2013年上海市春季高考数学试卷

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．

1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是　 　．2．（3分）方程2x=8的解是　 　．3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是　 　．4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是　 　．5．（3分）已知向量

，

．若

，则实数k=　 　．6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是　 　．7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是　 　．8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=　 　．9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为　 　．10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为　 　（结果用数值表示）．

11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=　 　．12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为　 　．　

二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，

选对得3分，否则一律得0分．

13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（　　）A．

B．

C．

D．

的反函数，下列结论正确的是（　　）

14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=

A．f﹣1（2）=2B．f﹣1（2）=4C．f﹣1（4）=2D．f﹣1（4）=415．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　）A．（2，﹣3）

B．（2，3）C．（﹣3，2）

D．（3，2）

16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（　　）

A．B．C．

D．

17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）A．

B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2

D．

18．（3分）若复数z1，z2满足z1=A．关于x轴对称C．关于原点对称

，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（　　）

B．关于y轴对称D．关于直线y=x对称

19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（　　）A．45xB．90x2C．120x3

D．252x4

20．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（　　）A．y=sinx

B．y=cosxC．y=sin2xD．y=cos2x

21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（　　）A．1：2

B．1：4

C．1：8

D．1：16

22．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（　　）A．Z∪∁UNB．N∩∁UNC．∁U（∁u∅）

D．∁U{0}

23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（　　）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若A．圆B．椭圆　

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为

，求该三棱柱的体积．=λ

•

，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（　　）

C．双曲线D．抛物线

26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．

27．（8分）已知数列{an}的前n项和为S求

．

，数列{bn}满足b

，

28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2

（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且

，求直线l的方程．

29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足

．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；

（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N*．（1）若

，求点A的坐标；

），求θn的最大值及相应n的值．

（2）若点A的坐标为（0，8

31．（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．

（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=

图象对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．　

2013年上海市春季高考数学试卷

参与试题解析

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．

1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是　（﹣2，+∞）　．【分析】要使函数有意义，只需令x+2＞0即可．

【解答】解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x＞﹣2，所以函数的定义域为（﹣2，+∞）．故答案为：（﹣2，+∞）．

【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题．　

2．（3分）方程2x=8的解是　3　．【分析】由已知条件2x=8=23，可得x=3，由此可得此方程的解．【解答】解：由2x=8=23，可得x=3，即此方程的解为3，故答案为 3．

【点评】本题主要考查指数方程的解法，属于基础题．　

3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是　x=﹣2　．【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点，开口向右．

由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2故答案为：x=﹣2

【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．　

4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是　2π　．【分析】根据函数y=2sinωx的最小正周期是 【解答】解：函数y=2sinx的最小正周期是 故答案为 2π．

【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．　

5．（3分）已知向量

，

．若

，则实数k=　　．=

，运算可得结果．

=2π，

【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．【解答】解：由故答案为：

．

，则

，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，

【点评】本题考查向量共线的充要条件，若

⇔x1y2﹣x2y1=0．　

6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是　5　．【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+∅），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．

【解答】解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+∅），（其中，cos∅=，sin∅=） 故函数的最大值为5，故答案为5．

【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．　

7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是　【分析】利用模长公式|z|=的模．

【解答】解：∵复数2+3i，

　．，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）

∴2+3i的模 故答案为：

．

=．

【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题．　

8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=　7　．【分析】根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入题中的数据得b2=25+﹣2×5×8×cos60°=49，解之即可得到b=7．

【解答】解：∵在△ABC中，a=5，c=8，B=60°，∴根据余弦定理，得

b2=a2+c2﹣2accosB=25+﹣2×5×8×cos60°=49解之得b=7（舍负）故答案为：7

【点评】本题给出△ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．　

9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为　60°　．【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．

【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B

故∠BA1D=60°故答案为：60°

【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．　

10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为　　（结果用数值表示）．

【分析】先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案．

【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，

则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣=．故答案为：．

【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题．　

11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=　

　．

【分析】设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式．

【解答】解：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得

，，解得

解得 ，

故数列的前n项和Sn=故答案为

．

，

【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题．　

12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为　4836　．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：

2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836．可求得2000的所有正约数之和为 4836．故答案为：4836．

【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．　

二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．

13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（　　）A．

B．

C．

D．

【分析】根据可得出答案．【解答】解：根据由题意得，

叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即

叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，

=ad﹣bc．

故选：B．

【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．　

14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=

的反函数，下列结论正确的是（　　）

A．f﹣1（2）=2B．f﹣1（2）=4C．f﹣1（4）=2D．f﹣1（4）=4【分析】本题的关键是求函数f（x）=原函数式f（x）=

的反函数，欲求原函数的反函数，即从

中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．

的反函数，

【解答】解：∵f﹣1（x）为函数f（x）=∴f﹣1（x）=x2，（x≥0），∴f﹣1（2）=4，f﹣1（4）=16，故选：B．

【点评】本题考查反函数的求法及不等关系，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．　

15．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　）A．（2，﹣3）

B．（2，3）C．（﹣3，2）

D．（3，2）

【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k=，即可得到它的一个方向向量（1，k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．【解答】解：由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 =（1，），或（3，2）故选：D．

