4. 如图所示，边长为L的正方形ABCD区域内存在磁感应强度方向垂直于纸面向里、大小为B的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为－q的粒子从AB边的中点处垂直于磁感应强度方向射入磁场，速度方向与
AB边的夹角为30°.若要求该粒子不从AD边射出磁场，则其速度大
小应满足( )
2qBL2qBLqBLA．v≤ B．v≥ C．v≤ mmm D．v≥
qBL m5. 如图所示，条形区域AA′、BB′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为
B，AA′、BB′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为d.一束带正
电的某种粒子从AA′上的O点以大小不同的速度沿着AA′成60°角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值v0时，粒子在磁场区域内的运动时间为定值t0；当粒子速度为v1时，刚好垂直边界BB′射出磁场．不计粒子所受重力．求： (1) 粒子的比荷；
(2) 带电粒子的速度v0和v1.
6. 如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电荷量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行． (1) 图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大小是多少？
(2) 要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
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7. 如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大
值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求： (1) 两板间电压的最大值Um；
(2) CD板上可能被粒子打中的区域的长度x； (3) 粒子在磁场中运动的最长时间tm.
8. 如图所示，OP曲线的方程为：y=1－0.46.25-x(x,y单位均为m)，在OPM区域存在水平
向右的匀强电场，场强大小E1=200N/C(设为I区)，PQ右边存在范围足够大的垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B=0.1T(设为Ⅱ区)，与x轴平行的刚上方(包括PN存在竖直向上的匀强电场，场强大小E2=100N／C(设为Ⅲ区)，PN的上方h=3.125m处有一足够长的紧靠y轴水平放置的荧光屏AB，OM的长度为a=6.25m。今在曲线OP上同时由静止释放质量m=1.6×10 kg，电荷量e=1.6×10C的带正电的粒子2000个(在OP上按x均匀分布)。不考虑粒子之间的相互作用，不计粒子重力，求：
(1) 粒子进入Ⅱ区的最大速度值；
(2) 粒子打在荧光屏上的亮线的长度和打在荧光屏上的粒子数； (3) 粒子从出发到打到荧光屏上的最长时间。
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-19
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考点4.6.2 “旋转圆”方法解决极值问题
2．定圆“旋转”
当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景．
【例题】如图所示，在0≤x≤3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t＝0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0－180°范围内．已知沿
y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界
上P(3a，a)点离开磁场．求：
⑴、粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；
⑵、此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围； ⑶、从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．
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9. （多选）如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小为B的匀
强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为
m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象
限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，
124则( )
2qBaA． 粒子射入磁场的速度大小v＝ TTmB． 粒子圆周运动的半径r＝2a
C． 长方形区域的边长满足关系＝3＋1 D． 长方形区域的边长满足关系＝2
10. 如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P为
屏上的一个小孔．PC与MN垂直．一群质量为m、带电量为－q的粒子(不计重力)，以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域．粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内．则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为( ) 2mv2mvcos θA． B.
babaqBqB2mv(1－sin θ)2mv(1－cos θ)B． D. qBqB
11. (多选)如图，一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方
向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则( BC ) A． 能打在板上的区域长度是2d B． 能打在板上的区域长度是(3＋1)d
C． 同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为
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D． 同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为
πqd 6mv12. 如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.
某一时刻，粒子源S向平行于纸面的各个方向发射出大量带正电荷的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场．已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于(T为粒子
6在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( )
TTT2T5TA. B. C. D. 3233
13. （多选）如图所示，宽d = 2cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向
垂直纸面向内．现有一群带正电的粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r = 5cm，则 （ ） A． 右边界：-4cm＜y≤4cm的范围内有粒子射出 B． 右边界：y＞4cm和y＜-4cm的范围内有粒子射出 C． 左边界：y＞8cm的范围内有粒子射出 D． 左边界：0＜y≤8cm的范围内有粒子射出
14. 如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一
点．大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率v从P点射入磁场．这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆1
弧上，PQ圆弧长等于磁场边界周长的.不计粒子重力和粒子间的相互
3作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为( ) A.
