三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结

解题思路及知识点总结

一、解题思路

（一）解题思路思维导图

（二）常见题型

1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 解题思路及步骤 化为同角齐次式 除以余弦化切 代入求值 注意事项 把式子每一项化为关于正弦、余弦的齐次式 分子、分母同除以余弦最高次幂，将式子化为正切，若不是分式，可以通过除1=sin2cos2化为分式齐次式 将正切值代入化简求值 3 ，则cos22sin2（ ） 44816(A) (B) (C) 1 (D)

25252522cos4sincos14tan【解析】cos2sin2故选A．

sin2cos2tan2125典例1：（2016年3卷）若tan

2.三角恒等变换给值求值问题 解题思路及步骤 化简 确定关系 注意事项 应用诱导公式等把条件或结论尽量化简 通过已知角（或其两倍）和未知角（或其两倍）之间的和、差运算消掉变量，看是否得到用已知表示未知 求值 的整数倍，若是则可以相互转化 2根据未知角与已知角关系，用已知角（看成一个整体，不能分开）表示未知角 通过诱导公式、二倍角公式将未知角三角函数值转化为已知角三角函数值 1

π3典例2：（2016年2卷9）若cos，则sin2=（ ）

45（A）

7 25

1（B）

51（C）

5 （D）7 2573π2π【解析】∵cos，sin2cos22cos1，故选D．

2545243．图象法求三角函数yAsinxA0，0性质 解题思路及步骤 化为asinxbcosx 化为yAsinx 画图象 注意事项 若表达式不同角或二次式，一般需用二倍角公式化为同角或降次 用辅助角公式将第一步所得式子化为yAsinx形式 用“五点作图法”根据需要作出函数部分图象，步骤是：（1）求周期T2T求周期起始点横坐标x；（3）写出相邻点横坐标，往右为x，4T往左为x，以此类推，画出能解决问题的图象部分．注意：∵若4则根据yfx与y-fx图象关于x轴对称关系画出其图A0，0，象；∵若0，则根据诱导公式转化为大于零情况解决 根据图象写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质 π典例3：（2017年3卷6）设函数f(x)cos(x)，则下列结论错误的是（）

38πA．f(x)的一个周期为2π B．yf(x)的图像关于直线x对称

3ππC．f(x)的一个零点为x D．f(x)在(,π)单调递减

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πy【解析】函数fxcosx的图象可由ycosx向左

3π平移个单位得到，如图可知， 3O-π6fx在,π上先递减后递增，D选项错误，故选D.

24．复合函数法求三角函数yAsinxA0，0性质 解题思路及步骤 化为asinxbcosx 化为yAsinx 写出外函数满足条件 注意事项 若表达式不同角或二次式，一般需用二倍角公式化为同角或降次 用辅助角公式将第一步所得式子化为yAsinx形式 把原函数看成由内函数ux和外函数yAsinu构成的复合函数，对称轴由u写性质 ；（2） x2kkZ求得，对称中心横坐标由ukkZ求得、单调增区间由22ku22kkZ求得，单调减区间由2转换为内函数满足条件

2ku32kkZ求得等等．注意：若不满足A0，0条2件，则根据复合函数“同增异减”原则确定单调区间 将以上方程或不等式中的u用x代换，并解出x的值或范围 2

写性质 根据解出x的值或范围写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质 5．求三角函数yAsinxBA0，0,解题思路及步骤 求A和B 求 求 解析式 2注意事项 11ymaxymin，ymaxymin， 222先求周期T，再由求T求 求解析式 典例4：（2015年1卷8）函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（ ）

代入已知点坐标，根据的具体范围求出，一般代入最值点，若代入与yB的交点，注意区分是在增区间还是减区间上 写出解析式 1313,k),kZ（B）(2k,2k),kZ 44441313（C）(k,k),kZ （D）(2k,2k),kZ

44441+42【解析】由五点作图知，，解得=，=，所以

45+342（A）(k13f(x)cos(x)，令2kx2k,kZ，解得2k＜x＜2k，kZ，故单调

444413减区间为（2k，2k），kZ，故选D. 考点：三角函数图像与性质

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6．三角函数图象的平移与伸缩变换 解题思路及步骤 写出变换法则 代入表达式 注意事项 把变换前的函数看成抽象函数yfx，根据变换法则写出变换后的抽象函数 根据原函数解析式写出变换后的解析式，例如：yfx=3sin2x单位后得函数yfx向右平移个642x3sin2x=3sin，其他变换都按这44632π)，则下面结论正确的是 3π个单位长度，得6π个单位长度，12个方法确定变换后解析式 典例5：（2017年1卷9）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到曲线C2

3

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线C2

【解析】先变周期：

1π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，26π1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，

1222ycosxsinxysin2xysin2x223先变相位：

sin2x

12222ycosxsinxysinxsinxysin2x

22633选D．

7.解三角形知一求一问题 解题思路及步骤 边角互化 化简方程 注意事项 通过正弦定理、余弦定理、三角形内角和、诱导公式等将题目中复杂条件统一为边或统一为角，达到消元目的 化边注意余弦定理应用或因式分解化简方程，化角注意两角和与差公式的应用，在约去同角三角函数值时要明确它是否为零 求边注意整体代入，求角要先写出角的范围再根据三角函数值写出角的值 解方程 8.解三角形知三求一问题 解题思路及步骤 画出草图 列方程组 解方程 典例6：（2017年2卷17）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

