30分)
1、已知n阶矩阵A、B满足A+B=AB，
(1) 试证A−E为可逆阵；(5 分) (2) 试证必有AB=BA。(5 分)
2、设向量组{α1,α2,α3}线性无关，证明：向量组{α1,α1+α2,α1+α2+α3}线性无关。(10 分)
3、已知n阶方阵A的各行元素之和皆为Γ，证明向量X=(1,1,\",1)必为A的一个特征
向量，并求相应的特征值。(10 分) 三、 计算题(每小题8分，共40分)
T
−1
2
1、D=
1524265−368
，求A41+2A42+3A44的值。（8 分）
0343
⎧x1+x2+x3+x4+x5=a⎪3x+2x+x+x−3x=0⎪12345
2、已知线性方程组⎨，
⎪x2+2x3+2x4+6x5=b⎪⎩5x1+4x2+3x3+3x4−x5=2
(1) a,b为何值时方程组有解；（5 分）
(2) 方程组有解时，写出方程组的全部解。（3 分）
3、α1=(1,−1,2,3,4),α2=(3,−7,8,9,13),α3=(−1,−3,0,−3,−3),α4=(1,−9,6,3,6)，求向
量组{α1,α2,α3,α4}的秩，并判断该向量组是否线性相关。（8 分） 4、已知向量A:
{α1=(1,0,1),α2=(1,1,0),α3=(0,1,1)210000120⎤0⎥⎥， 2⎥⎥1⎦
TTT
}，利用该向量组，试用Schmidt
正交化方法构造一组标准正交基。(8 分)
⎡1⎢2
5、对方阵A=⎢
⎢0⎢⎣0
(1) 求解A的特征值及相应的特征向量；(5 分)
(2) 指出每个特征值所对应的代数重数和几何重数，判断A是否可对角化。(3 分)
第2页
