船舶结构力学课程习题集答案

第1章 绪 论....................................................................................... 2 第2章 单跨梁的弯曲理论 ................................................................ 2 第３章 杆件的扭转理论 ................................................................ 15 第４章 力法..................................................................................... 17 第5章 位移法................................................................................... 28 第6章 能量法................................................................................... 41 第7章 矩阵法................................................................................... 56 第9章 矩形板的弯曲理论 .............................................................. 69 第10章 杆和板的稳定性 ................................................................ 75

1

第1章 绪 论

１．１ 题

１）承受总纵弯曲构件：

连续上甲板，船底板，甲板及船底纵骨，连续纵桁，龙骨等远离中

和轴的纵向连续构件（舷侧列板等）

２）承受横弯曲构件：甲板强横梁，船底肋板，肋骨

３）承受局部弯曲构件：甲板板，平台甲板，船底板，纵骨等

４）承受局部弯曲和总纵弯曲构件：甲板，船底板，纵骨，递纵桁，龙

骨等

１．２ 题

甲板板：纵横力（总纵弯曲应力沿纵向，横向货物或上浪水压力，横向

作用）

舷侧外板：横向水压力等骨架力沿中面

内底板：主要承受横向力货物重量，骨架力沿中面为纵向力 舱壁板：主要为横向力如水，货压力也有中面力

第2章 单跨梁的弯曲理论

２.1题

设坐标原点在左跨时与在跨中时的挠曲线分别为v(x)与v(x1)

M0x2Nx3１）图2.1 v(x)2EI6EIp(xl)346EIp(xl)326EIp(x3l)34 6EIl4l23l4原点在跨中：v1(x1)v0MxNx2EI6EI2320131l4v1(l)0v1'(l)0p(xl)3224， p'6EIv1(0)0N1(0)2２）图2.2v(x)0xNxMx2EI6EIl3p(xl)33 6EIp(xl)32 6EI３）图2.33xqxdxNx3v(xx)0xx06EI6EIl2２.２题

pl31131pl3(3) a) v1vppvp6EI1446EI3pl =

1113(2) 44162512EI

3pl V2319113pl3pl ()6EI192EI96EI41624 2

MlMl2Pl29 b) v(0)(12)

33EI6EI6EI'20.1Pl25Pl273Pl = 1620EI6EI327EIMlMl2Pl29 (l)(11)

33EI6EI6EI20.1Pl24Pl2107Pl = 1620EI6EI327EIl2lpl233131m21m11 vl3333EIl6EI322237pl =

2430EI

7ql444ql5ql3 c) vl2192EI768EI2304EI

'qlpl v(0)24EI16EI32ql2166EIlql111ql3 96EI8EI36123d)2.1图、2.2图和2.3图的弯矩图与剪力图如图2.1、图2.2和图2.3

图2.1

3

图2.2

图2.3

2.3题

1）

Mlql32l2右6EI24EI45EIM13q1l2120lMlqq02123EI

q1l3Ml7l2 2）03EI24EI180EIlMllq1 26EIq1l311q1l3713 = EI1824360612080EI2.4 题

图2.5 v(x)v00xN0x36EI，

v0ApN0

x3v(x)Ap0xAN0

6EI 4

如图2.4， 由vlvl0得

l3Ap0lAN006EI2l0N002EIpl2Ap0l6EINp30解出

pl33xx3 v(x)1 图2.4

9EI2l2l3 图2.6

M0x2N0x3vx1x2EI6EI由vl0,vl2得M0l2N0l34EI2EIM2 1l001ll2EI6EI解得M0lN0l2N6EI12012l2EI2EI212x212x3vx1xll22.5题

图2.5：（剪力弯矩图如２．５）

R1plMpp2p33l2l32pplv0AR39EI6EI2pl3pl35pl3lv0Mlv2216EI18EI48EI144EIv0Mlpl2pl2pl2v00l6EI9EI18EI6EIMpaKA

bb ， 图2.5 A1l6l将al,b0Al,6

KA1116325

代入得：Mpl1pl

3126 2.7图：（剪力弯矩图如２．６）

0.05l3qlql4v1A1R1EI240EIl3qlql4v2A2R250EI2100EI 4ql411l5qlv2384EI2EI40100ql457293ql4EI3844009600EI 图２．６

v1v2ql31ql3112ql3024EIlEI244010075EI 333vvqlql11117qll1224EIlEI2440100300EI 图2.8（剪力弯矩图如２．７）

2b12A1l由Qqa,al,b0,Qa1M24KA18,A124 KA1182411,代入得

322ql2ql1M212124824qlqlR13ql,828ql4v0AR1EI 图２．７

4ql4Ml25ql4l5qlv2384EI128EI16EI384EIv0Mlql3ql3111(0)24EIl6EIEI2448

ql192EI3

lql2ql3(l)MEI8EI8

6

2.6题

dv2max.dxv2maxGdxNdxGAsNEINEIv1dxv1C1GAsGAsax3bx2cxdEIf(x)axbCvv1v2f(x)162GAsf(x)式中由于由32EIEIf(x)axbxc62GAsGAs2qxf(x)axd124EI(0)0v(0)v1(l)0v(l)v14qxf(x)可得出2EId1b0得方程组：ql4EIql2al3EIcal06GAs24EIGAs2EI2qlal02EIqlql3解出：a=,c2EI24EI . qx4qlx3qx2qx3qlv(x)24EI12EI2GAs24EI2GAsl5ql4ql2v()2384EI8GAsx

2.7.题

先推广到两端有位移i,i,j,j情形：令ij,12EI GAsl23axv62bx2cxd1EIaxGAs

d1v(0)i由v1(0)ici由v(l)j由v1(l)jal3bl2EIilialj62GAs2alblj2而v0i 7

ij2a2ll1 解出bji31ij2lll1(0)EIbM(0)EIv1EI624jil1lEI6642ijijl1ll6EI2N(0)EIv(0)EIa 1ijjil21lN(l)N(0)EIM(l)EIv1(l)EIbal426jil1l令上述结果中i0，即j同书中特例2.8题 已知：l375225cm,t1.8cm, qhs1025100.7576.875面积 外板1.845 球扁钢NO24a s75cm01050kgcm2

kgcm

面积距 惯性矩 自惯性矩 cm2 81 38.75 119.8 A 距参考轴 cm3 0 604.5 B 2604.511662cm4 0 9430.2 9430.2 C=11662 cm4 (21.87)略 2232 2253.9 cm 0 15.6  eBA2B5.04cmICA119.88610cm4 计算外力时面积A751.838.75174cm2ll计算I时，带板bemin,s45cm55 1）.计算组合剖面要素： 形心至球心表面y1ht2e240.95.0419.86cm形心至最外板纤维

8

y2et5.94cmw1I8610433.5cm3

2y119.86w2I u86101449c.3m4y25.94l0A22510501740.3 662EI226108610xu0.9881,u()0.980q2l76.Mxu121q2l1u M中2487522250.98832k0g4.4c2m2176.87522250.9（80kgc1m58 91524M中1515kg球头中0105014126cmw1433.5M320424kg板固端0105012721max1416kg2cmcmw21450M320424kg球头端010503782cmw1433.5) 若不计轴向力影响，则令u=0重复上述计算：

max球头中ql2024w176.875225210501424kg2cm24433.514241416 相对误差：0.56%1424结论：轴向力对弯曲应力的影响可忽略不及计。结果是偏安全的。

2.9.题

EIvIVTv0,EIvNTv

2TvV0,vIVK2V0式中kEIIVT EI特征根：r1,20,v(0)0v(0)0r3kr4kvA1AkxAshkx2Achkx34 A1A30A2A40

v(l)0EIv(l)N(l)Tv(l) 9

A3chklA4shkl0  3EIkA3shklA4chklpTkA2A3shklA4chkl

解得：

ppppthkl,A2,AthklA,34kTkTkTkTp v(x) thklkxthklchkxshkxkTpthkl1chkxshkxkxEIk3A12.10题

EIvIVTv0EIvIVNTvEIr4ikmEI

vIVk2v0式中kT22特征方程：r4kr0 特征根：r0,1,2r3ikvA1AkxAsinkxAcoskx234v(0)0EIv(0)mA1A40A4k2v(l)0EIv(l)Tv(l)AsinklAcoskl03433kAcosklAsinklkAAcosklAsinkl 34234 m解得：A3ctgkl,A20Tmv(0)AkAkcoskAksinkAk3432x0kEItgkl2.11题

图２．１２

0 10

由v(0)0协调条件查附录图：lklEI令 A=0 B=0 u=4412EI24EIl ql3 Ml2u0u024EI3EIql22uql2.609M0.101ql280u80.752lv(2u)vv3(2u)v113Mlq0u2 v12221B2EIv1(2u)v3(2u)2k44l2 1.91150.66354.93011.9335ql0.101ql2l222210.44822u1B01.91154.9301EI8EI 

