2013年湖南高考数学文科试题及解析

数 学（文史类）

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数zi( i为虚数单位)在复平面上对应的点位于______ （1+i）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的______

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=______

A.9 B.10 C.12 D.13 4.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)+g(1)=2，f(1)+g(1)=4，则g(1)等于____ A.4 B.3 C.2 D.1

5.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a,b. 若2asinB3b，则角A等于______ A.

3 B.

4 C.

6 D.

12

6.函数f(x)lnx的图像与函数g(x)x4x4的图像的交点个数为______ A.0 B.1 C.2 D.3

7.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于______ A．

2321 B.1 C. D.2 228.已知a,b是单位向量，ab=0.若向量c满足|cab|=1,则|c|的最大值为________ A.21 B.2 C.21 D.22

9.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为.，则

12AD=____ ABA.

3711 B. C. D.

2424二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知集合U{2,3,6,8},A{2,3},B{2,6,8},则(ðUA)B_____ 11.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1:x2s1,xat,（s为参数）和直线l2:（t为参数）平

ysy2t1行，则常数a的值为_____

12.执行如图1所示的程序框图，如果输入a=1, b=2,则输出的a的值为______

开始 输入a,b 是 输出a 结束 a8? 否 aab x2y8,13.若变量x,y满足约束条件0x4,则xy的最大值为______

0y3,x2y214.设F1，F2是双曲线C，221 (a>0, b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P，使

abPF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为___________.

15.对于E={a1,a2,,a100}的子集X={ai1,ai2,,aik},定义X的“特征数列”为x1,x2,,x100,其中

xi1xi2aik1，其余项均为0，例如子集{a2,a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…,0

(1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于 ; (2) 若E的子集P的“特征数列” p1,p2,,p100满足p11，pipi11, 1≤i≤99;

E 的子集Q的“特征数列” q1,q2,,q100满足q11，qjqj1qj21， 1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为_________.

三、解答题；本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

已知函数f(x)cosxcos(x(Ⅰ)求f(3).

2)的值； 31(Ⅱ)求使 f(x)成立的x的取值集合

4

17.(本小题满分12分)

如图2.在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3，D是BC的中点，点E在菱

BB1上运动．

（I） 证明：AD⊥C1E；

（II） 当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱柱C1-A2B1E的体积．

18.（本小题满分12分）

某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

XY123451484542

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。 （Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

Y频数514845424

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.

19.（本小题满分13分）

设Sn为数列{an}的前项和，已知a10，2ana1S1Sn，nN

（Ⅰ）求a1，a2，并求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)求数列｛nan｝的前n项和。

20.（本小题满分13分）

x2y21的左、右焦点F1，F2关于直线xy20的对称点是圆C的已知F1，F2分别是椭圆E:5一条直径的两个端点。 （Ⅰ）求圆C的方程；

(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b。当ab最大时，求直线l的方程。

21.（本小题满分13分）已知函数f(x)（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）证明：当f(x1)f(x2) (x1x2)时，x1x20.

参

一、选择题

1．B解： z = i·(1+i) = i – 1.所以对应点(-1,1).选B

2．A解： 若“1＜x＜2”成立，则“x＜2”成立,所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分条件； 若“x＜2” 成立，则“1＜x＜2”不一定成立, 所以“1＜x＜2”不是“x＜2”的必要条件. 综上，“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件.选A

3．D解： 从甲乙丙三个车间依次抽取a,b,c个样本，则120:80:60a:b:3a6,b4 n = a + b + c=13. 选D

4．B解： 由题知f（－1）+g（1）= - f（1）+g（1）= 2,

f（1）+g（－1）= f（1）+ g（1）= 4.上式相加，解得g(1) = 3 . 选B

5．A解： 由2asinB=1xxe. 21x3b得: 2sinA sinB = 3sinBsinA = 3，AA = 223选A

6．C解： 在同一坐标系中画出对数函数f（x）=㏑x的图像和二次函数g（x）=x2-4x+4的图像，观察可知交点个数为2个。 选C

7．D解： 正方体的侧视图面积为

212，所以侧视图的底边长为2..正视图和侧视图完全相同，所以面积也为2.选D

8．C解： a,b是单位向量，|ab|2.可以这样认为：在直角坐标系中,

定点E(2,0)，动点F满足|OF|1|EF|21

选C

9．D解： 设CD4，根据对称性,由题中条件知，P的活动范围为2,即CP(1,3).

当`CP3时,BF4，解得BC42327.AD:AB7:4

选D

10． {2，6，8} 解： CUA{6,8}，(CUA)BB{6，8}.

