上海市2019-2020学年度高二数学精品讲义
直线与圆锥曲线综合演练
【知识梳理】
1、设直线
l与二次曲线Fx,y
0相交于Ax1,x2,Bx2,y2两点，设AB的中点为
________________
Mx0,y0，则x0=___________，y0
x1
2x2
y1
2y2
【答案】
2、弦的斜率与弦中点坐标之间的关系：以椭圆为例，设直线
l与椭圆x1
2
xa
22
yb
2
2
1相交于
y1
2
Ax1,x2,Bx2,y2两点，弦AB的中点为Mx0,y0，则
a2x2a
2
2
b2y2b
2
2
1
，相减得kAB
1
____________
【答案】
bx0ay0
2
2
【课前小练】
x
2
1、若双曲线
y
2
1
2
1，则经过点P8,1且被平分的弦所在直线的方程是
____________
2、过双曲线x
2
y
2
1的右焦点作直线l，交双曲线于A,B，若AB4，则这样的直线
l有（
A 1条
）
B 2条
2
C 3条D 4条
3、已知椭圆x2y
2
4，则以1,1为中点的弦的长度是
（）
A 32B 23
C
303
D
362
4、抛物线yax与直线y
2
kxbk
x3，则恒有
0交于A,B两点，且此两点的横坐标分别是
（
）
x1,x2，
直线与x轴的交点的横坐标是
A x3x1x2B x1x2x1x3x2x3
C x3x1x2
0
D x1x2x1x3x2x3
0
5、椭圆mx
2
ny
2
1与直线x
）
y1交于M,N两点，的中点为P，且OP的斜率为
22
，
m则的值为
n
22
（
A B
223
C
922
D
2327
6、过抛物线
yaxa
1p
2
0的焦点F作一直线交抛物线于
1q
等于（
）
P,Q两点，若线段PF与FQ的
长度分别是
p,q，则
A
2a
2
2
B
12a
C
4a
D
4a
7、过椭圆
xy
94
1内一点1,0作直线l交椭圆于A,B两点，求弦AB中点的轨迹方程。
【答案】1、2xy150
2、C 3、C 4、B 5、A 6、C
7、4x
2
9y
2
4x0
【典型例题分析】
y
2
例1、已知椭圆
2
x
2
1
（1）求椭圆内斜率为
2的平行弦中点Q的轨迹方程
（2）点迹方程
Pa,b，过点P的直线l交椭圆于A,B两点，点Q为弦AB的中点，求点Q的轨
【答案】（1）yx,x
63
,
63
（2）若点
P在椭圆内或椭圆上，则
Q的轨迹方程为2x2
y
2
2axby0
若点
P在椭圆外，则Q的轨迹方程为2x
2
2
y
2
2axby0在已知椭圆内的部分
例2、已知双曲线x
2
y
2
1
（1）过点
A1,1能否作直线m，使m与已知双曲线交于
P1,P2两点，且A是线段P1P2的中
点？若存在，请求出其方程；若不存在，说明理由（2）若直线y直线y
ax1与双曲线相交于A,B两点，问是否存在实数a，使得A,B两点关于
2x对称？并加以证明。
（2）不存在
【答案】（1）不存在
【小结】本题运用的是点差法
例3、如图，过直角坐标平面的直线与抛物线相交于
xOy中的抛物线y2
2pxp
0的焦点F作一条倾斜角为
4
A,B两点
（1）用
p表示A,B两点之间的距离
（2）证明
AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值
【答案】焦点
F1,0，过抛物线的焦点且倾斜角为yy
2
45°的直线方程为
yx
p2
，由
px
22px
x
2
3px
p4
2
0
xAxB3p,xAxB
p4
2
AB
xAxB
p
4p或AB
2psin
2
4p4
（2）cosAOB
AO
2
BO
2
AB
2
xAxB
x
2A
yAyByA
2
2AOBO
PxB
4
xB
2
yB
2
2xAxBxAxBxAxB
P2
xAxB
44P
2
34141
2PxA
所以
AOB的大小是与p无关的定值，
AOBarccos
34141
例4、如图，设椭圆C:
xa
22
y
2
1a
0的两个焦点是F1c,0,F2c,0c
0，且椭
圆C与圆x
2
y
2
c有公共点
2
（1）求a的取值范围
（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为
32，求椭圆的方程
（3）对（2）中的椭圆C，直线的垂直平分线恒过点
l:ykxmk若线段MN0与C交于不同的两点M,N，
A0,1，求实数m的取值范围
x
2y2
1【答案】（1）由已知
a1，所以方程组
a2
有实数解，
x
2y
2
c
2
从而1
12
a
2
x
2
c
2
10c
1，所以a
2
2，所以a2,
2（2）dxc
2
y
2
x
2
2cxc
2
1
xc2a
2
a
2
x
2
2cxc
2
1
2
c
2a
2
2
a
2
x
c
axaQ
a
c
a，所以当xa时，dmin
a于是，
ac32a3a
2
c
2
1
c
2
x
2
所求椭圆方程为
3
y
2
1
（3）由
ykxmx
2
3y
2
3
3k
2
1x
2
6mkx3m
2
10
因为直线
l与椭圆交于不同两点，
V0即m
2
