2015高考数学真题 湖南理科

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1i1.已知

z2，则复数z（ ）. 1i（i为虚数单位）

A.1i B.1i C.1i D.1i

2.设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.执行如图所示的程序框图，如果输入n3，则输出的S( ). A.

6384 B. C. D. 7799开始xy…14.若变量x，y满足约束条件2xy„1，则z3xy的最小值

y„1为（ ）.

A. 7 B. 1 C. 1 D. 2 5.设函数

输入ni=1,S=0S=S+1(2i-1)(2i+1)否fxln1xln1x，则fx是（ ）.

i=i+1A.奇函数，且在0,1上是增函数 B.奇函数，且在0,1上是减函数 C.偶函数，且在0,1上是增函数 D.偶函数，且在0,1上是减函数

3a26.已知x的展开式中含x的项的系数为30，则a（ ）.

xi>n?是输出S否结束5A.3 B.3 C. 6 D.6

7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布

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N0,1的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）.

A. 2386 B. 2718 C. 3413 D. 4772

y1CO1x

8.已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为2,0，则

PAPBPC的最大值为（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9 9.将函数

πfxsin2x的图像向右平移0个单位后得到函数gx的图像，若

2对满足fx1gx22的x1，x2，有x1x2minπ，则（ ）. 3A.

5ππππ B. C. D. 1234610.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=

新工件的体积）（ ）.

原工件的体积122正视图2侧视图128A. 9πB.

16 9π4(21)3C.

π12(21)3D.

π

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第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.

x1dx . 0212.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示. 若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间

139,151上的运动员人数是 .

13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3

x2y213.设F是双曲线C:221的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其

ab虚轴的一个端点，则C的离心率为 .

14.设Sn为等比数列an的前项和，若a11，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an .

x3,x„a15.已知fx2，若存在实数b，使函数gxfxb有两个零点，则实数ax,xa的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

请考生在16题中任选两小题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的前两题计分.

16.（本小题满分12分）

（1）如图所示，在圆O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，求证： （i）MENNOM180； （ii）FEFNFMFO.

FCEMOBAND3x5t2（t为参数）（2）已知直线l:，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建

1y3t2

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立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos. （i）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（ii）设点M的直角坐标为5,3，直线l与曲线C 的交点为A，B，求|MA||MB|的值.

（3）设a0，b0，且ab（i）ab…2；

（ii）a2a2与b2b2不可能同时成立.

11. abB，C的对边分别为a，abtanA，b，17. （本小题满分12分）设△ABC的内角A，c，

且B为钝角.

（1）证明：BAπ； 2（2）求sinAsinC的取值范围.

18. （本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

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（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.

19. （本小题满分13分）如图所示，已知四棱台ABCDA1B1C1D1上、下底面分别是边长

ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上. 为3和6的正方形，AA16，且AA1底面

（1）若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；

A1B1C1PD1PQDA的余弦值（2）若PQ//平面ABB1A1，二面角

为

3，求四面体ADPQ的体积. 7ADBQC20. （本小题满分13分）已知抛物线C1:x24y的焦点F也是椭圆

y2x2C2:221ab0的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为26. ab（1）求C2的方程；

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（2）过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC与BD同向.

（ⅰ）若|AC||BD|，求直线l的斜率；

（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形.

ax21. （本小题满分13分）已知a0，函数fxesinxx0,. 记xn为*从小到大的第nnN个极值点,证明：

fx的

（1）数列

fx是等比数列；

n（2）若a…

1e21，则对一切nN，xnfxn恒成立.

*