【点评】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．　

16．（3分）函数f（x）=

的大致图象是（　　）

A．B．C．

D．

【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；

又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选：A．

【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．　

17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）A．

B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2

D．

【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．

【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得故A不正确．

可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．

【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．　

18．（3分）若复数z1，z2满足z1=

，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（　　）

=﹣1，∴

，

A．关于x轴对称C．关于原点对称

B．关于y轴对称D．关于直线y=x对称

【分析】由题意可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称．【解答】解：若复数z1，z2满足z1=

，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，

故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称，故选：A．

【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．　

19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（　　）A．45xB．90x2C．120x3

D．252x4

•xr，即可得出结

【分析】根据（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=论．

【解答】解：（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=此项为120x3，故选：C．

•xr，故当r=3时，

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某一项，属于中档题．　

20．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（　　）A．y=sinx

B．y=cosxC．y=sin2xD．y=cos2x

【分析】根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论．

【解答】解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除A、C．

由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件．

由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于π，在（0，

）上是减函数，在（

，

π）上是增函数，故不满足条件．故选：B．

【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．　

21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（　　）A．1：2

B．1：4

C．1：8

D．1：16

【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为之比．

【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4∵两个球的表面积之比为1：4，∴

=

=

=，解之得

=（舍负），S2=4

=，解之得

=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积

因此，这两个球的体积之比为==（

）3=

即两个球的体积之比为1：8故选：C．

【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．　

22．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（　　）A．Z∪∁UNB．N∩∁UNC．∁U（∁u∅）

D．∁U{0}

【分析】根据题目中条件“全集U=R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案．

【解答】解：∵全集U=R，

∴Z∪∁UN=R，N∩∁UN=∅，∁U（∁u∅）=∅，∁U{0}={x∈R|x≠0}．

故选：A．

【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．　

23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（　　）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b2﹣4ac＜0”与“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可．

【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△=b2﹣4ac＜0．

但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0；

反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时．

从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件．故选：D．

【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题．　

24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若A．圆B．椭圆

=λ

•

，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（　　）

C．双曲线D．抛物线

【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．

【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；

因为=λ•，

所以y2=λ（x+a）（a﹣x），

即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选：D．

【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．　

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为

，求该三棱柱的体积．

【分析】因为 CC1∥AA1．根据异面直线所成角的定义得∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，从而∠BC1C=

．在Rt△BC1C中，求得BC，从而求出S△ABC，

最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积．【解答】解：因为 CC1∥AA1．

所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=在Rt△BC1C中，BC=CC1tan∠BC1C=6×从而S△ABC=

=3

，

×6=18

．

=2

，

．

因此该三棱柱的体积为V=S△ABC×AA1=3

【点评】本题考查三棱柱体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　

26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．

【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可．

【解答】解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0＜x＜40，健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△CBA，以

，

，求得BF=50﹣）•x

，

从而y=BF•FP=（50﹣=﹣=﹣≤500．

当且仅当x=20时，等号成立．

答：该健身房的最大占地面积为500平方米．

【点评】本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．　

27．（8分）已知数列{an}的前n项和为S求

．

，数列{bn}满足b

，

【分析】先由Sn求出an，进而得到bn，由bn的表达式可判断数列{bn}是无穷等比数列，从而可得答案．【解答】解：当n≥2时，且a1=S1=0，所以an=﹣2n+2．因为列．故

=

=．

=

，所以数列{bn}是首项为1、公比为的无穷等比数

=﹣2n+2，

【点评】本题考查数列的极限、等差数列的前n项和，解答本题的关键是根据Sn与an的关系求出an．　

28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2

（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且

，求直线l的方程．

【分析】（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；

（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为

．

转化为数量积等于0，代入

根据题意知，解得，

故椭圆C的方程为．

．

（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由

，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

，

因为，所以，即

==

=，解得，即k=

或

．

．

故直线l的方程为

【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．　

29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足

．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；

（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；

得

（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．

【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则

，

因为F的坐标为（1，0），所以由即

，

，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）．

，解得

代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x．

（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），

则，解得．

若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（

）．

．

【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．　

30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N*．（1）若

，求点A的坐标；

），求θn的最大值及相应n的值．

（2）若点A的坐标为（0，8

【分析】（1）利用{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；

（2）表示出tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．

【解答】解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，xn=2n﹣1．由

，知

，

而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）=

=，

所以，解得t=4或t=8．

故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．

（2）由题意，点Pn的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAPn=

．

∴tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn）=

=．

因为≥

，所以tanθn≤

=，

当且仅当∵0＜θn＜

，即n=4时等号成立．

，y=tanx在（0，

）上为增函数，

．

∴当n=4时，θn最大，其最大值为

【点评】本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键．

31．（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．

（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=

图象对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．

【分析】（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函数y=x3﹣3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．（2）设h（x）=

的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b

是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．

（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．

【解答】解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，

由于函数y=x3﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）．（2）设h（x）=

的对称中心为P（a，b），

由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．设f（x）=h（x+a）﹣b，则f（x）=即f（x）=

．

﹣b，

由不等式此时f（x）=

的解集关于原点对称，则﹣a+（4﹣a）=0，得a=2．

﹣b，x∈（﹣2，2）．

任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，所以函数h（x）=（3）此命题是假命题．

举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．

【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．　

图象对称中心的坐标是（2，1）．