高一数学基础知识讲义(2021)——基本初等函数

第三讲 基本初等函数

知识要点：

一次函数与二次函数知识点的回顾

一 次 函 数ykxb 定义域 值 域 相 关 概 念 性 质 R R k叫做直线的斜率 1）k0，是增函数，k0，是减函数。 b叫做直线在y轴上 的截距 2）当b0，一次函数变为正比例函数是奇函数；当b0，函数既不是奇函数也不是偶函数。 （表一）

二 次 函 数yax2bxca0 定义域 值 域 b，顶点2a性 质 a0，图像开口向上，对称轴方程xR ymin4acb2 4ab4acb2, 4a2a 单调性：在对称轴左侧递减右侧递增。 a0ymax4acb2 4a，图像开口向下，对称轴方程xb，顶点2ab4acb2, 4a2a 单调性：在对称轴左侧递增右侧递减。 （表二）

指数与指数函数

⑴a的n次方根的定义：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1,nN*

当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根是负数表示为

na；当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示

n为

a。

负数没有偶次方根。 0的任何次方根都是0。

式子

⑵n次方根的性质：①当n为奇数时，

nnna叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数。

ana；当n为偶数时，

a,a0, anaa,a0;

②

⑶

amnaa

nn分

1mn指数的意义：amnnama0,m,nN,n1；

a0,m,nN,n1

a

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义。

⑶有理数指数幂的运算性质：a0,b0,r,sQ

①arasars ②(ar)sars ③abarbr

⑷指数函数及其性质

①一般地，函数yaxa0,且a1叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。

②通过描点我们得到指数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：

r

0a1 a1 图 象 定义域 值 域 性 质 3）当x0,0y1；3）当x0,y1；x0,0y1 x0,y1 R 0, 1）过定点（0，1），即x0,y1 2）在R上是减函数 2）在R上是增函数 一点建议：学好函数一定要对函数的各个性质非常了解，死记硬背是不能达到掌握的要求的，那么在这里给同学们一点建议，准确掌握函数的基本图象，从图象中挖掘函数的相关性质。

对数与对数函数

⑴一般地，如果axNa0,且a1，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：xlogaN其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

根据对数的定义我们可以得到对数与指数间的关系：

当a0,a1时,axNxlogaN

这时我们可以看出负数和零没有指数，且loga10,logaa1。

⑵对数的运算性质：如果a0,且a1,M0,N0，那么

①logaM•NlogaMlogaN;

②loga

③logaM

⑶指数函数及其性质ylogax

①一般地，函数ylogaxa0,且a1叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域0,。

②通过描点我们得到对数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：

nMlogaMlogaN; NnlogaM

0a1 a1 图 象 定义域 值 域 性 质 3）当0x1,y0；3）当0x1,y0；x1,y0 x1,y0 0, R 1）过定点（1，0），即x1,y0 2）在0,上是减函数 2）在0,上是增函数 指数函数与对数函数是高中阶段的两个很重要的函数，在高考中历来都有题目出现对这两个的函数性质要做到掌握精准，运用熟练。

高考要求: 1）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性

质，掌握指数函数的概念、图象和运算性质。

2）理解对数的概念，掌握对数的运算性质和对数函数的性质和

图象。

3）能够利用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

例题讲解

夯实基础

一、选择题

1）集合Ayyx22x3,xR,Byy2x23x1,xR则AB等于（ B ）

1A.1,5,2,3 B.yy2 C.yy2

81D.yy

8

2）若函数fx（ C ）

161616A., B., C.0,

99916D.0, 9x1的定义域为2ax3ax43R，则a的取值范围为

二、计算 51）ab3ab3 533 ab3a2b231 (ab3ab2

)5 19 a2b102）xy2112

x3x3y3y3112112=(x3y3)(x3x3y3y3)2112x3x3y3y311=x3y3三、比较大小 1）已知1.4m1.4n,则m___n 3）已知0.6m0.6n,则m___n 5）0.80.3___0.80.2

11 2）m3n3，则m___n 4）1.72.5___1.73 6）0.80.3___4.90.1

参：>,>,<,<,>，>.

四、设y14,y28

y121.8,y221.44,y321.5

y2x是增函数 ，y1y3y2。

0.90.481,y321.5，比较y1,y2,y3的大小。

解：y121.8,y2230.48,y321.5

7五、计算lgxlg142lglg7lg18中的x。

3

7解：lgxlg142lglg7lg18

37lg14lglg7lg183914749 lg lg118x1

六、求y2•3x9x1的值域。

而 t0,01,y1,y|y1。

解：设3xt0，y2tt21(t1)2，

2

能力提升

1．求ylogax23x4的单调区间。

1）0a1， ylogau为单调减函数，

ux23x4在,1，单调递减，复合后,1为增区间，

ux23x4在4,，单调递增，复合后4,为减区间。

2）a1，ylogau为单调减增函数，

ux23x4在,1，单调递减，复合后,1为减区间，

ux23x4在4,，单调递增，复合后4,为增区间。

2．已知函数ylog1(x2ax3a)在区间2,单调递减，求a的取值范

2解：先求定义域x23x40x1或x4，

由于底数a没有明确范围，要以底数a分类。

设ylogau,ux23x4，

围。

解：设x2ax3au，对称轴ux2ax3au的增区间，

a，2底数为

1，应当按2

只需

4a4。

3．若函数f(x)logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，求a。

解：由对数性质可知logaa3loga2a， a(2a)3，

12a8a3,8a21,a2,a

84a2,a4；由定义域，当x2时4-2a+3a>0，a4。 2

a0a

2。 44．已知函数f(x)

11x， log2x1x（1）求函数f(x)的定义域；

（2）讨论奇偶性；

（3）当x(0,1)，讨论单调性。

x0解：（1）由1x，解得定义域为(1,0)(0,1)。

01x

11x11x （2）f(x)log2(log2)f(x)， 函数f(x)为

x1xx1x奇函数。

（3）在区间(0,1)内，任取x1,x2(0,1)，且设x1x2，

则f(x1)f(x2)

由



0） 因为是奇函数，所以f(x)在（1，单调递减。

f(x1)f(x2)0，在(0,1)单调递减，

1x111x21log2log2 x11x1x21x21x21x1(1x2)(1x1)(1x1)(1x2) 1x21x1(1x2)(1x1)1x1x2x1x21x2x1x1x22(x2x1)0

(1x2)(1x1)(1x2)(1x1)高一数学基础知识讲义（2021）——基本初等函数

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