小升初衔接教材数学

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小升初数学衔接讲义

第一章 计算问题...........2 第二章 解方程.............6 第三章 分数应用题.............8 第四章 百分数的应用.............10 第五章 长方体与正方体.. ......12 第六章 圆柱与圆锥...........15 第七章 行程问题.........17 第八章 工程问题.........21

第九章 比和比例统计与概率.........24 第十章 图形与面积.........29 第十一章 解决问题策略......... 32 第十二章 有理数及其计算......... 34 第十三章 字母与一元一次方程......... 43

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第一章 计算问题

一、直接写出得数

111－0.1÷0.1＝ 0.33＝ ( ): ＝

9944×7÷×7＝ 480% 125%

7733159111－ 0 3－（＋）553714727

二、基础计算

按照运算法则，将数字、位置、计算顺序合理变化，算出结果。

分数计算步骤：1、将带分数、百分数、小数化成真分数、假分数；2、将除法变成乘法；3、约分、计算，得出结果。

551、75%1120%

36

1342、234

785111711 /3、3737372221三、复杂计算

121＋344 1、

35112.5－847212＋37110 2、161351112－334143、

1＋112＋13＋14

四、简便计算

例1、调整算式

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1、999992199999 2、19 3、

例2、凑整

2737= 22、57=

562727(8119) 31317317113 15815161521、

例3、约分 1、238238 2、 3、 4、

例4、分解法 1、166 2、194

例5、借还法 1、

例6、裂项法 运算定律（a、b为非零整数，a小于b）

22222 392781243238= 239111222333999=

100200300900201420152013=

20142015112243648=

23466981211 204141 195文案大全

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1111111ab11 ()

a(a1)aa1ababbaabab1、 2、

111 3557201120139111310110345566750515152

例7、分组

1、198819871986198519841983198219814321

2、0.10.30.50.70.90.110.130.150.170.190.21 3、(1

0.99

1818181818)(32)(53)(9749)(9950) 5151515151五、课后作业

1、口算 343546＋621511.250.8 77 5 911（5）（2.5＋0.25）4 83.14 99

110.42－0.32 0.1258 ＋ 43

2、分数计算

12913112－（3＋2.25－3.6） 1－0.3－ 4516224

1312521＋（＋）23 3＋2－4484 717169

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71718－4－（3＋1.75）（0.50.70.45）（1.50.73）949

8143 1－ 67.5＋0.7531＋75%1.541525

3、简便计算

22552012(97)() 79792012201220112013

282456770111514141)］ （1）［4(4568766656216128426213157

1111153219 (4.853.66.153)1.75(1) 122030904185321

1111111()() 111313151517171919211112

111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)

334499

111112＋＋23＋＋34＋＋＋78＋

344556910文案大全

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第二章 解方程

一、整数方程

解法介绍：

1、去括号：先将括号前或后面的数要和括号里的每一项相乘，再将括号前面的符号与括号内每一项的符号结合后判断所得项前面的符号。

2、移项：以含有x的项为参考，同加移小，同减移大，一加一减移减。

3、去系数：利用同乘或同除的方法将未知数的系数变成1，进而得出方程的解。 例题讲解

(100-5x)÷x＝15 (0.6x+420)÷(x+20)=3 3(4x-2)-2(3x+3)=9-8x

二、分数方程

解法介绍：

分数方程中多会同时出现正分数、假分数、带分数、百分数、小数相乘除，这时我们按照四步走策略:1、将带、百、小数等化成真分数或假分数； 2、将除法变成乘法； 3、约分计算；

4、去系数，得出结果。 例题讲解

33(x3)0.6＝20% 20%(x4)50%x0.1 443＝2 51＋x6

三、比例方程

解法介绍：

1、利用比例性质将比例方程变成整数方程或分数方程，然后再进行解答。 2、两个分式相等，利用交叉相乘原则变换后再进行计算。 例题讲解

23311＝:3(x－2)＝3:2 (x＋0.6):2(x＋12.5%)＝1 4(x＋3） 4x＋59x－2525

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x1x2116 x ＝20.4:(x＋)＝22（2x256）

四、课后作业

7(4－x)＝9(x－2)

(3x4－10)5－(x－30)4＝40

(1－47)x（1－40%）x－18

(3x2):(2x＋3)＝4:7

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231.8x6(1.50.4x)8.7 76x0.5(23x2.5)3.2

23(x9)12(x4)17 3＋xx－1x2x0.9－0.5＝0 0.2－10.5＝3 实用文档

第三章 分数应用题

1.在分数3/17的分子、分母上，同时加上一个相同的数，可以使分数约简为1/3，加上的数是多少？

2、有一个分数，将它的分母加上2，得到这个分数是_____________. 3、和式

4、将2012减去它的去余下的

73；如果将它的分母加上3，则得到。那么94111111去掉两项__________________后使余下的项的和等于1. 24681012111，再减去余下的，再减去余下的，…,以此类推,直到最后减

