高考大题纵横练
高考大题纵横练(一)
ππ
1.已知函数f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在[0，]上的最大值为2，当把f(x)的图象上的所有点向右平移φ(0<φ<)个
227π
单位后，得到图象对应函数g(x)的图象关于直线x＝对称.
6(1)求函数g(x)的解析式；
(2)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知g(x)在y轴右侧的第一个零点为C，若c＝4，求△ABC的面积S的最大值.
π
解 (1)由题意知，函数f(x)在区间[0，]上单调递增，
2ωπ
∴2sin＝2，
2∴
ωππ
＝2kπ＋，k∈Z， 24
1
得ω＝4k＋，k∈Z.
2
1
经验证当k＝0时满足题意，故求得ω＝，
21φ
∴g(x)＝2sin(x－)，
2217π1π
故×－φ＝kπ＋，k∈Z， 2622ππ∴φ＝－2kπ＋，k∈Z，又0<φ<，
62xππ
∴φ＝.故g(x)＝2sin(－).
6212xπ
(2)根据题意，得－＝kπ，k∈Z，
212ππ
∴x＝2kπ＋，k∈Z，∴C＝. 66π22
又c＝4，得16＝a＋b－2abcos，
6
∴a＋b＝16＋3ab≥2ab， ∴ab≤32＋163，
11
∴S＝absinC＝ab≤8＋43，
24∴S的最大值为8＋43.
2.四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，SB＝SC＝3.
22
(1)设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB； (2)求证：SA⊥BC；
(3)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值. (1)证明 ∵底面ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD.
∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD， ∴AB∥平面SCD，
又∵平面SCD与平面SAB的交线为l， ∴l∥AB.
(2)证明 连接AC.
∵∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22， 由余弦定理得AC＝2， ∴AC＝AB.
取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC. ∵SB＝SC，∴SG⊥BC，
∵SG∩AG＝G，∴BC⊥平面SAG， ∴BC⊥SA.
(3)解 如图，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标
系Oxyz，
则A(2，0，0)，B(0，2，0)，S(0，0，1)，D(2，－22，0). →
∴SD＝(2，－22，0)－(0，0，1)＝(2，－22，－1)， →
SA＝(2，0，0)－(0，0，1)＝(2，0，－1)， →
BA＝(2，0，0)－(0，2，0)＝(2，－2，0). 设平面SAB法向量为n＝(x，y，z)， →n·SA＝2x－z＝0，有
→n·BA＝2x－2y＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝2，n＝(1，1，2)， →
n·SD2－22－222→
cos〈n，SD〉＝＝＝－.
→112·11|n|·|SD|∴直线SD与平面SAB所成角的正弦值为
22
. 11
2
*
*
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n＋n(n∈N)，数列{an}满足an＝4log2bn＋3(n∈N). (1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解 (1)由Sn＝2n＋n，得a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1. 又a1＝3也适合上式. 所以an＝4n－1，n∈N，
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2(2)由(1)知anbn＝(4n－1)2
n－1
*n－1
*
2
，n∈N.
*
，n∈N.
n－1
所以Tn＝3＋7×2＋11×2＋…＋(4n－1)2所以2Tn＝3×2＋7×2＋…＋(4n－5)2
n2
n－1
2
，
n
＋(4n－1)2，
n－1
所以2Tn－Tn＝(4n－1)2－[3＋4(2＋2＋…＋2故Tn＝(4n－5)2＋5，n∈N.
n
*
2
)]＝(4n－5)2＋5.
n
4.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每
盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有1
出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互.
2(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率与统计的相关知识分析分数减少的原因. 解 (1)X可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有
111231
P(X＝10)＝C3×()×(1－)＝，
228121132
P(X＝20)＝C3×()×(1－)＝，
228131013
P(X＝100)＝C3×()×(1－)＝，
228101310
P(X＝－200)＝C3×()×(1－)＝.
228所以X的分布列为
X P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)， 1
则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝. 8
131511
所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－()＝1－＝.
851251233115
(3)X的均值为E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
88884这表明获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.
xy32
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上不同的三点，A(32，)，
ab2B(－3，－3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.
2
2
10 3 820 3 8100 1 8－200 1 8
(1)求椭圆的标准方程； (2)求点C的坐标；
→→
(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM·ON为定值并求出该定值.
92
解
18＋＝1，ab(1)由已知，得99a＋b＝1，
2
2
2
2
2
2
解得27
b＝.2
2
a＝27，
2
xy
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
2727
2
m－3n－3
(2)设点C(m，n)(m<0，n<0)，则BC中点为(，).
22由已知，求得直线OA的方程为x－2y＝0， 从而m＝2n－3.
2
2
① ②
又∵点C在椭圆上，∴m＋2n＝27.
由①②，解得n＝3(舍)，n＝－1，从而m＝－5. ∴点C的坐标为(－5，－1).
(3)设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2). y1＋3y0＋3
∵P，B，M三点共线，∴＝，
2y1＋3x0＋33y0－x0
整理得y1＝.
x0－2y0－3
y2＋1y0＋1
∵P，C，N三点共线，∴＝，
2y2＋5x0＋55y0－x0
整理得y2＝.
x0－2y0＋3
∵点P在椭圆上，∴x0＋2y0＝27，x0＝27－2y0.
2
2
2
2
3x0＋5y0－6x0y033y0－6x0y0＋2739
从而y1y2＝2＝＝3×＝. 22
x0＋4y0－4x0y0－92y0－4x0y0＋182245→→
∴OM·ON＝5y1y2＝，
245→→
∴OM·ON为定值，定值为.
2
12
6.已知函数f(x)＝x＋alnx在x＝1处的切线与直线x＋2y＝0垂直，函数g(x)＝f(x)＋x－bx.
2(1)求实数a的值；
(2)若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
7
(3)设x1，x2 (x12a解 (1)∵f(x)＝x＋alnx，∴f′(x)＝1＋，
x∵切线与直线x＋2y＝0垂直， ∴f′(1)＝1＋a＝2，∴a＝1. 12
(2)∵g(x)＝lnx＋x－(b－1)x(x>0)，
21x－b－1x＋1g′(x)＝＋x－(b－1)＝. xx设μ(x)＝x－(b－1)x＋1，则μ(0)＝1>0只需 1b－>0，
2
Δ＝b－1－4>0
22
2
222
b>1，⇒⇒b>3. b>3或b<－1
∴b的取值范围为(3，＋∞).
(3)令g′(x)＝0，则x－(b－1)x＋1＝0， ∴x1＋x2＝b－1，x1x2＝1.
x1122
g(x1)－g(x2)＝ln＋(x1－x2)－(b－1)(x1－x2)
x22x1122
＝ln＋(x1－x2)－(x1＋x2)(x1－x2)
x22x11x1－x2 x11x1x2
＝ln－＝ln－(－)，
x22x1x2x22x2x1x1
设t＝，
x2
2
2
2
∵02x1＋x2＝b－1，x1＋x22
又∵⇒＝(b－1)，
x1x2x1x2＝1
17252
得t＋＋2≥(－1)＝，
t24∴4t－17t＋4≥0， 1∴04111
令h(t)＝lnt－(t－)(02t4111t－1h′(t)＝－(1＋2)＝－<0， 2
t2t2t1
∴h(t)在(0，]上单调递减，
4115
h(t)≥h()＝－2ln2.
48
15
故g(x1)－g(x2)的最小值为－2ln2.
8
2
2