220.0049ql4EI2.13图

pl2Ml0x0u0uM16EI3EIlupl2Mx0u016EI3EI 将u1,l12EI代入得：Mpl10.720.5910.111pl12316llv(2u)vv(2u)v3311pl3M22lv2u222248EI2EIv(2u)v(2u)13pl30.6090.1110.91150.66354.83011.93352l  u1EI4881.911524.930120.0086Pl3EI2.12题

1）先计算剖面参数：

11

Wbh266100cm332210WpAiyii

Ahbh2250cm3424形状系数fWpWbh243bh226 图２．８ａ

2）求弹性阶段最大承载能力Pma如图(2.8a)x 令Mm100240084kg102

cm351W6y164810即PmalxWy解出Pmax512kg165l5500axWy3)求Pu极限载荷用机动法此结构

达到极限状态时将出现三个塑性铰，其上作用有塑性力

矩MpWpy如图由虚功原理：4M 图２．８ｂ pl24Wpy4Mp0050960kg P424ull5002.13补充题

剪切对弯曲影响补充题，求图示结构剪切影响下的v(x)

解：可直接利用 Pu Pu22M0x2N036EI v(x)v00xx2EI6EIGAsx  12

则边界条件：v0000v(l)0EIv(l)m3ml 得N02l26EImv(x)EI3ml2M0m22l6EI

GAsGAs3lx6l22lx3x2222l62l62(2l6)EIGAs2.14. 补充题

试用静力法及破坏机构法求右图示机构的极限载荷 p，已知梁的极限弯矩为Mp（20分） （1983年华中研究生入学试题） 解： 1）用静力法：（如图２．９）

由对称性知首先固端和中间支座达到塑性铰，再加力ppu，当p 作用点处也形成塑性铰时结构达到极限状态。即：

8Mppl u MpMppu4l8Mp28Mp 2）用机动法： 2p pull2.15.补充题

求右图所示结构的极限载荷其中l3EI,pql（1985年哈船工研究生入

学试题）

解：由对称性只需考虑一半，用机动法。当此连续梁中任意一个跨度的两 端及中间发生三个塑性铰时，梁将达到极限状态。考虑a) 、b)两种可能：

222quxdx4M0pll16Mp解得qul2

2对b)pu4Mp0l16Mpqul2对a)l20（如图２．１０）取小者为极限载荷为qu坏。

8Mpl2即承受集中载荷p的跨度是破

13

图２．９

图２．１０

14

第３章 杆件的扭转理论

3.1题

a) 由狭长矩形组合断面扭转惯性矩公式：

J1133ht6501032008380826.4cm 4ii3i31701.233513151.2360.6cm4 3 b) J c) 由环流方程

MtBredt公式ds22AGMft2Ads材力Mt4A2J0tGJ04AG2dst

2 本题A4041.6200.83023.2cmds1t1.624041.6131.68J043023.2131.682.775105cm423.2题

4A24at3tat 对于a)示闭室其扭转惯性矩为J0ds4ttat41t334at 对于b)开口断面有Jhiti

33两者扭转之比为2b

MGJ3attJ0J(271倍）4taMtGJ0

ds本题易将t的积分路径取为截面外缘使答案为300倍，误差为10%，可用但概念不对。若采用s为外缘的话，J大，小偏于危险。

3.3题

Mtpn18bb8p4pb22

A812btsinbtcosbtsin28842Mt2A4bp2btsin2f421003029.555kg/cm(3000.2)2 15

lflf8ds8btsin2AGt2AGt82bt22sicnos 88

1009.5684104(弪）429.8cos81050.283.4题

.将剪流对内部任一点取矩

1009.5t8b6sin2156f1rds(f1f2)rdsf2rds6232f2rds(f2f3)rds67737843f3rds 21562f1rdsf232673rdsf378437rds

f1rdsf2rdsf3rdsIIIIII2A1f12A2f22A3f3Mt.........(1) 由于I区与II区，II区与III区扭率相等可得两补充方程

f3f2f11f11f2dsdsdsdsds2GA1tttt2GA2IIt2673f21f3dsds2GA3IIItt372fffff23ff即：122133.....(2)A1A2A3(1)(2)联立（注意到A1A3，2A1A2a2）2A1f12f2f3Mt解得3f1f23f3f213f1f2(f14f2f3)213Mtf1f314a2f2M7a2t25Mt314atG

f21f1a9Mt2Mtdsds2222GA1tt7a 622Gat14a214Mt知J0a3tJ0G5

16

第４章 力法

4.1题

令ll02.75cmII0由对称性考虑一半 2.5q10.81.0251.845吨/米2对0，1节点列力法方程I226I0M0l0M1l0ql0303EI6EI24EI00033MlMlqlM(0.8)lM(0.8)lq(0.8l)001001000203E(26I0)6E(26I0)24E(26I0)6EI03EI024EI02M0M1/2ql8即：2M2.09M0.2549ql102M10.0817ql1.139tm2M0.0842ql1.175tm0

4.2.题

将第一跨载荷向c支座简化M1Q1l12,pQ1由2节点转轴连续条件：Q1l12l6EI2M2l3M2l2Q2l223EI224EI23EI32解得M2Q1l1Q2l228Q1l1I2l31Il32Ql8216

若不计各跨载荷与尺度的区别则简化为M2QlRAM2lQ16QM2M1M2RQ8B2ll4.3题

由于折曲连续梁足够长且多跨在a, b周期重复。可知各支座断面弯矩且为M 对2节点列角变形连续方程

MaMaqa3MbMbqb33EI6EI24EI3EI6EI24EI解得

17

2qa3b3q2qb2aa21 Maabb12ab1212bb

４．４题

图4.4，对2，1节点角连续方程：

2M1l0l07Ql0Ml/120M2I0E3I4E18I004EI036E402M2l08Ql0M1l00 3E4 I0E6I4E18I004041Ql0.1242QlM1解得：330MQl/550.0182Ql

4.5图令I12I344I0，I233I0l12l23l34l0,由对称考虑一半

18

2M1l0M2l02Ql003E4IE6I4E45I00042l07Ql0M2M2l0Ml20M1l0 6E4 6I0E3I4E18I004E（I）3（3I）00E03解出：M141330Ql0.1242QlM2Ql/550.0182Ql

4.5题

对图4.4刚架1l02l023EI06EI0对图4.5所示刚架考虑2，3杆，由对称性M2l0M2l0M2I）2l03E（30）6E（3I06EI02l06EI0均可按右图示单跨梁计算。由附录表A-6（5）l0E（4I0）21026EIl003K12111103333636M12Ql012941Ql00.1242Ql0451136316330M7Ql0101Ql0 218011367550.0182Ql0

4.6题

2为刚节点，转角唯一（不考虑23杆） M2l1Ml243EI23EI

M2节点平衡21M24M22

19

2M22lM2l,3EI6EI22M2l6EIK6EIl 若21杆单独作用，K211213EI13EI,若24杆单独作用，K24 l24l6EIl两杆同时作用，KK21K244.7.题

已知：受有对称载荷Q的对称弹性固定端单跨梁（EIl）， 证明：相应固定系数与关 系为：11

2EIl 证：梁端转角iMMlMlQ3EI6EIlMQ.............................12EI令0则相应MM固端弯矩即MQl........................................22EI

Ml2EI1111EIl12得或：12EIMl2EI1122l 讨论：

1）只要载荷与支撑对称，上述结论总成立 2）当载荷与支撑不对称时，重复上述推导可得

ij11j312ij1ij6iori2ijij13i1i3式中ijMiMj外荷不对称系数 ijij支撑不对称系数112i 仅当ijij1即外荷与支撑都对称时有i

否则会出现同一个固定程度为i的梁端会由载荷不对称或支撑不对称而影响该端的柔度i，这与i对梁端的约束一定时为唯一的前提矛盾，所以适合iMi定义的i~i普遍关系式是不存在的。

20

4.8 题

A12l48EIl36EI列出1节点的角变形连续方程：2Mlvp2lM(2l)v11113EIl3EI2l16EI vARAM12pM1p

1111l2l2联立解出3323pl3M1pl,v11136EI画弯矩图见右图

4.9题

１）如图所示刚架提供的

支撑柔度为A1A2V而由5节点50得pllM5l0 3E7I6E7IM5pl2,Fplpl2l3p2

p1 由卡瓦定理：

AV1

p1MMdsEIPp1l1l3p3pssdspls2lsds211100E7I22p2

12l1l331lsds220E7I327EIl3l3l33412EI ２）由对称性只需对01，节点列出方程组求解

21

M0lM1lv1ql303EI6EIl24EIM0lM1lv1M1lM1lql3ql3 

3EI6EI24EI6EI3EIl24EIl3M1M0qlqlv1A1R112EIl22 联立解得：M011ql236,M1ql36,2ql4 v12v218EI４．１０题

a)