3mvmv3mv23mv B. C. D. 2qRqRqR3qR15. （多选）如图所示，O点有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、
电荷量为q的带正电的粒子，它们的速度大小相等、速度方向均在
xOy平面内．在直线x＝a与x＝2a之间存在垂直于xOy平面向外的
磁感应强度为B的匀强磁场，与y轴正方向成60°角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．关于这些粒子的运动，下列说法正确的是( )．
2aBqaBqA． 粒子的速度大小为 B、粒子的速度大小为 mm精彩文档
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C、与y轴正方向成120°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长 D、与y轴正方向成90°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长
16. 如图所示，在矩形区域abcd内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.在ad边
中点O的粒子源，在t＝0时刻垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od的夹角分布在0～180°范围内．已知沿Od方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界cd上的P点离开磁场，ab＝1.5L，bc＝3L，粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝L，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1) 粒子在磁场中的运动周期T； (2) 粒子的比荷；
(3) 粒子在磁场中运动的最长时间．
17. 如图所示，在xOy坐标系坐标原点O处有一点状的放射源，它向xOy平面内的x轴
上方各个方向发射α粒子，α粒子的速度大小均为v0，在0轴正方向的匀强电场，场强大小为在d（3） 将ab板至少向下平移多大距离才能使所有的粒子均能打到板上？此时ab板上被α粒子打中的区域的长度．精彩文档
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考点4.6.3 最小磁场区域求解问题
18. 一带电粒子，质量为m、电荷量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中
第Ⅰ象限所示的区域(下图所示)．为了使该粒子能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度
v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场
仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计．
19. 在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域的匀强磁场(图中未画出)，磁场
方向垂直于xOy平面，O点为该圆形区域边界上的一点．现有一质量为m、带电荷量为＋
q的带电粒子(不计重力)从O点以初速度v0沿x轴正方向进入
磁场，已知粒子经过y轴上P点时速度方向与y轴正方向夹角为θ＝30°，OP＝L，求： (1) 磁感应强度的大小和方向； (2) 该圆形磁场区域的最小面积．
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20. 如图所示，MN为绝缘板，CD为板上两个小孔，AO为CD的中垂线，在MN的下方有匀强磁
场，方向垂直纸面向外（图中未画出），质量为m电荷量为q的粒子（不计重力）以某一速度从A点平行于MN的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场（电场方向指向O点），已知图中虚线圆弧的半径为R，其所在处场强大小为E，若离子恰好沿图中虚线做圆周运动后从小孔C垂直于MN进入下方磁场． （1） 求粒子运动的速度大小； （2） 粒子在磁场中运动，与MN板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形匀强磁场，从A点射出磁场，则三角形磁场区域最小面积为多少？MN上下两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少？
（3） 粒子从A点出发后，第一次回到A点所经过的总时间为多少？
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21. 电子对湮灭是指电子“e”和正电子“e”碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮
灭是正电子发射计算机断层扫描（PET）及正子湮灭能谱学（PAS）的物理基础．如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且
=2L，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ
﹣
+
象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、
C两点，=L，在第Ⅳ象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆
形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里．一束速度大小为v0的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电场区域；另一束速度大小为
的正电子束从Q点沿与y轴正
向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入未知圆形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反．已知正负电子质量均为m、电量均为e，电子的重力不计．求：
（1） 圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小； （2） 电子子从A点运动到P点所用的时间； （3） Q点纵坐标及未知圆形磁场区域的最小面积
S．
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22. 如图所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反
的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上A（－2l0，－l0）到C（－2l0，0）区域内，连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子．从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场．若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图．不计粒子的重力及它们间的相互作用． ⑴求匀强电场的电场强度E；
⑵求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
⑶若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？
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