3241，最后的得数是多少？ 2012

5、有甲、乙两袋大米，甲袋中的大米比乙袋中的多20千克，把甲袋中大米的1/3到进乙袋，乙袋中的大米就比甲袋中的大米多10千克.甲袋中原有大米多少千克？

6、甲放学回家需走10分钟，乙放学回家需走14分钟.已知乙回家的路程比甲回家的路程多1/6，甲每分钟比乙多走12米，那么乙回家的路程是几米？

7、加工一批零件，原计划每天加工15个，若干天可以完成.当完成加工任务的3/5时，采用新技术，效率提高20%.结果，完成任务的时间提前10天，这批零件共有几个？

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8、加工一批零件，原计划每天加工30个.当加工完1/3时，由于改进了技术，工作效率提高了10%，结果提前了4天完成任务.问这批零件共有几个？

课后作业：

1、分数1985/1987的分子、分母同时加上同一个数后，所得的分数等于19/1990，加上的数是 。

1222、将20121107减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…,以此类推,直到最

3572后减去余下的，最后的得数是多少？

20121107

3、一个长方形的周长是130厘米，如果它的宽增加1/5，长减少1/8，就得到一个相同周长的新长方形.求原长方形的面积.

4、甲、乙合作完成一项工作，由于配合的好，甲的工作效率比单独做时提高1/10，乙的工作效率比单独做时提高1/5，甲、乙合作6小时完成了这项工作，如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？

5、有两堆煤共重8.1吨，第一堆用掉2/3，第二堆用掉3/5，把两堆剩下的合在一起，比原来第一堆还少1/6，原来第一堆煤有多少吨？

6、两堆苹果一样重，第一堆卖出2/3，第二堆卖出50千克，如果第一堆剩下的苹果比第二堆剩下的苹果少，那么两堆剩下的苹果至少有多少千克？

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第四章 百分数应用题

1、甲、乙两堆煤共重78吨，从甲堆运出25%到乙堆，则乙堆与甲堆的重量比是8：5.原来各有多少吨煤？

2、某商品每件成本72元，原来按定价出售，每天可售出100件，每件利润为成本的25%，后来按定价的90%出售，每天销售量提高到原来的2.5倍，照这样计算，每天的利润比原来增加几元？

3、某电机厂计划生产一批电机，开始每天生产50台，生产了计划的1/5后，由于技术改造使工作效率提高60%，这样完成任务比计划提前了3天，生产这批电机的任务是多少台？

4、张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元.张先生向商店经理说：\"如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件.\"商品店经理算了一下，如果减价5%，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润.问这种商品的成本是多少元？

课后作业

1、二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，一班少先队员占本班人数的75%，二班少先队员占本班人数的5/6.一班少先队员人数比二班少先队员人数多几人？

2、某公司向银行申请A，B两种贷款共60万元，每年共需付利息5万元.A种贷款年利率为8%，B种贷款年利率为9%，该公司申请两种贷款各多少万元？

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3、大瓶酒精溶液是小瓶酒精溶液的2倍，大瓶酒精溶液的浓度是20%，小瓶酒精溶液的浓度是35%，将两瓶酒精溶液混合后，酒精溶液的浓度是多少？

4、某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元.从产地到商店距离400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元.如果不计损耗，商店要想实现25%的利润，每千克的售价是几元？

5、某体育用品商店进了一批篮球，分一级品和二极品.二级品的进价比一级品便宜20%，按优质优价的原则，一级品按20%的利润定价，二级品按15%的利润定价.一级品篮球比二级品篮球每个贵14元.问一级品篮球的进价是每个多少元？

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第五章 长方体和正方体

知识点1、长方体最多有2个面是正方形，最多有棱相等。

延伸：已知长方体的棱长和与一条棱长，当另外两条棱相等时，长方体体积最大。 例1、一根长为72厘米的钢筋焊成一个高为8厘米的长方体框架，这个长方体体积最大是( )。

知识点2、长方体表面积（长方体六个面的面积和）

延伸：在长方体上切（两份）、挖（长/正方体）、叠加后，它的表面积的变化。 将一个长为5，宽为4，高为3的长方体木块切成两个相同的长方体后，表面积增加了（ ）；若切成棱长为1的小正方体，则表面积和为（ ）。