注意事项 根据条件尽量画出符合条件的图形，并标注已知条件，观察已知三个条件属于什么类型 根据题目条件列方程，一般地，∵已知三边、已知两边及夹角用余弦定理；∵已知两角（等价于已知三个内角）及一边用正弦定理；∵已知两边及一边的对角用正弦定理和余弦定理都可以，这种情况要注意判断是一个解还是两个解.若涉及多个三角形，则抓住两个三角形公共边、公共角、互补角、互余角、角平分线性质等列方程 边的方程注意整体代入进行消元，求角要先写出角的范围再根据三角函数值写出角的值 sinAC8sin2B． 2(1)求cosB;

(2)若ac6，△ABC的面积为2，求b.

1cosB2B84(1cosB)．因为sin2Bcos2B1， 解析:（1）依题得sinB8sin2222所以16(1cosB)cosB1，所以(17cosB15)(cosB1)0，得cosB1（舍去）或cosB15. 17

4

178118，因为S△ABC2，所以acsinB2，即ac2，得ac.

217221715a2c2b215，即a2c2b215，从而(ac)22acb215， 因为cosB，所以

172ac17即3617b215，解得b2．

9.解三角形知二求最值（或范围）问题

（2）由∵可知sinB解题思路及步骤 画出草图 最值化边或化角 求最值 注意事项 根据条件尽量画出符合条件的图形，并标注已知条件 通过正弦定理最值式子化边或化角表示，若能化成一边表示，则用函数求最值，若化为两边表示则用基本不等式或重要不等式求最值；若化角表示，先用内角和化为同一个角，再用辅助角公式转化为函数y=Asin(ωx+φ)的最值问题 化边用基本不等式求最值时要写出取得等号的条件，化角用三角函数求最值时要先求出角ωx+φ的取值范围

典例7：(2013年2卷17)∵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB. (1)求B.

(2)若b=2，求∵ABC面积的最大值.

【解析】(1)因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB， 所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB， 因为sinC≠0，所以tanB=1，解得B=(2) 由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos

. 4，即4=a2+c2-2ac，由不等式得a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时，取等号，412×(4+22)=2+1.所以∵ABC所以4≥(2-2)ac，解得ac≤4+22，所以∵ABC的面积为acsin≤

244面积的最大值为2+1.

典例8：（2011年1卷16）在ABC中，B60,AC3，则AB2BC的最大值为 . 令ABc，BCa，则由正弦定理得 【解析】

acACsinAsinCsinB32,c2sinC,a2sinA,且AC120， 32AB2BCc2a2sinC4sinA2sinC4sin(120C)＝2sinC

4(313cosCsinC)4sinC23cosC27sin(C+)(其中tan) 222当C90时，AB2BC取最大值为27.

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二、知识点总结 （一）知识点思维导图

（二）常用定理、公式及其变形

1.同角三角函数关系：

1sin2cos21sin21cos2,cos21sin2；

2

sintancossinsintancos,cos．

tank与角的三角函数关系“奇变偶不变，符号看象限”，这句话是对变化前的函数2和角来说的. 例如在三角形，∵ABC，∴ABC

3.两角和与差公式：

sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；

2.诱导公式：对于角

tan()

tantan.

1tantan6

4.二倍角公式： （1）升幂公式：

sin2sincos，cos2cos2sin22cos2112sin2，tan2（2）降幂公式：cos21cos21cos2 ,sin2222tan1tan2

5.辅助角公式：asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决 定，tanb ). a

6．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 性 质 函 数 ysinx ycosx ytanx 图象 定义域 值域 R R xxk,k 21,1 当x2k2k时，2 1,1 当x2kk时， ymax1；当x2k R 最值 ymax1；当x2kk时，ymin1． 2 偶函数 在既无最大值也无最小值 k时，ymin1． 周期性 奇偶性 在2k单调性 2 奇函数  奇函数 ,2k 22k上是增函数；在 32k,2k 22k上是减函数． 2k,2kk上是增函数；在2k,2k k上是减函数． 对称中心k,0k2对称轴xkk 在k,k 22k上是增函数． 对称中心k,0k 对称性 对称轴xk2k 对称中心无对称轴 k,0k 2

7．函数ysinx0,0的性质： 振幅：，周期：

7

2，频率：f1，相位：x，初相：． 2

8．函数ysinx变换到函数yAsinx的两种途径 ∵的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数

ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．

1倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍

1倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），

∵数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的得到函数ysinx的图象．

abcab，sin，sinCc； 2R；化边变形：sinsinAsinBsinC2R2R2R化角变形：a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；比例关系：a:b:csin:sin:sinC.

9.正弦定理：

22222222210.余弦定理abc2bccosA；bca2cacosB； cab2abcosC.

222acbabcbca边角互化变形：cos，cosB，cosC

2ac2ab2bc

22222211.面积公式：（1）S111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

2221（3）Srabc（r为三角形内切圆半径）

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