=1384,Q1qal192,

qQql2a3qalk192Eial3b)QQ1Q2qalqal2221Q1Q,Q2Q335Q1l3Q2l37310v中5384Ei180Ei2285525Q1l35Q2l3Ql333384Ei384EiEi3843845Ql3384Ei5,138448Q5483qal15qqla3842a163kEi348Eialal

c)1,1,pp,Qp4848lpl48p431 d)令p=248Ei6Ei4463kEi13414al348Eial3

pl21411p,k848E3i(同c图)al

22

e)5

31384,3Q548qal,Qqal2q48a384a241238pp66365ql16

令plpl148Ei6Ei31111p=249232711m1m212222

768131m3m24768Eip=-k7al37122222l7l7pl3l21f)令1768Ei6Ei2g)p同a)即pqalQ2qpaql2

192Eil3k0x6a1 kEiA192E(2i)l321922k0l3kk0a192Eial3x6a

4.11题

支柱处v0,可简化为刚性固定约束仅考虑右半边板架

1481111111164214816p=11pp16k48Eial348EI0l06l2EI049l014E9I20032EI09l40u

6l04223

11p6l0p6l016M110.8740.4507pl0 88pp11N110.852P0.8520.2929p2232lvmavxv3l4

3011360.833 p6l0plpl111600.15280969EI0EI09192EI02

4.12题

设al01miI05.833105cm4I1.857I0,Qq0al,q01kgcm2L1l10l0b2.5l0

E2106kgcm2 '求：中纵桁跨中及端部弯曲应力及v中解：因主向梁两端简支受均布载荷Q故其形状可设为sinc1c3sin11yly1l1sin40.707c2sin211130.020836444111211按对称跨中求1210.0143262411iciIic1I111210.020830.7070.0143210.04110.707i11I1I210.0411,240.013023843k2Ei2al321065.8331050.0411102103283kgcm2Q0.0130210q0l02q23.168q0l02l00.0411l0u10l0Li424al3I1124I04l010l01.857I00.04111.2311.20.728,2u0.813,1u0.774

q23.168110211u(10.728)0.304cm v中k2283 24

端

q2L221.2M12I51hIt2q2L21u3.168ql0100l24I51243q.1l0608l122020100.813511010kgcm10.833105

中

0.77451481kgcm10.8331054.13补充题 写出下列构件的边界条件：（15分）

1）

v0Ap1EIv0 解：EIv0m 2）

vl0 vl0mv0lIv11mv0vEI2E2l 解： l0v00v 3) 设x=0,b时两端刚性固定；y=0,a时两端自由支持

w0时,b 解：x=0xw=02w20时y=y0,a w=04) 已知：x=0,b为刚性固定边;y=0边也为刚性固定边：y=a为完全自由边

w0解：x=0时,bx w=0wy=时0w0y

25

2w2w220xy ya时

22w2w022yyx4.14题.图示简单板架设受有均布载荷q主向梁与交叉构件两端简支在刚性支座上，试分析两向梁的尺寸应保持何种关系，才能确保交叉构件对主向梁有支持作用？

解：少节点板架两向梁实际承受载荷如图，为简单起见都取为均布载荷。由

对称性：R1R2R由节点挠度相等：

5Q1l31Rl3w主384Ei48Ei使之相等令3311Q2L5RL w交972EI162EI11Q1qalqlLQ2qblqlL321155解出节点反力R=qlL.............................11944481621152l3IdR式中3——交叉构件与主向梁的相对刚度，且0

Lid由1节点反力将随的增加(即交叉构件刚性的增加）而增加。5548qlLqlL 115224这时交叉构件对主向梁的作用相当于一个刚性支座

511Ii当时即31.33时R0表示交叉构件的存在不仅不支持11521944Ll当时R=Rmax

26

主向梁，反而加重其负担，使主向梁在承受外载荷以外还要受到向下的节点反作用力这是很不利的。

Ii∴只有当3〉1.33时，主向梁才受到交叉构件的支持。

Ll

27

第5章 位移法

5.1题

图4.40M12Ql010，M21Ql015，M32M230

' M122E(4I0)4E(4I0)'2，M212 l0l02EI04EI032 l0/2l0/24EI02EI032 l0/2l0/2M'32M320 ''M23M21M23M210' M23' M32对于节点2，列平衡方程

M320 即： MM02123代入求解方程组，有

2Ql04EI08EI023022215EI0l0l0，解得 8EI28EI4EIQlQl0000()2303l0l0154415EI0l08EI0所以M12MM12l0'12Ql02Ql041Ql00.1242Ql0 2215EI10330016EI0M21MM21l0'21Ql02Ql0Ql00.0182Ql0 552215EI015

图4.50。 由对称性知道：23

1）M12Ql010，M21Ql015，M32M230

' 2） M122E(4I0)4E(4I0)'2，M212 l0l0' M232E(3I0)3l04E(0I3)E60I2 2l0l03） 对2节点列平衡方程M23M210

28

Ql0216EI0Ql06EI0即 220，解得22215EI0l015l0 4）求M12,M21,M23（其余按对称求得）

8EI0M12MM12l0'12'21Ql02Ql041Ql00.1242Ql0 2215EI103300Ql02Ql0Ql00.0182Ql0 552215EI01516EI0M21MM21l0M23M21，其余M43M21，M34M21，M32M23

5.2题

由对称性只要考虑一半，如左半边 1）固端力（查附表A-4）

12M12Q(2l0)10q0l02， M21Q(2l0)15ql02 0515M25M23M32M340

2）转角2,3对应弯矩（根据公式5-5）

'M122E(4I0)4E(4I0)'2， 2，M212l02l04EI02EI0EI0252

522l4l04l004EI02EI023， l0l02EI04EI023 l0l04EI02EI0EI0343

432l4l04l00'M25'M23'M32'M343）对于节点2，3列出平衡方程

图5.1 （单位：q0l02） M'32M'34(M32M34)M32M340 即' ''MMMMMMMMM0232123212525232125 29

2EI04EI0EI012q0l0323302l0l02l01045EI0则有，得 238EI0EI04EI02EI02q0l016q0l022233l2lll1531045EI000004）

4EI0M12MM12l0'1212q0l031257222(ql)ql0.246ql000000

1045EI5104508EI0M21l0M25EI02l012q0l032262qlq0l020.0415q0l02 006271045EI01512q0l036q0l020.0057q0l02 10451045EI012q0l032EI0l01045EI012q0l034EI01045EIl0016q0l03112q0l020.0357q0l02313531045EI016q0l038q0l020.0026q0l02 313531045EI0M234EI0l02EI0l0

M32其余由对称性可知（各差一负号）：M65M12，M56M21，M52M25，

M54M23，M45M32，M43M34M32；弯矩图如图5.1

5.3 题

（M14M250）M12pl8，M21pl8，其余固端弯矩都为0

' M412EI4EI2EI4EI'''1，M141，M522，M252 llll2EI4EI''M633，M363

ll4EI2EI2EI4EI''M1212， M2112

llll4EI2EI2EI4EI''M2323， M3223

llll由1、2、3节点的平衡条件

M14'M12'M14M12M14M120'''M21M25M230 即M25M23M21M23M21M25 MM0''MM32363236M32M36 30

4EI2EIpl4EI12l1ll84EI4EI4EI2EIpl2EI 12223llll8l4EI4EI2EI303l2ll27pl25pl25pl2解得：1，2，3

22EI2216EI22EI4EI27pl227M14M12pl0.0767pl l22EI3522EI27pl227M41pl0.0383pl l22EI704M3EI5pl25pl0.0142plM32 l22EI3522EI5pl25pl0.007pl l22EI7044EI5pl25pl0.0568pl l2216EI884EI5pl22EI5pl235pl0.0497pl l2216EIl22EI704M63M25M23M21M25M23M5275pl0.1065pl 7042EI5pl25pl0.0284pl l2216EI176弯矩图如图5.2

31

5.4题

图5.2（单位：ql） 已知l12l03m，l232.2l06.6m，l243l09m I00.3104cm4，I122I0，I233I0，I248I0

11 Q0q2l12q0l0，q44q0，

221 Q24Q矩24Q三角24q（3l）(3q0)3l06Q09Q0 0021）求固端弯矩

M21Q0l010，M12Q0l015，M32M230

M24

(9Q0)(3l0)(6Q0)(3l0)33Q0l0 101512(9Q0)(3l0)(6Q)(30l)021Q0l051012

2）转角弯矩 M422E2I04E(2I0)12， Ml0l0'12 32

'M214E2I02E(2I0)12 l0l0' M234E(3I0)2E(3I0)23，

2(2l0)2(2l0)2E(3I0)4E(3I0)23

2(2l0)2(2l0)'M32' M244E(8I0)2， (3l0)2E(8I0)2 (3l0)图5.3（单位：Q0l0） 'M423）对1、2、3节点列平衡方程

8EI04EI02Q0l0151l0l0M120796EI030EI04EI016 M21M24M230即：123Q0l0

33l011l05l0M03230EI060EI030211l011l0q0l02q0l022234Q0l02209Q0l020.033970.07628解得：1，2，