3k
2
1
①
设
Mx6mk1,y1,Nx2,y2，所以x1x2
3k
2
1
，线段
MN
中点为Q
又线段
MN的垂直平分线恒过点A0,1AQMN
m3k
2
113mk
k
2m3k
2
1
②
由①②得
m2
2m0m2，又由②知m
12
所以m
12
,2
c
3mk3k
2
1,
m
3k
2
1
易错易漏
点差法的实质是弦的中点坐标与弦的斜率之间的关系，用点差法时，要注意检验______________________________【答案】直线是否与圆锥曲线交于不同的两点
【课堂小练】
1、中点在原点，一个焦点为
F0,52，截直线y3x2所得弦的中点的横坐标为
12
的
椭圆方程是_________________
2
2、过点
M2,0的直线m与椭圆k1k1
2
x
2
y
2
1交于P1,P2两点，线段P1P2的中点为P,设直
___________
线m的斜率为
0，直线OP的斜率为k2，则k1gk2
3、过抛物线y4x的焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点，若PQ8，则弦PQ中点
的横坐标为_____________
4、过抛物线
y
2
2pxp
0上一定点Px0,y0y0
0，作两条直线分别交抛物线于
Ax1,y1,Bx2,y2
p2
（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点
F的距离
（2）当
PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求
y1
y0
y2
的值，并证明直线
AB的斜率是
非零常数。
5、已知倾斜角为45°的直线
l过点A1,2和点B，B在第一象限，AB32
（1）求点
B的坐标
xa
22
（2）若直线
l与双曲线C:
y
2
1a
0相交于E,F两点，且线段EF的中点坐标为
4,1，求a的值
（3）对于平面上任一点的距离，已知点
P，当点Q在线段AB上运动时，称PQ的最小值为P与线段AB
Pt,0到线段AB的距离h关于t的函数关系式。
P在x轴上运动，写出点
【答案】1、
x
2
y
2
2575
1 2、
12
3、3
4、（1）
58
p（2）
y1
y0
y2
2，kAB
4y1
y2
2y0
，所以直线直线
AB的斜率是非零
常数。
2
t1
5、（1）
4,t
55
1
B4,1
（2）
a2
（3）
h
t32
,1t
2
t41,t
【课后练习】
1、经过点
Q1,m作直线l交双曲线x2
y
2
1于Pm，使P1,P2两点，是否存在正实数1,P2中
M在一条直线上？证明你的结论。
2、平面内动点
M与点P1
2,0,P22,0所成直线的斜率分别为
k1,k2，且满足k1k2
1
2
（1）求点
M的轨迹E的方程，并指出E的曲线类型
kx
m(k
0,m
0)分别交x,y轴于点A,B，交曲线E于点C,D，
（2）设直线：l:y且
AC
①求
BDk的值
2,1,求VNCD的面积取得最大值时直线
②若点Nl的方程
3、设A,B,C是抛物线y2
4x上的点，其坐标为
Ax1,y1,B4,y0,Cx2,y2，F是抛
物线的焦点，且
AF,BF,CF成等差数列
（1）求x1x2的值
（2）证明线段
AC的垂直平分线必过定点，并求出定点坐标
【答案】1、解：存在
m1时，满足条件。证明：当
m1时，Q点的坐标为
x22
P1
1y1y2x1x2x1x1,y1,P2x2,y2中点M
x,y，则y
1x2
2
2y2
1
x1
x2
y1
y2
y
kxy1P1P2
yx1xyxy10
Qx
y,
x
y1
0
，设
1,1所以中点
M在一条直线上
12
x
2
y2
12
x
2
2、解：（1）设动点
Mx,y，Qk1gk2
gyx
,即
y
2
42
1y0
动点
M的轨迹E是中心在原点、长半轴为2，焦点为
x
2
2,0的椭圆（除去长轴两个端点），
它的方程是
y
2
42
1y0
（2）①在l:ykxm中分别令x0,y0,可得A
mk
,0,B0,m，AB的中点
Q
mm
，设Cx1,y1,Dx2,y2，由,
2k2
2
2
xy
4l:yx1
x2
2kx
1m2mk12k
2
12k
2
x
2
4mkx
2
2m
2
40
V32k
2
8m
2
16
,x1x2
2m4
2
12k
因为
ACBDCD的中点就是AB的中点，
即
4mk12k
2
mk
,4k
2
12k
2
k
2
12
,Qk0,k
22
②CD1kx2
2
x134m
2
，点
N到CD的距离d
63
m
所以
SVNCD
12
2
CDd
22
2
4m
2
m
2
24m2
2
m
2
2
2
当且仅当4mm，即m
2
2时，等号成立，m2，
此时
V0，所以直线方程l:y
22
x2
3、（1）x1x2
8
（2）kAC
4y1
y2
，线段
AC的垂直平分线方程为：
y
y1
2
y2y1
4
y2
x
x1
2
x2
y
y1
2
y2y1
4
y2
x4
当y
0时，x6，所以线段AC的垂直平分线必过定点6,0