例2、在棱长为4厘米的正方体每个面的整中间挖出一个棱长为1厘米的小正方体后，表面积增加了（ ）平方厘米。（课后思考：如果原正方体棱长为3呢？）。

例3、一个长为8，宽为7，高为6的长方体木块，切出一个最大的正方体后，剩下部分的表面积是（ ）

知识点3、长方体体积（V长abh）

（ab）(ah)(bh)S底S前S侧 延伸：V长S底hS前bS侧a；V长V长例1、一根长4米的方木，量得其横截面为20立方分米，这根方木体积是（ ）立方米。

例2、一个长方体的前、侧、底面面积分别为15、21、35立方厘米，其体积为（ ）立方厘米。

知识点4、长、宽、高的变化对长方体表面积、体积的影响。

例1、一个长为5，宽为4，高为4的长方体，宽增加2，则表面积增加（ ）。 例2、一个长方体高若增加3厘米就变成了正方体，表面积会增加96立方厘米，那么长方体体积是（ ）立方厘米。

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知识点5、操作题（测体积、制作长方体等）

测体积：将不规则物体放入水中，其排开水的体积就是它的体积。

例1、一个长方体容器中（无盖）成有适量的水，容器底面积为60立方厘米，放入10个鸡蛋后水面上升了2厘米，问平均每个鸡蛋的体积是（ ）立方厘米。

制作长方体：框架型根据棱长来制作；箱盒型根据面来制作。

例2、一块长30厘米、宽20厘米的铁皮，将四角各去掉一个边长5厘米的小正方形后焊成一个无盖的长方体盒子，则盒子的容积是（ ）立方厘米。

课后作业

1、 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米？

2、 有一个长方体形状的零件。中间挖去一个正方体的孔（如下图）。你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）

3、 一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方米。原来正方体的表面积是多少平方厘米？

4、一个长方体，前面和上面的面积和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？

5、有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？

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6、有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？

7、有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁后，水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方分米？

8、有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米，现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？

思考题

1、 一个溶积为480毫升的长方体密封玻璃容器中盛有若干体积的水，分别以容器的三个相邻的面为底时，测得水面距离上表面分别为3厘米、4厘米、5厘米。问玻璃容器中盛水多少立方米？

第六章 圆柱与圆锥

二、典型例题透析

例1（知道圆柱体的直径和高，求表面积）

一顶圆柱形厨师帽，高28厘米，冒顶直径20厘米，做这样一顶帽子需要用多少面料？（得数保留整十平方厘米）

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例2（知道圆柱的侧面展开后的长方形（或正方形），求圆柱的表面积 ）

一个圆柱的侧面展开后是一个边长15.7cm的正方形。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？

例3（判定有效高度，求圆柱体积）

学校建了两个同样大小的圆柱形花坛。花坛的底面内直径为3m，高为0.8m。如果里面填土的高度是0.5m，两个花坛需要填土多少方？

例4体积的转移（形状不同，但体积不变）

一个圆锥形沙堆，底面积是28.26㎡，高是2.5m。用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少米？

例5 （圆柱和圆锥的转换）

一个圆柱和圆锥的体积和底面积相等，圆锥的高是9厘米，圆柱的高是多少厘米？

课后作业

1、一根圆柱形木材长20分米，分成4个相等的圆柱体，表面积增加了18.8平 方分米。原来圆柱形木材的表面积是多少？

2、有一个圆柱形粮囤，从里面量，它的底面半径是3m，高是2.5m。稻谷按每 立方米550㎏计算，这个装满粮食的粮囤约装有多少吨稻谷？

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3、货车的车厢是一个长方体，它的长是5米，宽是3.14米，高是1.5米，装 满一车沙，卸后将沙堆堆成底面直径为5米的圆柱形沙堆，这个圆柱形沙堆 的高是多少米？

4、在一个边长40厘米的正方体削出一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？

5.底面积为50平方厘米的长方体容器中装着水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块露出水面的高度是2厘米，若将木块从容器中取出，水面将下降多少厘米？

2厘米3.已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)

4、一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3.14)

11cm5cm第七章 行程问题

A、两人/车同行问题。

练：1、两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到48分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米，甲车行完程用多少小时？

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2、A、B两地相距900千米，甲车由A地到B地需要15小时，乙车由B地到A地需要10小时，两车同时从两地开出，相遇时甲车距B地还有多少千米？

3、两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇，两站相距多少千米？

B、变速问题

1、一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果按原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？

2、小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？

C、往返问题

1、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去追小明。在追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几时几分？

2、一个游泳池长90米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返

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回。找这样往、返游，两人游10分钟。已知甲每秒游3米，乙每秒游2米。在出发后的两分钟内，二人相遇了几次？

3、红星小学有80名学生租了一辆40座的车去海边观看日出。未乘上车的学生步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离海边48千米，汽车的速度是步行的9倍。汽车应在距还边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边？

D、环形跑道问题

1、甲、乙两人在400米圆形跑道上，同时从起点沿相反方向漫步，2分钟后相遇。他们若同向而行，甲10分钟后追上乙。问甲、乙速度各是多少？

2、甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。甲速是乙速的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米。环形跑道有多少米？

E、公交问题

1、一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？

F、流水行船问题

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1、一艘轮船所带的燃料最多可用12小时，驶出时顺水，速度是30千米/小时；返回时

逆水，速度是顺水速度的4/5.这艘轮船最多行驶多远就应返航？

2、甲、乙两船在相距90千米的河上航行，如果相向而行，3小时相遇，如果同向而行则15小时甲船追上乙船.求在静水中甲、乙两船的速度.