32880EI0EI01370EI0EI0q0l02209Q0l0230.03814

2740EI0EI04）求出节点弯矩

4223482091Q0l01.0487Q0l0 M2132880137010620912209M23Q0l00.6241Q0l0

1.213702.227403220933M24Q0l01.6727Q0l0

31370101420921M24Q0l05.0136Q0l0

313705弯矩图如图5.3。

5.5 题

33

由对称性只考虑一半； 节点号 杆件号ij 1 12 —— —— —— —— —— —— —— —— -1/10 -4/165 -41/330 8/11 1/2 1/15 -8/165 1/55 21 4 1 4 1 4 11/2 3/11 —— 0 -1/55 -1/55 2 23 3 1 3 （1/2）对称 3/2 Iij/I0 lij/l0 kij Cij Cijkij Ckij nij ijijMij/Ql0 mij/Ql0m'ij/Ql0 Mij/Ql0

所以：

M12M4341Ql0QlQl，M21M340，M23M320 33055555.6题

1.图5.40：令I10I0I12,l10l0,l121.5l0

节点号 杆件号ij 0 01 —— —— —— —— —— —— —— —— 2/3 1/2 10 1 1 1 1 1 3/2 1/3 0 1 12 1 1.5 2/3 3/4 1/2 2 21 —— —— —— —— —— —— —— Iij/I0 lij/l0 kij Cij Cijkij Ckij nij

ijij34

Mij/Ql0 mij/Ql0mij/Ql0'-1/10 -1/45 -11/90 1/15 -2/45 1/45 0 -1/45 -1/45 0 —— 0 Mij/Ql0 由表格解出 M010.1222Ql M100.0222Ql M120.0222Ql M210

2.图5.50

令I103I0，I0I12，

l10l0，l12l0

ql qq0，Q10q0l0，Q1200节点号 杆件号ij 0 01 —— —— —— —— —— —— —— —— -1/12 -5/512 2

1 10 3 1 3 1 3 4 3/4 1/2 1/12 -5/256 0.0638 35

2 12 1 1 1 1 1 21 —— —— —— —— —— 1/4 1/2 -11/192 -5/768 -0.0638 —— —— 5/192 -5/1536 0.0228 Iij/I0 lij/l0 kij Cij Cijkij Ckij nij ijijMij/ql2 mij/ql2mij/ql'2 Mij/ql2

-0.0931 由表格解出：

M010.0931ql2，M10M120.0638ql2，M210.0228ql2

若将图5.5中的中间支座去掉，用位移法解之，可有：

5ql416l2122192EI 412l4829ql2232EI解得：

77ql3ql3， 20.05149652EIEI227ql4ql4 20.022725639EIEIM120.140ql2，

M230.14ql2

N210.040ql， N230.040ql

5.7题

计算如表所示 节点号 杆件号ij 1 12 —— —— —— —— —— —— —— 0 0 21 2 1 2 3/4 3/2 198/685 0 2/15 0.9153 2 23 3 2.2 15/11 3/4 45/44 297/1507 0 0 0.6241 24 8 3 8/3 1 8/3 1056/2055 1/2 -3.3 1.6273 3 32 —— —— —— —— —— —— —— 0 0 4 42 —— —— —— —— —— —— —— 21/5 0.8136 Iij/I0 lij/l0 kij Cij Cijkij ij nij Mij/Ql0 mij/Ql0mij/Ql0' 36

Mij/Ql0 0 1.0487 0.6241 -1.6273 0 5.0136

5.8题

1）不计45杆的轴向变形，由对称性知，4、5节点可视为刚性固定端

13q03l0q0l0,Q340.6q03l01.8q0l0 2239 M23Q23(3l0)/15q0l02, M32Q23(3l0)/10q0l02

2) Q2310 M934Q34(3l0)/12q2200l0

3) 计算由下表进行：

M18M2120.0039q0l0，

M210.0786q20l0 M32M340.518q20l0， M250.0341q20l0

M2430.4159q0l0，M230.1127q20l0

M2520.0170q0l0， 其它均可由对称条件得出。

37

20 节点号 杆件号ij 18 1 6 1/6 1/2 1/12 1/13 —— 0 0.00346 -.00537 -.01073 -.00358 -.02146 -.01073 -.00179 13/12 12/13 1/2 0 -.045 .04154 0.3 1/2 0 -.009 .02077 1 12 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 2 25 1 3 1/3 1 1/3 10/3 0.1 1/2 0 -.003 0.6 1/2 0.3 -.018 .015 1/3 1/2 -0.45 -.009 .003 23 6 3 2 1 2 32 6 3 2 1 2 2/3 1/2 0.45 .06 3 34 12 3 4 1 4 4 43 -0.45 .03 5 52 0 -.015 Iij/I0 lij/l0 kij Cij Cijkij Ckij nij ijijMij/ql2 mij/ql2mij/ql '2.00041 .00496 -.000 .00248 -.00128 -.00043 .00179 -.00256 .00358 -.00128 .00715 .00358 .00022 38

Mij/q0l02 .00005 -0.0039 .00059 -.00008 0.0039 .00030 -.00016 -.00001 -0.0786 -.00005 -.00000 -0.0341 .00022 -.00031 .00003 -.00002 0.1127 .00043 -.00016 .00005 -.00001 -0.5181 .00085 .00011 0.5181 .00043 .00006 -0.4159 -.00003 -0.0170

图5.4a 图5.4b

39

5.9 题

任一点i的不平衡力矩为

MiMissqlql0（i=1，2，…,h,i,j,…n-1. s=i-1,i+1） 1212所以任一中间节点的分配弯矩mij与传导弯矩m'ijnjimji均为0。 任一杆端力矩：MijMijmijm'ij

 MijijMisnjijiMjsMij0in

ss对两端i0,n，由于只吸收传导弯矩m'ij0 MijMijm'ijMij

两端所以对于每个节都有杆端力矩MijMij

说明：对图5.4b所示载荷由于也能使Mi0，也可以看作两端刚固的单

跨梁。

40

第6章 能量法

6.1题

1）方法一 虚位移法

考虑b),c)所示单位载荷平衡系统， 分别给予a)示的虚变形 ：

M(x)dxd EI1i外力虚功为 W

1j虚应变能为

1V=M(x)M0(x)dx

EI0l1 =EI1EI0RixllMi0Rx1i0RxMRxiiidx0dx

lMiMjl1MMj..........b)iEI363EI2 =lMjMilM1M...........c)ijEI363EI2由虚功原理：W=V 得：

1il j3EI121M2i M1j2）方法二 虚力法（单位虚力法） 梁弯曲应力：＝　MxIy

Mx＝y ＝EEIMiMxMiMjxl

41

Mx1(10)

给Mi以虚变化Mi1 虚应力为 ＝虚余功：W＝i1

虚余能：V*＝（真实应变）（虚应力）d

xlMxIy

MxMxyydxdydz

EII1l2MxMxdxy2dA

AEI01lMiMiMjx/l1x/ldx 0EI Qil1MMj i3EI2同理：给Mj以虚变化Mj1，Mi0可得（将i换为j）

jlMiMj 3EI23）方法三 矩阵法（柔度法）

iMiMi设,p，虚力p,p

MMjjj 式中cMxIyyyxMiMiMjx/l1IIlxMicp lMjyxx1,（不妨称为物理矩阵以便与刚度法中几何矩阵IllB对应）

Mi虚应力cpc

Mj实应变D1DCp

TT1虚余功 W*ppiMijMj

42

虚余能 V*dd

TT

pCDTT1CPdpCDCdp

TT1于虚力原理：W*V*考虑到虚力p的任意性。得： pCTDC1dA p式中 ACDT1Cd——柔度矩阵（以上推导具有普遍意义）

对本题：

2xxxx111llllylyxx1dx A1d02IxEIllEIxxx1llll 由

1EIl/3l/6ll/6l/33EI11/21/2 1Ap展开得：

il j3EI1/2Mi11/2M 1j6.2题

方法一 单位位移法

ujui/l ， EEujui/l

ui/l1/l设 ui1，则 

Ti1EEAlEAuu1/lduudxuiuj jiji20lll同理，令uj1 可得

Tj1EEAujui1/ldujui llTiEA11ui即：11u 可记为 pijKij TljjK为刚度矩阵。

43

方法二 矩阵虚位移法 设pijTiTjju iTiuj

T  {}ujui式中 Bui1/l11Bij ulj111——几何矩阵 l DDBij 设虚位移

ijuiuj ， 虚应变 Bij

TTT外力虚功 WpijijijTp

ij虚应变能 Vdd

T ijBTTDBij d ijTTdBDB

ij ijK

ij由 WV 得： pijK式中 KBT

ijd——刚度矩阵 DB111EA11对拉压杆元 KEA11dx 详细见方法一。 l1ll11l方法三 矩阵虚力法

Tiui设 pij ， ij ， D

Tjuj TjTiATi111TCpij Aj 式中 C111——物理矩阵（指联系杆端力与应力的系数矩阵） A1 DDCpij 虚应力 Cpij

1Ti1 设虚力 pij ， 则 DCpij

Tj

44

虚余功 W*ijpijpijij

TT 虚余能 V*dd

TT pijTpjCDCiT1 dT1CDCd pijp

ij pijApij 式中

d ——柔度矩阵 ACDCT1对拉压杆： KA111l1111dx ElA1AEA11 ijApij

uil11Ti 即 11T uEAjj讨论： 比较方法二、三。

结论： pijKij， ijAp

ij1若 K与A的逆矩阵存在（遗憾的是并非总是存在），则，K实际上是一个柔度矩阵，A实际上是一个刚度矩阵

6.3题

1）6.30如图所示

2nx设vxan1cos

ln11显然满足x0,xl处的

变形约束条件

v0vl0v0vl0''

