试题赏析&&
(2010年第8期&高中版)
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一杯陈年佳酿,让人回味悠长
214500江苏省靖江市第一中学展国培
2010年江苏高考数学试卷出现了不少好题,笔者最欣赏的是第17题.题目如下:
某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m).如图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角ABE=,ADE=.
(1)该小组已测得一组,的值,算出了tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使与之差最大,
图1
可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125m,试问:d为多少时,-最大?
这是一道三角应用题,主要考查学生解三角形、基本不等式、导数等基础知识,考查学生数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.该题是解答题的第三题,属于一道中档题.这是一道经典老题,解之犹如品尝了一杯陈年佳酿,让人回味悠长!1回味之一:试题的教材背景
苏教版必修5有下面两道习题:
(1)从A点和B点测得上海东方明珠塔顶C的仰角分别为38.3 和50 ,AB=200m,求东方明珠塔的高度(精确到1m).(第11页的第3题)
(2)有一壁画,最高点A处离地面4m,最低点B处离地面2m.若从离地高1.5m处的C处观赏它,则离墙多远时,视角ACB最大?(第92页的第11题)
不难发现,试题是由上述两道习题改编而成.很好地体现了高考试题!源自课本而高于课本∀的原则.此题的重点在第(2)问,解法多样.笔者妄自揣摩:命题者很可能考虑到该题的入口宽,可以选择角-的正弦函数、余弦函数和正切函数,可以利用向量、正弦定理和余弦定理等知识来解决.其中利用正切函数来处理更简
便、更快捷.为了让学生少走弯路,特地增设了第(1)问,旨在引导学生选择正切函数来处理.这体现出高考试题的人性化,更反映了命题者对学生的拳拳关爱之心!应用题历来是学生最害怕的题型之一,特别是那些阅读量大,数量关系比较复杂的试题(如2009年江苏卷的第19题),更是让学生望而生畏,绝大多数学生只好放弃.这很难考查学生应用数学的能力.而本题短小精悍,数量关系简洁明了,运算量也不是太大.有助于学生下面的发挥,增强了学生将考试进行到底的决心.
许多教师认为教材内容简单,不能应付高考.因此不愿意研究教材.高三复习时更是将教材搁置不理.许多课改专家提出的!教材仅仅是课程资源的一种∀的观点,更是让部分教师找到理论依据.看看目前正在流行的!教、学案一体化∀就可以知道中学教学偏离教材有多远.笔者以为,教材的基础性、典型性、探究性是毋庸置疑的.笔者在高考前的!回归课本∀阶段就将上面的第(2)个问题让学生探究.探究其解法,并比较各自的优劣.记得当时笔者曾跟学生开玩笑说:!如果考到,纯属巧合.∀所以高考结束后,有学生跟我说:!老师,你太有才了!∀
2回味之二:试题的历史背景
此题有着厚重的历史背景.
(1)解三角形的知识源自古代的测量技术.从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造,人类都离不开对几何图形的测量.我国古代数学家们就利用!重差术∀测量山的高度、河流的宽度、沟渠的深度.!重差术∀是中国古代的一种重要测量方法,用以测量不可到达的距离.刘徽对这一理论进行了总结和提高,写出重差术专著###∃海岛算经%.他在序言中说:!凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差.∀
(2)试题中的角-就是DEB,这个!视角最大问
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试题赏析&&
题∀也有着深厚的科学背景.此问题作为载入世界数学史上的第一个极值问题而引人注目.苏教版和人教版的教材中都有这个问题.以此问题为背景的高考题最早可追溯到1986年的一道填空题:已知A(0,a),B(0,b)(a>b>0),试在x轴正半轴上求一点C,使ACB最大.2005年天津卷和浙江卷理科第17题也有这方面的考查.
新课程要求我们关注数学的文化价值,在教学中要引导学生了解数学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值和人文价值,开阔视野,探
寻数学发展的历史轨迹,提高文化素养.作为!指挥棒∀的高考,也应当发挥!传播数学文化∀的作用.最近几年的高考试题在这方面作了许多有益的尝试.如2007年江苏卷第19题中的!阿基米德三角形∀问题、2008年江苏卷的第13题中的!阿波罗尼斯圆∀;再如2008年江西文科卷上的22题的背景就是数学史上著名的蝴蝶定理.笔者认为,教师应当充分挖掘教材和高考试题中一些问题的历史背景,向学生介绍其精妙的解题思想与策略,展现数学的无穷魅力.这样将会深深地吸引着他们,启迪着他们的心智,激荡着他们的心灵,让他们将数学!冰冷的美丽∀转化为!火热的思考∀!3回味之三:回归数学的本源
近年来,不少有识之士提出,中学数学课堂教学要回归数学的本源、呈现数学的本质.数学的本质是什么?这取决于一个人的视角.从数学的应用价值看,数学是工具;从数学的过程看,数学是推理与运算;从数学的人文角度看,数学是一种基本的文化素养.高中数学课堂要创设有效的问题情境,结合学生的自主探索过程,让学生体验数学概念、结论产生的背景和逐步形成的经历.普通高中∃数学课程标准%(以下简称课标)中明确指出,解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用,引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法,不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练.试题很好地体现了这一要求.而在实际的教学过程中,我们往往因为测量数据的原因而忽视这方面的训练,将时间和精力集中在复杂的恒等变换上.这难道不值得我们反思吗?
笔者以为,我们的课堂教学必须!以课标为准绳∀.比如,课标对!三角函数∀的课时安排为16课时,而!三角恒等变换∀的建议课时仅为八课时.这是课标的一个显著变化.如何理解这种变化呢?这就需要我们去研究、去学习.
(1)研究课标.课标要求,在三角函数的教学中,!应根据学生的生活经验,创设丰富的情境,如单摆、弹簧振子、圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汛、四季变化等实例让学生感受周期现象的广泛存在,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型∀,!应发挥单位圆的作用∀,提醒学生在学习物理等学科时!注意应用三角函数来分析和理解∀.不难发现,课标更多的是从!函数的角度∀研究三角函数,强调的是三角函数作为描述周期现象的重要数学模型的作用.由于三角函数与其它学科的联系,特别是与振动及波动的联系,因此课标已淡化三角恒等变换的技巧性内容.这也体现与时俱进的精神.
(2)向专家学习.齐民友先生指出,如果突出三角函数的最本质内容,不但用不了这么多时间,而且更有利于学生现在和以后的学习.这个最本质的内容就是三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现(∃数学通报%2007年10~11期).而在实际教学中,不少教师无视课标的要求,在教学时减少了!三角函数∀的授课时数,而延伸了!三角恒等变换∀的授课时数.把概念简单介绍后就是大量的习题训练,繁杂的三角恒等变换的题目在一些大型联考中时有出现.文科班的教师对教材中涉及!单摆运动、波的传播、交流电∀等物理知识的内容碰都不碰.08年江苏卷的第15题就已经告诉我们,三角函数的教学要抓住它的本质,不要再搞那些繁琐的恒等变形了.教师累,学生更累.
我省实施新课程已经有5个年头了.然而,有些教师的探究性教学只求形式的热闹,学生的研究性学习也没有真正开展起来.课堂教学仅仅是知识的传授,还停留在数学的学术形态上,远没有上升到数学的教育形态.这样的课堂教学模式,使得许多学生无法喜欢数学,甚至讨厌数学.要想改变这种状况,还得靠!高考∀引领,笔者真心希望在今后的高考中呈现出越来越多这样的试题!
(收稿日期:20100610)