课后作业：

1、快车以60千米/时的速度从甲站向乙站行驶，1.5小时后，慢车以40千米/时的速度从乙站向甲站行驶，两车相遇时，相遇点离两站的中点70千米。甲、乙两站相距多少千米？

2、一辆车从甲地开往乙地.如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟1小时到达，如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达.甲、乙两地之间的距离是多少千米？

3、甲每小时跑13千米，乙每小时跑11千米，乙比甲多跑了20分钟，结果乙比甲多跑了2千米.乙总共跑了多少千米？

4、某人从家里去上班，每小时行5千米，下班按原路返回时，每小时行4千米，结果下班返回比上班多花10分钟，上班用多少小时？

5、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的2/3，两人相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是3000米，求A、B两地的距离.

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6、从家里骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行30千米，那么早到15分钟；如果每小时行20千米，则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到，那么摩托车的速度应是多少？

7、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行8千米，因此第二小时比第一小时多行6千米.求甲、乙两地的距离.

第八章 工程问题

A、基本单位统一

1、修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成

2、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小

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时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？

B、替换法

1、一项工程，甲、乙两队合作15的

2、一项工程，甲、乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的1/30.甲、乙单独做这项工程各需要几天？

C、叠加法

1、放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以放满；如果同时开放①③⑤号阀门，10小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？

7305天，乙队做3天，只能完成工程

D、工程延误

1、甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？

E、周期工程

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1、一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？

课后作业

1、一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，如果这件工作先由甲队做若干天，再由乙队做完，两个队共用了14天，甲队做了几天？

2、小王和小张同时打一份稿件，5小时打了这份这稿件的5/6。如果由小王单独打，10小时可以打完。求如果由小张单独打，几小时可以打完？

3、一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成1/2，甲干5天、乙干3天可完成1/3。甲、乙合干需几天完成？

4、一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？

5、一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？

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6、一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。由第一小队单独干需要多少天？

7、师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的1/3比徒弟加工零件个数的1/4还多10个，那么徒弟一共加工了几个零件？

8、打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？

第九章 比和比例

一、知识总结 1、比： a:bab

ak；比的性质：a:bac:bcc0 bac2、比例式： a:bc:d (外项、内项) 比例性质：adbc

bd 比例改写： a:bc:da:cb:dd:bc:ad:cb:a

(比例性质的应用)

3、比例中项： a:bb:cb2ac

4、比例方程：含有未知项的比例叫做比例方程。 5、正比例、反比例

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①正比例：若两个量之间的比值固定不变，则这两个量成正比例。

若a:bk（k一定），则a、b成正比例

②反比例：若两个量的乘积固定不变，则这两个量成反比例。 若abk（k一定），则a、b成反比例。 6、比例的应用：

①图形缩放：将图形按照给定比放大或缩小，对应边长、高之比等于给定比。面积

比等于给定比的平方。

②比例尺：比例尺=图上距离÷实际距离；图上距离=实际距离×比例尺；

实际距离=图上距离÷比例尺。

缩小，比例尺＜1；放大，比例尺＞1

③比例应用题：整理题中的数量组成比例，求出比例中的未知项。 二、巩固练习 比的计算

711、化成最简整数比：:2.1:1=

522、求比值：60cm2：60dm2=

23、解比例 8:x=2

34、若整数x能与2、6、15这三个数组成比例，求x的值是（ ）。

5、若a:b2:5且b2ac，则b:c=（ ）。 6、已知2x3y，①求：x:y ②求

2xy的值 ③若x比y大4，求x和y的值 2xy

比例的应用

7、比例尺通常写成前项是（ ）的比。除数值比例尺之外，还有（ ）比例尺。 8、学校操场长800米，宽500米，如果画在比例尺是1：1000的图纸上，长应画（ ）厘米，宽应画（ ）厘米，图形面积是实际面积的（ ）。 9、一张设计图的比例尺是20：1，在图纸上量得一个零件长40厘米，这个零件实际长（ ）。

10、景山学校操场长200米，宽150米，画在练习本上，选择（ ）的比例尺比较合适。

11、如下图，两个完全相等的三角形，把每个三角形分成两部分，并标有各自的面积。则

（ ）x=（ ）y

三、例题解析

A、连比

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1、光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？ 2、 从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子分得