22EIl''2EIl2n2nx变形能 V(v)dxcosandx 0022ln1l 45

EI 222nlan

l2n14力函数 pvcpvlc2pvc（对称）

2nc 2pan1cos

ln1由

Van0 ，所以

VEIl2n42nc 。即 an()2p1cos

anan2ll2nc1cospl3l所以， an 444EInpl3 vx44EInn112nc2nx1cos1cos 4ll 2）6.40如图所示 设vxa0xansinn1nx l22

2EInnxvlEIVasindxn20ll2A2n1l2nl an2Al2n14a0l2nca0pc pUcpansinln1由

Va00

得 a0l2/Apc ， 所以，a0Apc/l2 由

Van40， 得

2pl3ncEIlnncasinapsin 所以， nn4l2llEIn 46

Apc2pl3 vx2xlEI41ncnx sinsin4nlln13）6.50如图所示 令vxax2lx 所以， VEI2l0v''2dx

EIl22al6axdx0 22a2EIl3 由

Val/20qUxdxl/20qax2lxdx5qal4 1920 得 4aEIl355ql ql4 所以，a192768EI vx5ql2xlx 768EI4）6.60所示如图， 设vxa1x2a2x3，vx2a13a2x

VEI2''l0v''2dxEI2ll04a13a2xdx

22l12a31a2al322a l 2EIqvxdxql/2ll/2ax12a2x3dx

ql37a115a2l 

838由

Va1Va20 得 2EIl2a13a2l7ql3/24 0 得 6EIla1l2a2l215ql4/

由

67ql2a1384EI解上述两式得 

13qla2192EI 47

ql22ql3x0.0677x  vx0.1745EIEI6.4题

如图所示

设 vxa1sin l

EIV22xl/40v''2dxE2I2''2vdx l/4l/2 EIl/40a1sindx2EIll424x2/221l/4lasindx ll4x2l31 EIa12

l42qvxdxqa1sin00llxldx2qla1/

4由

Va1l312ql0 得 EIa1

l224ql4ql40.00718所以， a1

31EIEI52ql4 Ux0.00718EIxsi nl6.5题

如图所示 设 vxann12n1xsin

2l2EIV22l0vl vx''dx2A222n14EI2n123 anansin2ln122n1 48

l3其中，A

EI2n1VEI2n1EI2n13an3ansinsin anl2ln1224qvxdxq02l2l0an1n2n1xsindx

2l2lqan2n1n14qlan1cos2n12n1 n1所以，

4ql an2n144VEIEIVEI3EI3a13a1a2，3aaa2 取前两项得 231a1l2la2l2l 由

Va1Va2EI0 得 3l4EI4ql 1a13a22l34EI4ql 1aa213l32 由

EI0 得 3l4ql47.088a1a2EI

即： 4a494.133a4ql123EIql4a0.17981EI解得  4a0.001ql182EIx3xql0.0012sin vx0.180sin2l2lEIqll 中点挠度v0.1786EI244

49

6.6题 取v1(x)ansinVEI2nxnx ,v2(x)bnsinlll0lv12dx1GAs2l0'2v2dx22GAsEInxn asindxn20ll2nbn0llnxcosdxl2 EI2GAs2nlan2l2442nlbnl222

EIln2GAsln2 anbn44llVEIln4VGAsln2()an,()bn an2lbn2lqv1dxqv2dx00ll ql0ansinlnxnxdxqbnsindx0ll11

nn qan(1cosn)qbn(1cosn)lll∴anqnl(1cosn),bqnn(1cosn) (V)2ql4(1cosn)n为奇数4ql40得an由(n)5EI an(n)5EI(V)2ql2(1cosn)n为奇数4ql20得bn由 33an(n)GAs(n)GAs∴UxU1xU2(x)

4ql45EI1nx4ql2sin35nlGASn1nxsin3l nn(N1,3,5,     )6.7题

1）图6.9 对于等断面轴向力沿梁长不变时，复杂弯曲方程为：

EIVIVTV''q0

取v(x)ansinnnx 能满足梁段全部边界条件 l 50

x0,l处v0,v0,v0,v0(EIVIVTV''q)qvdx0

0lnnxnnxnx∴有EIan()4sinTan()2(sin)qsindx0

0lllll''''''lnlnllTaq积分：EIannl2l2n42nxcos0 l0llqn即：anEIln2l0(n为偶数)1cosn 4ql442(n为奇数)nlEI(n)514u2/(n)2Tl2式中：ulT今已知u=1 EI24nx4qll∴v(x)(n1,3,5   ) 552EINn(14u/2n2)sin4l取一项4ql4ql0.009301∴v()

EI2n1EI(n)5(14u2/2n2)44l5ql5ql4qlf0(1)0.7110.009258准确解为：v

EIEI2384EI384误差仅为0.46%

2(n)EI结论：1）引进Tcrl2——单跨简支压杆临界力

l2T5,45 u EI43842 2）取一项，中点挠度表达式可写成如下讨论的形式：

5ql4(T0)1l5ql v 384EI2EI3841T(失稳)(TT的压力时)crTcr4 式中：当T为拉力时取正号（此时相当一缩小系数，随T↑而↓）≤1

当T为压力时取负号（此时相当一放大系数，随T↑而↑）≥1 2）图6.10∵弹性基础梁平衡方程为：EIVIVkvq0

IV∴EIVkvqVdx0 0l 51

取：V(x)ansinnlnx代入上式： l4nxnxnxnanEIansinkansinqsindx0

0llllnn由于an的随意性有式中积分为0，即：

lnllEIankaqn1cosn0

l22n4lq1cosn4ql4n∴an(n为奇数) 4n54EIlnklEI(n)1k/EI()52l2l2u得k4EI代入得 由u4k4EI2l4an4ql4EI(n)5142un44

4qlv(x)5EInsin5n14EInlnxlk(n1,3,5   )

今取一项，且令u=1，求中点挠度

4ql4l4ql ()0.007888EI251424EI410.448ql41qql10u0.008625准确值：() 4EI2k4(21)EI误差为8.5%误差较大，若多取几项，如取二项则误差更大，∴交错级数的

l和小于首项，即按级数法只能收敛到略小于精确解的一个值，此矛盾是由

2于0是近似值。

52

6.8题

(梁)(支)

2 EI M2(x)1202dx2ARl2REI2 EI2 EIMdxAR0RlRqx2xqlx(2)dxAR022lM(x)Rl3ql4l3Rql23216EI2114l31 (1)qlEI616EI6

由最小功原理：vR0解出：R5ql∴6.9题

由对称性可知，对称断面处剪力为零，转角00，静不定内力T0和M0可最小功原理求出：

45q(2l)v中28

384EI3R(2l)48EI 5ql4

28EI0.1785ql4EI

qs12—(OA段)M2M(s)0 22(M0qr/2)2qrsinT0r(1cos)—(AB段)M(s)1 (OA段)M(s)0 —(OA段)  M0T1 (AB段)r(1cos) —(AB段)0最小功原理：

53

VM(s)M(s)dsM0sEIM01EI0qs12M002r1ds1EI20M0qr2/22qr2sinT0r1cosrdV1 TEI202qr2M2qrsinTr(1cos)r1cosrd0 00212M1Tr1qr20022分别得：

M1Tr23qr210024242M00.5388qrM(s)表达式正确 解得：T02.7452qr由

M0 得极值点在st0点,该处极值为M1M0 s1M0 得tg2qr0.7285,0.6296

T0s2由

1M20.5388qr22qr2sin0.62962.7452qr21cos2极值为

0.61qr2区间端点B处

128qr2qr2 MB0.5382MmaxmaxM0,M1,MBMBMmaxMB0.79qr(发生在支撑处)2sin222qr.745221qr 0.79

6.10题

由左右对称,∴对陈断面01上无剪力。

有垂向静力平衡条件：qrsindP

20解得：qP/4r

 54

任意断面弯矩为：

PrM(s)M0sinT0r(1cos)qr21cosd02Pr M0T0r(1cos)sinqr2sin2MM1,r1cosM0T0有最小功原理确定T0和M0

V1M0EI0Pr2MTr(1cos)sinqr(sin)rd0 0022即：M0T0rPrqr2(2V1T0EI02)0

0Pr2MTr(1cos)sinqr(sin)r(1cos)rd0 0020即M(s)(1cos)d0M(s)cosd0

Pr(M0T0r)cosT0rcos2sinqr2(sincoscos)d0 02得：T0r22qr20T04qr/P(与图中假设T0方向相反)