11．4解： 直线l1:x2y1,直线l2:ay2xa.若直线l1//直线l2则K1K2a4. 12． 4解： a = a + b + b + b…… = 1+2+2+2+2=9. 13． 6解：

区域的顶点坐标分别是点（4,2），（3，5,2），(0,3),(4,0).所以当时点(4,2)时xy6取最大值.

14．

31 解： 在RTF1F2P,设2cF1F22,则PF21，PF132aPF1PF31 eca23131 15． （1） 2 （2）17 解： (1) 由题知，特征数列为：1,0,1,0,1,0,0,0……0.所以前3项和 = 2。(2) P的“特征数列”:1,0,1,0 … 1,0. 所以P = {a1,a3,a5a99}. Q的“特征数列”:1,0,0,1,0,0 …1,0,0,1. 所以Q = {a1,a4,a7a97,a100}. 所以, PQ{a1,a7,a13a97},共有17个元素。 16．解： (1) f(x)cosx(cosxcos3sinxsin13113)2(sin2x2cos2x2)4 12sin(2x6)14f(23)1311212sin244.所以f(3)4。 （2）由（1）知，

f(x)12sin(2x6)1414sin(2x6)0(2x6)(2k,2k)x(k712,k12),kZ.所以不等式的解集是：(k712,k12),kZ.

17．解： (Ⅰ) 因为E为动点，所以需证AD面CBB1C1.

ABCA1B1C1是直棱柱BB1面ABC,且AD面ABCBB1AD

又RTABC是等腰直角且D为BC的中点，BCAD.

由上两点，且BCBB1BAD面CBB1C1且C1E面CBB1C1ADC1E.(证毕)

（Ⅱ）CA//C1A1,A1C1E60在RTA1C1E中，AE6.

在RTA1B1E中，EB12.ABCA1B1C1是直棱柱EB1是三棱锥EA1B1C1的高VC1A1B1EVEA1B1C113S122A1B1CEB13123所以三棱锥C1A1B1E的体积为3. 18．解： (Ⅰ) 由图知，三角形有15个格点,

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。.

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1)。如下表所示：

Y 频数 平均年收获量u51 2 48 4 45 6 42 3 51248445642346.

1560.4. 15（Ⅱ）在15株中，年收获量至少为48kg的作物共有2+4=6个. 所以，15株中任选一个，它的年收获量至少为48k的概率P=

19．解： (Ⅰ) S1a1.当n1时，2a1a1S1S1a10,a11.

当n1时，ansnsn12ana12an1a12an2an1an2an1- S1S1{an}时首项为a11公比为q2的等比数列，an2n1,nN*.

（Ⅱ）设Tn1a12a23a3nanqTn1qa12qa23qa3nqan

qTn1a22a33a4nan1

上式左右错位相减：

(1q)Tna1a2a3annan1Tn(n1)2n1,nN*。

1qna1nan12n1n2n

1q20．解： (Ⅰ) 先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D，由题知圆D的直径为

F1F2,所以圆D的圆心D（0,0），半径rca2-b22,圆心D（0,0）与圆心C关于直线xy20对称C(2,2)圆C的方程为:(x2)2(y2)24.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知F2(2,0), ,据题可设直线l方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线l可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意.

22圆C:(x2)(y2)4到直线l的距离d=|2m2-2|1m2|2m|1m2。

4m242在圆中，由勾股定理得：b4(4). 221m1m2设直线与椭圆相交于点E(x1,y1),F(x2,y2),联立直线和椭圆方程，整理得：

(m25）y24my10x1x2m(y1y2)4m4m20 4m25m25由椭圆的焦半径公式得：a2525(x1x2)102(x1x2)5m21 252m5m214m21. ab2528522m51mm5令f(x)x1,x0yf(x)在[0,3]上单调递增，在[3,)上单调递减. x5令f(x)f.(3)当m23时，ab取最大值.这时直线方程为x3y2.

所以当ab取最大值，直线方程为x3y2

2(11x)ex（1x2)(1x)ex2xx3x2x21．解： (Ⅰ) f'(x)xe.

（1x2)2（1x2)222420当x（-，0]时，f'(x)0,yf(x)单调递增;

当x[0，）时，f'(x)0,yf(x)单调递减.

所以，yf(x)在在（，上单调递减. 0]上单调递增；在x[0，）

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(－x)即可。

1xx1xxexf(x)f(x)ee[(1x)e2x1x]。 2221x1x1x令g(x)(1x)e2x1x,x0g'(x)(12x)e2x1。

令h(x)(12x)e2x1h'(x)(12x)e2x4xe2x0,

yh(x)在（0，）上单调递减h(x)h(0)0 yg(x)在（0，）上单调递减g(x)g(0)0

ex2xy[(1x)e1x]在（0，）上单调递减，但x0时y0. 21xf(x)f(x)0f(x)f(x)

所以，当f(x1)f(x2)且x1x2时，x1x20.