1/2，二儿子分得1/3，小儿子分得1/9，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？

B、比例方程的应用

1、小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：5。如果再读30页，则已读和未读的页数之比为3：5。这本书共有多少页？

C、比与分率的转换

1、两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？

2、A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？

D、量的叠加

11

1、甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走 的路，而乙走的时间比甲少 ，求甲、

511乙两人速度的比。

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2、两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？

3、如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1：2。以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？

甲 丙 乙

E、正反比的应用

1、一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？

F、比与分率的混搭

111、有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的重量与乙

23袋米的重量之比为8：5，问甲、乙两袋大米原来各有多少千克？

D A 2、如图，ABCD是长方形，且长与宽之比为3：2， E在BC上，，F在CD上，并且三角形ABE、三角形 ADF、四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF与

F

长方形ABCD的面积之比

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B

E

C

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四、课后练习

1、红旗小学在校运会上买了甲乙两种钢笔作为单项第一、第二名的奖品，若两种钢笔共买了100支，甲钢笔每支9元，乙钢笔每支6元，且甲乙两种钢笔所用的钱总数相等，甲种钢笔买了_________支，乙种钢笔买了___________支。

20162、甲数与乙数比值是，甲数与丙数比值是，乙数与丙数比值是_________,

27253、三批货物共值152万元，第一、二、三批货物的重量比为2：4：3，单位重量的价格比为6：5：2，这批货物各值______、_________、_______万元。

114、甲走的路程比乙走的路程多，乙用的时间却比甲多，则甲、乙的速度之比为

34______.

25、一个长方形的长是宽的1倍，且这个长方形与一个正方形的周长之比为6：5，则这

5个长方形与正方形的面积比为_______________.

6、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮，已知齿轮A旋转7圈时，齿轮C旋转6圈 ①如果A齿轮的齿数是42个，那么C齿轮的齿数是 。

②如果B旋转7圈，C旋转1圈，那么A旋转8圈时，B旋转了 圈。

31

7、甲数是丙数的 ，乙数是丙数的2 ，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。

728、科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5：7。已知数学组

与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？

9、甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比为7：5。原来甲包有多少克糖？

1

10、甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％，乙比丙多做 。三人各做多少

3个？

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11、将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1，乙队已修的与剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？

12、甲、乙两个长方形长的比是4：5，宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？

13、兄弟两人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。从年初到年底，他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？

14、甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是6：5。甲、乙每小时各做多少个？

第十章 图形问题

例题讲解 A、 割补法

1、求图1－A中阴影部分的面积（单位：厘米）。

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4

图1-A

图1-B

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2、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

6 6

6

6 图－2

6 6 B、转化法

如图--3所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。

C

6

D

B

A E4

图－3

II I

2、算出圆内正方形的面积为 。

6厘米 C、叠加法

1、右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米。

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2 实用文档

2、三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. AB长40厘米, BC长 厘米.

C

②

① B A

3、在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米. 16 12

二、课后作业

20 1、如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积为 .

2、右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.

3、已知:ABCD是正方形, ED=DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是 .

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C B G E D AF 实用文档

4、 ABC是等腰直角三角形. D是半圆周的中点, BC是半圆的直径,已知: AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率3.14) 10 B A

D

C

5、已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积.

第十一章 解决问题策略

一、策略和方法

1、将复杂题型条件转化成已掌握的较简单的条件后，再解决问题。 2、抓住特征条件，将问题重新整理 3、找出模式规律使问题简单化。 二、例题讲解

A、客观规律

1、 有一堆粗细均匀长短相等的圆木，最上面一层8根，每往下一层多一根，一共堆了6层，这堆圆木一共多少根？

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2、有32名选手参加象棋比赛，比赛以单场淘汰制进行（即每场比赛淘汰一人）。想一想，产生冠军要比赛多少场？冠军参加了几场比赛？

3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟、5分钟。如果只有一个水龙头，试问怎样安排他们的打水顺序，才能使每个排队和打水时间的总和最少？

B、位置规律

练：1、字母A、B、C、D、E和数字1997分别按下列方式变动其次序： A B C D E 1 9 9 7

B C D E A 9 9 7 1（第一次变动） C D E A B 9 7 1 9（第二次变动） D E A B C 7 1 9 9（第三次变动） ……

问最少经过几次变动后ABCDE1997将重新出现？

2、在一个六边形的边界上插有336面红旗和黄旗，六条边的每个顶点插有红旗，每条边上的红

旗数目一样多，且每两面红旗间插有相同数目的黄旗，已知每条边上的黄旗数目比红旗的两倍还多12面，那么，每两面红旗间插有多少面黄旗？

C、转化策略

1、三等分下面的三角形和正五边形

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2、如下图，外面一个圆的周长与里面两个圆的周长之和相比较，哪一个长？

3、如下图，在半径为1的圆中内接一个矩形，矩形中有一个菱形，求菱形的边长。

D、计算规律 练：（1）

112341111151x501，则x（ ）。 718（2）x

111198019811997，则x的整数部分是（ ）。

第十二章 有理数及其计算

正、负数的引入

1、在我们的这个教室中就有许多数学的应用，我们在一个长约为12米，宽8米的教室里，多数同学都是12岁，我们班有 人，今天的出勤率是 ，讲台宽0.8

米，高1.2米…….题中出现了你所熟悉的哪几类数字?你能将以前所学数字进行分类吗?