M0Pr(42)8

M(s)PrPrPrPr(42)(1cos)sin 844421cossin Pr

448 55

第7章 矩阵法

7.1题

解：由ch2/2.4题/2.6图计算结果

v1x2122123xx 2ll21222x3122x2，v''(x)16122x llllv'(x)1''46x26xi22 ∵yvyllllj∴B2y3x3x21,DE lll3x2T4y2l3x3xeKBDBdE21dl23xll1l23x2l4EIl20l对称23x3x32ll4EI22l3x1lll2l22EI2112ll

7.2题

解：如图示离散为 3个节点，2个单元

56

K1122l26lE2I2l1222l26l22K232K336l246l22122l26l212l26l2221K116K121l246l21K12212KK22

K2222K32K1111形成KK210242l/226xl/224EIl/2212l/2l/2K22K22K326x2l/24212l/2421K121212K232 2K33312l/246l/2126l/2224v1Ry1z1MR16v20l/2 02z2v3P60z3l/240将各子块代入得：

24l/2212l/236l/226l/2246l/2l/226l/2246l/2l/22l/22划去1、2行列，（∵v1z10）约束处理后得：

144l2122EIll48l212l

12l1212l248l212l482l12l12lv2020z2 12v3Pl0z3457

图7.3 离散如图

eK∵杆元尺寸图7.2（以2l代l），∴不变，离散方式一样，组装成的整

体刚度矩一样K

PTR1yMR1P0R3y0

TTTv1z1v2z2v3z3

约束条件 v1z1v30，划去1、2、5行列得（注意用上题结果时要以2l代l）

3616l2lEI612ll62l6lvP22z20 z304图7.4，由对称计算一半，注意到z20,v30

58

K(1)12l26EIll12l26l(2)6l46l212l26l12l26l6l2K11(1)6K21(1)l4K23(2)K33(2)K12(1)K22(1)

K以2l代l，4I代IK22(2)K(2)32K11(1)(1)K21012l26l12EIl2l6lK12(1)K22(1)K22(2)K32(2)6l46l212l26l18l206l26l1P1K23(2)2P2，将各子块代入得

K33(2)3P36l20126l46l26l6l26lqlRy122v1MqlR1126z1v3qll2kv 2224z22qlv364z3qllMR380由约束条件v1z1z30,R2k2v2入K得

1820l2EI0l6l2

59

20EI，划去1、2、6行列，将k2代2l0126l3ql62l2v26ql2z2 l4v63qll27.3 题

a) 写出各杆元对总体坐标之单元刚度矩阵

0AI012l26I0El(1)(3)KKlA0012Il26I0l06Il4I06Il2IA00A00012Il26Il012Il26Il06Il2I 06Il4IK22(1)(1)K12(1)(3)K21K33(1)K43(3)K11(3)K34以2l代lK22(2)(2)(3)K32K44K23(2)(2)KK(2)(2) K33cos2sint20sincos0220010 ∴Tt0

01000t0011(1)(1)(3)T1 KKTK 60

0A12I0010l21006I0001El010lA010012I02l0016I0l06Il4I06Il2IA00A00012Il26Il012Il26Il06I010l1002I 00100106I100l0014I12Il206IEll12I2l06Il0A00A06Il04I6Il02I12Il206Il12Il206Il0A00A06Il02I(1)K226IK12(1)l04IK21(1)K33(3)(3)(1)K11K43K34(3) (3)K44b）集成总刚度矩阵

(1)(1)K11K12(1)(1)(2)(2)KKKK21222223K(2)(2)(3)(3)K32K33K33K34(3)(3)KK43446I12I6I12I0022llll0A00A06I6I04I02Ill12I6I12IA6IA002l2l2l2l6I3I0A00A02l4l26I3I6I02I6I0ll2lA12IA0022l26I3I0202l4l3I6I0I2ll12Il206Il06I4l23I2l003I2lI12Il206Il12Il206Il6Il6I3IA2l4l23I6I2l6I0lA002I6I0lA002I6I0lA004I

61

c）写出节点位移及外载荷列阵

Tu1固端力：

v1z1u2v2z2u3v3z3u4v4z41234

TTTF(1)T局0Q2Ql012Q2Ql 12FF0

(2)T局(3)T局FTF(1)T总(1)局0QQ201020100QlQlF21212001

0100QF1100Q220001QlQl1212P总P1P2P3P4R4yMR4TQQlQQl0000R4xR1xTy1MR1212212约束处理

(1)(2)K22K22(2)K32(2)K23(2)K332P2 (3)K333P3

7.4 题

由对称性，计算图示两个单元即可。

但A12A/2

 P2取P/2 x,x450



62

KK(1)(1)1EA/201l01010(1)000K11(1)010K21000(1)K12 (1)K22(2)(2)KTKT110011100200110011111EA11122l11111110101EA0000112l101020000001(2)(2)1KK3233(2)(2)1K23K221101000110110(1)(1)K11K12(1)(1)(2)(2)KKKKK12221121(2)(2)KK3233101000001110122EA11002l2211221122结构节点位移列阵为

121212121 2121212u1,v1,u2,v2,u3,v3T其中u1v1u3v30,v20

所以在总刚度矩阵中划去1，2，4，5，6组列，设平衡方程为：

(1)Tx110100u21(1)P/20Ty1EA00000EA0(1)

T11x22l1010u22lu211)Ty(200000020由于实际12杆受力为图示对称情况， (1)所以Tx(21)Tx1P1120.586P1.172tf，

63

对32杆

U2111U21U21U2t 21102U2V2V2Tx3Ty3Tx2Ty2(2)1EA02l100010100000P/2 010u2/2111u/2000202所以23杆内力为

P/20.586tf 1127.5 题

已知：l12l0200cm,l231.155l0231cm,

I12I23I0140cm4,

A12A2312cm2,P6tf,E2106kg/cm2

求：各杆在自8坐标系中之杆端力。

解

001A00A012I/l226I/l012I/l6I/l0000(1)(1)6I/l04I06I/l02IK11K12E0(1)K(1)(1)00A00l0AKK2221012I/l026I/l0012I/l026I/l006I/l2I06I/l4I00K(1)K(1)001A00A22012I/l26I/l012I/l6I/l0000(2)(2)6I/l04I06I/l02IK22K23E0 (2)(2)00A00K32K33l0A012I/l026I/l0012I/l026I/l006I/l2I06I/l4I00(2)(2)(2)t,xx600 tK22将子快K22转移到总坐标下K22T

130A0E012I/l2(2)K2231002l0016I/l0002.6184.4871.363E4.4874.620.787l01.3630.787121.2116I/l0234I00301001

(1)(2)2P2 约束处理后得：K22K227.6题

已知a=2m,b=1.25a=2.5m,i=4000cm4,I=4i受均布载荷 a)求K(1),K b) K(用Kij组成)

(3)

解：由对称

000046/a2Ei/206/a12/a00a0026/a206/a12/a00000026/a2(3)6/a12/aK22(3)00K4246/a6/a12/a20000K(3)(3)K24 (3)K44K(1)000604010b100612I0E()0012bb2010000b100602b00161202bb0601002b61210002 bb001000010610004b0016120bb2 65

06/b206/b400000022(1)(1)6/b012/bK22K212Ei6/b012/b (1)(1)06/b406/bK12K11b2000000226/b012/b6/b012/b(1)(1)K11K12000(1)(1)(3)(3)K(KK)0K022222421(2)(3)K00K33K340

(3)(2)(3)(2)(4)(4)0KKKKKK424244424445(4)(3)000K54K55

补充题

用有限元法计算图示平面板架AB梁在E点剖面的弯矩和弯力，设两梁AB及CD垂直相交于其中点E。两梁长度均为2l，剖面惯性矩均为2I，弹性模量均为E，AB梁能承受的垂直于板架平面的均布荷重为2g，计算时可不考虑两梁的抗扭刚度。（20分）

注：可直接应用下式：

（1） 板架中梁元的节点力与节点位移间关系

Mxi00M04yiNziEI06/lM0lxj0Myj02N06/lzj06/l12/l206/l12/l20000002046/lxi6/lyi12/l2Wi 0xj6/lyj12/l2Wj006/l 66

（2） 坐标转换公式：

xicosyisinWi0xjyjWjsincos0001cossin0sincos0~xi~yi~Wi~ 0xj~0yj~1Wj[解]