2、在实际生活中仅有你以前学的数够用吗?请看下面的例子，如何记录其中的数据呢？ ⑴温度是零上10℃和零下5℃． ⑵ 收入500元和支出237元．

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⑶水位升高1.2米和下降0.7米． ⑷买进100辆自行车和买出20辆自行车．

正数、负数的概念

像3、2、0.5、1.8％这样比0大的数叫 ，根据需要，有时在正数前面加上“+”，如+5， ， ， ，…。正数前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加上“—”号的数叫 。如-6， ，…。“-6”读作 。 练习1、下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -10，1，-0.5，0，36，25，15％，-60，147153，22.8

2、下列各数 -11 ，0.2，8，，1， -1， -a， -30％中，

（ ）一定是正数，（ ）一定是负数。 0的意义

0既不是 数，也不是 数，它是正数与负数的分水岭。它的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。 练习1、对于“0”的说法正确的有 （ ）

①0是正数与负数的分界； ②0℃是一个确定的温度；

③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。 2、下列说法正确的有（ ）。

①0是最小的自然数；②0是整数也是偶数；③0既非正数也非负数；④一个数不是正数就是负数；⑤负数也叫非正数。⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数．

用正数和负数表示具有相反意义的量

相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义 ；二是它们都具有数量，而且一定是 量。 练习1、下面问题中：

a、将水位上升3m时水位变化记作+3m；则水位下降3m时水位变化记作-3m。 b、在一个月内，小明的身高增加2.5cm，记作+2.5cm；体重下降3kg，记作-3kg c、某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作-500元。 d、向东走500m记作+500m；向西走120m，记作-120m. e、小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m记作-5m. 表述有错误的是（ ）。

2、用正数和负数表示同一问题中具有相反意义的量。

①某校七年级举行足球比赛，一班胜两局，记作+2；则三班输一局，记作 。 ②如果浪费8度电，记作-8度；那么节约15度电记作 。

③如果高于海平面100m记作+100m，那么低于海平面36m记作 。

④我校的入学检测中，以60分为标准，若王飞得了85分记作+25分，那么，张生得了45分记作 。

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课后作业

1、如果零上28度记作280C，那么零下5度记作 。 2、若上升10m记作10m，那么－3m表示 。

133、在－3，－1，0，－，2002各数中，是正数的有（ ）。

27A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 4、飞机上升－30米，实际上就是（ ）。

A、上升30米 B、下降30米 C、下降－30米 D、先上升30米，再下降30米。

5、气温下降－40C,改成使用正数的说法是 。

6、如果自行车车条的长度比标准长度长2毫米记作 +2毫米，那么比标准短2毫米记 作 。

7、下列说法正确的是（ ） A、“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量。

B、如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降－15米。 C、如果气温下降60C，记作－60C那么+80C的意义就是下降零上80C

D、若将高1米设为标准0，高.1.20米记作+.20，那么－0.05米所表示的高是0.95米。

8、指出下列语句的实际意义：

（1）向西走-35m 。(2)温度下降-3℃ 。（3）7月份工资上升了-7.5元。

有理数的概念

、 、 统称为整数， 和 统称为分数， 和 统称为有理数。 有理数的分类

正整数正整数

正有理数整数0 正分数负整数有理数 有理数0 负整数正分数分数负有理数 负分数负分数

注意1、如 159能约分成整数的数_____(填“能”或“不能”)算做分数；

,200%,633212、两个整数的比（如 等）、有限小数（如0.2，－3.14等）、无限循环小数,32,1.470.3文案大全

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（如 等）都是分数；但无限不循环小数（如 等）不是分数； 3、无限不循环小数不是有理数；(无理数)

4、整数中除了正整数和负整数，还有_____. 练习1、下列说法正确的是（ ）

A．0既不是正数也不是负数，也不是自然数;

B．任意有限小数可以化为分数，但无限循环小数不能化为分数; C．圆周率是无限不循环小数，故不是有理数;

D．0表示没有，它是正数和负数的分界点

2、在-22/7，，0，0．33四个数中，有理数的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3、在有理数中，最小的自然数是______，最小的正整数是________．

4、下列各数：-6，-3.14，-，1/3,，0.307，0.2中，有理数有________个．

有理数的分类

正数和0统称为 ；0和负数统称为 。 0和正整数统称为 ；0和负整数统称为 。 1．下列说法中正确的是（ ）

A．一个有理数不是正数就是负数; B．一个有理数不是整数就是分数; C．有理数是指整数、分数、正数、负数和0; D．有理数是指正数和负数 2．在有理数中，不存在这样的数（ ）

A．既是整数，又是负数; B．既不是正数，也不是负数 C．既是正数，又是负数; D．既是分数，又是负数 3．小于5.5的正整数有_____ __．

4．比负数大的所有有理数中，最小的数是_ _____

数集

把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。

如：所有有理数组成的集合叫有理数集。 所有整数组成的集合叫整数集。 所有正数组成的集合叫正数集。 所有负数组成的集合叫负数集。 所有正整数和零组成的集合叫自然数集。 等等。。。

练习1、把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合里：

124112,,,3.14,,0,2,2,1,10%;正整数集合：（ （ ） 233） 负分数集合：正有理数集合：（ ） 非正数集合：（ ）

课后作业

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一、填空题

1、把下列各数填入相应的大括号里：

6 1，,0,0.3,0.618,3.14,260,2009,,0.01001000137正分数集合｛ …｝； 整数集合｛ …｝； 非正数集合｛ …｝； 有理数集合｛ …｝ 无理数集合｛ …｝

3、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为整数；＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为分数；＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿统称为有理数；＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为非负数；＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿统称为非正数；＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为非正整数；＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿统称为非负整数；有限小数和无限循环小数可看作＿＿＿＿＿；无限不循环小数称为＿＿＿＿＿＿。 二、选择题

1、既是分数又是正数的是（ ）

1A、+2 B、 －4 C、0 D、2.3

32、在0，1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（ ） A、0 B、1 C、-2 D、-3.5 3、下列不是有理数的是（ ）

7A、-3.14 B、0 C、 D、π

34、下列说法正确的是（ ）

A、正数、0、负数统称为有理数 B、分数和整数统称为有理数 C、正有理数、负有理数统称为有理数 D、以上都不对 5、下列说法中，错误的有（ ）

4①2是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为

7有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

数轴

第一步：画直线定原点

原点表示0。取一个适中的位置。

那么从原点向左（向下）则

第二步：规定从原点向右（向上）的为正方向为负方向。比如说温度计就是向上为正，向下为负。 第三步：选择适当的长度为单位长度

步骤用九个字代替为 原点 正方向 单位长度

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。根据题意而定。

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有了以上基础，我们可以来试着定义数轴：

规定了 、 和 的直线叫数轴． 任何有理数都可以用数轴上＿＿＿的＿＿＿来表示。 思考：

（1）原点表示什么数？

（2）原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？

1（3）原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数？原点向左2个单位长度的B点表示

1什么数？

归纳：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点距离是a 个单位，表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。 练习1、下列所画数轴对不对？ 如果不对，指出错在哪里． 0-2-1012-1012312345②③④①

-101-3-2-1012-2-1012⑦⑥2、如果a⑤是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？•表示－a的点

在原点的什么位置上呢？ 数轴上的点与到原点的距离

找出有理数在数轴上的对应点分两步：（1）确定所找点与原点的位置关系（口诀：负左正右零原点）；（2）确定具体位置（所找点与原点的距离为有理数去掉符号的数值）。

练习1、如图，数轴上的点A、B分别表示数－3和2，点C是A、B两点之间的中点，则点C所表示的数是（ ）。

2、 填空：

(1)数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度的点表示数＿＿＿

5(2)数轴上在原点左边距原点个单位长度的点表示数＿＿＿。

8(3) 数轴上距原点2个单位长度的点有＿＿个，它们分别表示数＿＿＿。 3、从数轴上观察，大于-3小于3的整数有＿＿＿个，分别是＿＿＿。 4、下列说法中错误的是（）

A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示

B.在数轴上表示-1的点和表示1的点的距离是1 C.数轴上的原点表示的数是0 D.最大的负整数是-1

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5、与原点的距离为2.5个单位的点有（ ）个，它们分别表示（ ）和（ ）。 6、一个蜗牛从原点开始，先向左爬了4个单位，再向右爬了7•单位到达终点，那么终点表示的数是（ ）

课后作业

1．把数轴上表示2的点移动5个单位后，所得的对应点表示的数是（ ） A．7 B．-3 C．7或-3 D．不能确定

12．画一条数轴，并把下列数表示在数轴上：+2，-3，0.5，0，-4.5，4，3

3

绝对值的几何意义

① |a||a0|表示数a对应的点到原点的距离。 ② |ab|表示数a、b对应的两点间的距离。

例1：（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2，3与5，2与6，4与3. 并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： . （2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离 可以表示为 ．