1）由对称性可计算1/4板架，取1，2，3节点①，②单元，坐标为图6有关尺寸，外荷取一半如图示 2）计算单元刚度矩阵

000000046/l026/l~(2)~(2)22(1)(1)06/l12/lK33K33K12K12EI06/l12/l(1)(2)KK(1)~(2)~(2)(1)00000K21l0K22K21K22026/l046/l2206/l12/l06/l12/l~KtKt(2)22(2)22T0010010004EIEI0410001006/lll200106/l12/l0016/l06/l00 012/l206/l002012/lKK(2)22(1)224EI0l6/l(1)K12(1)(2)K22K22(2)K32集成总体刚度矩阵：

(1)K11(1)KK21(2)K23 (2)K33(1)(2)2P2 130K22K224EI0即l6/l046/l6/lx2Px26/ly2Py2

24/l2W2Pz2由约束和对称性：x2y20 约束处理：

EI2442W2Pz2ql/2ql/2W2ql/48EI ll 67

计算①单元杆端力：

6/lMy14N2z1EI6/l12/l6/lMy2l22N6/l12/lz2实际AE杆杆端力为二倍

6/l0ql2/l25l/1203/26/l12/l2ql/2ql 2246/l0ql/l25l/126/l12/l21/2W2ql/22MEAyl/12MEAyl/12qlql NN1/2EAy1/2EAy

68

第9章 矩形板的弯曲理论

9.1题（a）已知 a/b=200/60=3.33，q=0.65kg/cm2，k=0（无中面力）

∵a/b>3 且符合荷载弯曲条件 t=1.2cm A6MAt26qb20.6560222406kg/cm 2t241.246qb20.65602 B2812kg/cm2 212t1.224gb A384E1t123(12)gb40.6546030.028436332Et2101.2 70.cm0(b) 已知中面力01.88kg/cm2

b∴u2b120(1u2)6012188(10.32)0.8 3263E1t/122E1t22101.20t1qb20.65602M1(u)0.92590.2kg∴A2424qb21MB(u)0.656020.957186.6kg 1212gb4(1u2)0.65604Af1(u)0.9360.066cm63384D322101.2W1t2/611.22/60.24cm3∴A0MA90.2188563.8kg/cm W0.24A0MB186.6188965.5kg/cm W0.24与9（a）比较可见，中面拉力使板弯曲略有改善，如挠度减小，弯曲应力

也略有减少，但合成结果应力还是增加了。 9.2 1）当板条梁仅受横荷重时的最大挠度max5ql455.5804(10.32) 384D384210623/12=0.091<0.2t=0.2×2=0.4 ∴弯曲超静定中面力可不考虑 2）对外加中面力0800kg/cm2

l120(12)80128000.911.320.5 ∵u262Et22104∴外加中面力对弯曲要素的影响必须考虑（本题不存在两种中面力复合的情

69

况） 3）

上A下6MA6ql20.5802028002()0(u)8006/40.58

tt88452800348kg/cm

1148Et3/1221060.639.3 已知：t=0.6cm，l=60cm，q=1kg/cm，D39560cm4 21u0.91122

1）判断刚性：考虑仅受横荷重时的max=4.27cm

5ql4(1u2)506040.91 363384Et/123842100.6/121∴max/t4.27/0.67.1，必须考虑弯曲中面力。

52）计算超静定中面力（取k=0.5）

1Et4121060.()()0.031 ∵U2(1u)ql0.91160K0.5∴log104U2.49 由图9-7查曲线A得U=3.1

由线性查值法：

f(3.5)f(3)f0(3.1)f0(3)(3.13)0.213(0.1660.213)0.20.204

3.530(3.1)0.2(0.1530.2)0.20.191226.22L600T/t1422.4/0.6704kg/cm2TD()39560()422.4kg

5ql4516040.204f0(u)0.870 ∴中384D38439560max6ql261602020(u)70420.1912137kg/cm2

t80.68mx满足x0,a解，代入微方程 a9.4 设(x,y)fm(y)sinm444q(x,y)2224 x4xyyD 70

设关于fm(y)的常微分方程：

fmIVm(y)2(m2''m4mxq(x,y) （1） )fm(y)()fm(y)sinaaaD为定fm(y)现将q(x,y)也展成相应的三角级数：q(x,y)qm(y)sinmmx，其中 a2mxqm(y)q(x,y)sindx

a0aa本题可看成q(x,y)q0b2lima0cb （→0的极限情景）

∴

qm(y)cmcm(c)coscosmx2aasindxlimam0

2m(c)2mcmlimsinsinm0aaaa将q(x,y)m2mcmx 代入方程（1）右边比较得 sinsinaaam2''m42mc )fm(y)()fm(y)sinaaDaa2pa4mc特解Fm(y) （2） ()sinDamam22m4m特征方程：S42()S()0 S() 成对双重根

aaammymmmm∴齐次解为 fm(y)AmchyBmshCmychyDmyshy

aaaaaafmIV(y)2(由于挠曲面关于x轴对称，所以通解中关于y的奇函数必然为0。（BmCm0）

71

通解：fm(y)AmchmmmyDmyshyFm(y) aaa''(y)0求解。 其中 Am,Dm可按yb/2处2/y20即fm(y)fmumuDmmFm(y)22即：式中ummba

uuuuAmchmDm[2chmmshm]02222Amch解出： DmFm(y)2chum2 AmDm[2umumth] 22∴fm(y)Fm(y)u2chm2Fm(y)mmumumm2thchyyshyFm(y) u22aa2chma2 Fm(y)mumumummmyshy(2th)chy2ch umaa22a22ch2mx2a3mc 将（2）中Fm(y)代入得 fm(y)sinsinaDm44a∴(x,y)mmcpaamyshmy(2umthum)chmy2chumsinmx (x,y)D4mm4chuma22a2aa29.5已知：a3sin

1)查表得：k10.1356,k30.1203,k40.1249

Et板中心垂直于x轴断面应力

max4qak10.13560.5403421060.087cm

x(k3qa2)620.12030.54026577kg/cm2max

t

72

刚固边中点应力：ymaxk4qa262）按荷形弯曲计算：

t20.12490.54026600kg/cm2

max5qa45(10.32)120.5404ab(,)0.091cm0.087 6322384D384210t板中心垂直于x轴断面应力：

6qa260.5402x2()600kg/cm2577

t818结论：按荷形弯曲计算的结果弯曲要素偏大，所以偏于安全。原因是按荷形弯曲计算时，忽略了短边的影响，按（长边a）/（短边b）→∞计算。表中a/b→∞所对应数值，即表示按荷形弯曲计算结果。 9.6设(x,y)sinmnmx(2n1)y显然满足几何边界条件 sina4bx0,a 时=0，但'0 y0 时=0，'0 yb时0，'0

令取一项：Asinxasiny4b

yxyxy则：xA()sin cos,yA()sincosa4ba4ba4bxy2yxy2x2A()2sinsin,y2A()2sinsinaa4b4ba4bxy 2xyA()()coscosa4ba4b22ab2222D2∴V2(1u)dxdy 22x2y2200xyxy

2abDxy222A()()sin2sin22(1u)A(2)(2)2004ba4ba4b a2x2y2x2ycoscossinsindxdya4ba4b2

22D2ab22222ab22A()()(1)2(1u)A()(1)(1)2a4b44ab4AD2222(16ba)(2)128(1u)(ab)32048(ab)23

73

EI''aVy(,y)dy202EIy A2()4sin2dy204b4bEI24b2 A()(1)24b2EIA23 (2)1024b3A2316b2a2221281ab22EIa32VD2048(ab)3 bbababUq(x,y)dxdyqAsin0000xasiny4bdxdy =Aq4ab

2(22)(VU)A32223D(16ba)(2)128(1u)(ab)2EIa(2)3A1024(ab) -4qab(22)2 =0

解出：

q(ab)4(4(22)5)1024AD[(16b2a2)2(2)128(1u)(ab)2]2EIa3(2)7.84qa4b4 =D[(16b2a2)2(-2).6a2b2]2.28EIa3xy7.84ga4b4sinsina4b(x,y)22222D[(16ba)(-2).6ab]2.28EIa3

74

第10章 杆和板的稳定性

10.1题

l350（a）取板宽bemin,bmin,7570(cm)

55（但计算liA中A的带板取75）

面积Ai（cm2） 带板 立板 翌板 ∑ 140 10×1 6.5×1 156.50 A 对参考轴的静矩 AiZi(cm) 3惯性矩 AiZi2自身惯性矩 i0(cm4) (cm4) 0 10×（5+1） 6.5×（11-0.5） 128.25 B eBA0.82cm21×70×23 121×1×103 10×62 1216.5××6.5×13 2 10.5121076.63 130.54 C=1207.17 0 2BICAeCA1102.1cm4 lI350A1102166.5136100（属大柔度杆）

crE2E/222106/13621067（kg/cm2）

（直接由查图时只能准确到100kg/cm2，∴cr1100 kg/cm2） （b）

ll取代板宽bemin,b20040(cm)，

555求面积A时取beb50

75

面积 距参考静距 惯性矩 （cm2） 轴（cm） （cm3） （cm4） 带板 球扁钢 40×0.6 8.63 0 6.59 0 56.87 自身惯性矩 （cm4） 1/12×40×0.63 ∑ 32.63 A 扶强材两端约束可视为简支 8.63×85.22 6.592 56.87 374.78 85.94 B C=460.72 I=C-B2/A=361cm4 lI200A36132.6361.13100（属于小柔度杆）

cryy224E224002400265.424210262087kg/cm2

（直接查图F-1可得cr2100kg/cm2） 10.2题

∵lr5005.3294

查附表曲线得cr1800kg/cm2 而实际应力为P/A 安全系数为ncr(P/A)180042.4301032.54

10.3 题

1）写出两杆公共节点的转角连续方程 Ml*1(u)Ml13EI

13EI∵M≠0（M=0表示失稳不属于讨论之列） ∴钢架稳定方程为：

1*(u*)l1IlI其中u*1lT 2EI当I1I,l1l时有

311()1 ***2u2utg2u

76

1*(u*) -1.07 -1.04 3.710 -1.0039 -1.0011 -.9982 3.725 3.726 3.727 -.995 3.728 -.9925 3.729 2u*（>） 3.701 上表用线性内差法求得当*1(u*)1时，u*1.8631为最小根

2u*∴T2E()EI3.7263EIl213.8859EIl2l

2）如图由对称性考虑1，2节点转角方程：

M1l3EI**M2l**1(u)6EI2(u)0M

1l*(u*)M2l**MlMl16EI23EI1(u)213EI26EI由于失稳时，M1 ，M2不能同时为0,这就要求上式方程组关于M1 ，M2系数行列式为零，即简化后有稳定方程：

2*(u*) *12(u*)*2(u*) 2*Il10 即：

13I1l

*2*2*Il12(u)2*1(u*)13I1l10.4题

立截面突变处设弹性支座，列出改点转角连续方程

M(2l2)3E(8I*(u*vMl2**11)1(u2)v 2)2l3EI2l 2式中：u*l12EI2l1T2u*T(2u*2EI1T128EI222 2)2l2 2

77

（1）

*u2l2T** 2u12u2EI22MTvMTv（2） 0

(2l2)l2虚设弹性支座反力R(1) ( 2 )简化关于M,v的联立方程组：

ll**M[21*(u1)21*(u2)]v(3)02l212EI23EI2

MvT0失稳时M，v不能同时为零，故其系数行列式为零。

l2****(u)4(u) 311122l20 即：12EI2 1 T 化简后稳定方程为：

3122u*3 tgx22tg(x) **22tg(2u2)tg(2u2)2u2*2*)min1.705（见下说明） 由图解法或数值解法可得其最小根x(2u2(1.075)2EI2EI22.91∴TE2 2ll22说明：

*如下图，最小根x2u2必然在区间（

2,2）内，即（1.57，2.22）

78

再由数值列表： x tgx 1.6 x 21.70 -7.6966 -7.3202 0.9511 1.705 -7.4065 -7.3979 1.0012 1.710 -7.1372 -7.3202 1.0256 1.8 -22tg y1y2 =1的对应x值为： y21.7051.70*x2u21.70(10.9511)1.70488

1.0020.951110.5 题

1）计算有关参数：v10,v2查图由线性内差法求解y112E2(1)B0.5

12.55跨 2.5纵骨作为刚支座上连续压杆的欧拉应力

∴(v1,v2)3.36，n=02EiAl2221061250.05250261kg/cm2

2）求横梁对纵骨的支持刚度：

B4横梁临界刚度

Kcr4KEIb463.3621050005050041019.kg/cm

4Eil3xj()n510xj(10)0.30.342106125025035673kg/cm

可见KKcrcr0

3）计算弹支座上5跨连续压杆的e

xj()I4lB3b13.362.50.5150000.0654 Bi55125043由附图G-4查得0.52

E00.52613205kg/cm2y2400kg/cm2 需要进行非弹性修正

4）逐步近似法确定cr，令xj()0.0654

79

由线性内差法计算：

21002050cr2050(0.06540.0598)2100kg/cm2y

0.07000.0598 （表F-1）（xj()） xj() 0 cr0 查cr(kg/cm2)  1600 0.8888 5479 0.2920 0.024 0.0213 1800 0.7500 4623 0.34 0.040 0.0300 2000 0.5555 3424 0.5841 0.088 0.0488 2050 0.4982 3071 0.6675 0.120 0.05978 2100 0.4375 2697 0.7786 0.160 0.0700 10.6 题 纵式板格尺寸：a=120，b=70，∴a/b120/701.71∴稳定系数K4

令crk2Dbt2y

k2Et2/12y 即：2b(1u)2b(1u2)24007020.91y212121.626 ∴tk2E422106t1.28cm

10.7 题

已知l=220cm，t=1.2cm，板cry2400kg/cm2，求纵骨间距b

k2Et2/124221061.22k2D65.9cm 1）cr2 ∴b2(1u)1224000.91btcr2）要求骨架的临界应力不得小于板的临界应力 即：cr2EilA2板Ecry

式中i是纵骨连带板的惯性矩，A=（球扁钢面积）+（带板面积）

l2A2202(11.1565.91.2)24004530(cm) 解出：i2y26E3.1421010.8 题

a）组合剖面惯性矩

80

I29.419.52Mmax10.651832012.6cm412ql2/8402002/82105(kgcm)

Mmax2105max994(kg/cm2)I2012.6h10 取一半笠板，宽94/2，长2m。

设其承受max994kg/cm2的单向压应力 其边界可视为三边简支，一边完全自由。 由于长宽比a/b=200/4.7=42.5〉1

∴稳定系数k=0.426 ∴cr84(100tb)284(1001/4.7)238026kg/cm2 ∴板的cr取为y2400kg/cm2，今max994kg/cm2cr2400kg/cm2 故翌板稳定性足够。

b）腹板在纯弯曲正应力（2）作用下计算图形如下

a/b=200/18=11.1〉〉1 取k=24

24221060.6522k256571kg/cmy2bt180.9112

bMmax()221059而max4kg/cm2y(安全)2012.6I0cr2Dc）腹板在建应力作用下稳定计算图形

81

取NNmaxql402004000kg 22剪应力沿腹板高度的分布规律为：

*NSZ4000(9y)(y)19.49.5(9y)0.65Ib20120.652 354y2(y0时max354)

平均191922(y)dy(354y)dy327kg/cm9090由于腹板的长宽比相当大，故可以近似公式：

100t2650cr1070()1070()213952kg/cm2(y/2)

b18而平均327kg/cm2y/21200kg/cm2 稳定性足够。

d）腹板在正应力和剪应力共同作用时：

查附录H-1 No3 计算有关参数：

ab200/1811.111/4/3272.73219620.22361122240.22362.732312214.81

k2423262E2102i(t)k(0.65)214.8134910(kg/cm2)21812(1)b120.911cri232.7323i29478cr1cr10798kg/cm22.73232.733491029478kg/cm2

82

01cr/cr29478/565710.521 0cr/cr10798/139520.744

∴点（0.52，0.77）必定在稳定趋于不稳定区的交界上，过此点he（0，1）与（1，0）作出凸形边界如图，阴影地区为稳定区。

本题：

0max/cr4/565710.016 0max/cr354/139520.025点A（0.016，0.025）显然落在稳定区内，可见此工字钢腹板在联合受力情况下，其稳定性也是足够的。

I2I1I(x0.2l)x''x,va1()2sin,I(x)10.2l10.9取v(x)a1sin lllI0 (0.2lxl/2)10.2lIIV2EI1210.2l2022xE0.5l''2xa1sindx0.2lI2vdxl2l440.2l0.5l3x22x22x EI00.4a1sindxa1sindx 00.2l2llll 0.7736EIal20131l'2Tl2T222xUTvdxa1cosdxa1 0022l4llTa1 由(VU)a10得1.5472EI0a1l2l322 83

由于a10解出TE9.7213EI0/l2

10.10题

yx 取(x,y)Asin

ba

2xyAcosxaab22AysinxxaabAsinx yba220y2x1AcosxyaabD20a22222222(1)dxdy22220xyxyxyb∴V42221Dab2y2x2x A2sin2(1)A2cosdxdy002aaabab22D2ab22x2x Aysin2(1)cosdxdy002abaaa22D2ab3 A(1)ab2aba6

DA22 2a2b(1)2b6a 84

21abUxtdxdyx0022001 A22bxta12 xtabxA2y2cos2dxdy

aab22DA由A0 得a2b1A2bt 6a2b6ax∵A0 ∴解出

6D2b12Db2612Dx22k222bt6abbtabt式中k

61ba222

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