分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？

结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。

当x<-1时，距离为-x-1, 当-10，距离为x+1 综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为x1

（3）结合数轴求得x2x3的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 分析：x2即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。

x3x(3)即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。 如图，x在数轴上的位置有三种可能：

图1 图2 图3

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图2符合题意

练习1、满足x1x43的x的取值范围为

2、若2a0，化简|a2||a2|

||x|2x|

|x3||x|a，试化简|x1||x2| |a|3、若x0，化简

4、设a

0，且x课后作业

1、若|ab1|与(ab1)2互为相反数，求3a2b1的值。

2、x是什么样的有理数时，下列等式成立？

（1）|(x2)(x4)||x2||x4| （2）|(7x6)(3x5)|(7x6)(3x5)

3、化简下式：

|x|x|| x

4、若三个有理数a,b,c满足

|a||b||c||abc|

的值。 1，求abcabc

有理数的计算

1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。 （2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。 （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。 例题解析

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1、 计算：

5131110.752(0.125)124 142

784243

122351998 713 110.5333346 练习

（1）560.94.48.11 （2）（-4

171112283（3）4543 （4）210.52

28248552142111）+362 3324

75712（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（）（6）1199810.533

96183

课后作业

1、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25

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2322、3211.75

343

35123、3.7540.125

3862

344、01154

77

5、2311

334136、12100.5

4164324

第十四章 字母与一元一次方程

A、字母

1、用字母表示数

用字母表示数是代数的一个重要特点，有了用字母表示数的知识，使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示出来：如，长方形的长为 acm，宽为bcm，长方形的面积是abcm2；一件商品的单价为a元，买了b件，则总价为ab元；将一笔钱存入银行，每月可获利息a元，存了b个月，则共获利息ab元，这里同用代数式ab，但它却表示了不同的实际意义。用字母表示数，还可以使数量关系的表示简洁明了，更具普

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遍意义，给研究和计算带来了极大的方便。如：有理数的减法法则用文字叙述很麻烦，但用字母表示可表示成：a－b=a＋(－b)，简洁明了。又如有一组数据：0，3，8，15，24，….按此规律，大家可以一直写下去，但永远也写不完.如果用字母表示，则第n项可以记作n2－1，这样就使这一规律更具普遍意义。

2.代数式的定义：

代数式是数与数之间、数与字母之间，字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连结起来的式子.所以代数式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分数线）、乘方等运算符号，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号。另外，单独的一个数或字母也是代数式.如：(a＋b)2含有加法和乘方运算是代数式；

含有加法、乘、除法运算也是代数式，a，0，1是单独的数或字

母，也是代数式，而2a=3，a>5.由于含有“=”和“>”，因此不是代数式.

3.书写代数式时应注意以下原则：

①代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如 6×b常写作6·b或6b.但数与数相乘不遵循此原则，如6×8不能省略乘号，否则就写成了68，也不宜将“×”改为“·”，否则就写成了6·8，容易与6.8混淆。

②数字与字母相乘时，数字写在字母前面，而有理数又要写在无理数前面，如 6b一般不写作b6，2πr2不写作π2r2.

③除法运算写成分数形式，如 1÷a，通常写作（a≠0）.

④分数要写成带分数形式.

⑤相同字母相乘，一般不把每个因数写出来，而是写成幂的形式，如 a·a写作a2，a·a·a写作a3.

⑥要单位的后面要写单位，特别注意有加减的时，要注意给代数式加括号.

4、列代数式

在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念。

5、代数式的分类

（1）单项式的定义

数与字母的乘积组成的代数式为单项式，单独一个数或一个字母也是单项式， 如 6，a都是单项式.因此，单项式只能含有乘法以及以数字为除数的除法运算，不能含有加减运算，更不能含有以字母为除式的除法运算. （2）单项式的系数

单项式中的数字因数叫单项式的系数，如－2xy2的系数为－2.单项式的系数为1或－1时，通常省略不写，但“－”号不能省略.如1ab写成ab，－1ab写成-ab.

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（3）单项式的次数

一个单项式，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 .如5x2y4的次数为2＋4=6.一个单项式的次数是几，我们习惯上又称作这个单项式是几次单项式.如5x2y4是六次单项式。单项式中字母的指数为1时，1省略不写，但计算单项式次数时不能丢掉，或误认为是0.如5xy2的次数是1＋2=3，而不是2. （4）多项式的意义

几个单项式的和叫做多项式 .多项式中含有加减运算，也可以含有乘方，乘除运算，但不能含有以字母为除式的除法运算，如

不是多项式.

（5）多项式的项

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 .其中，不含字母的项，叫做常数项.常数项在多项式中次数最低.多项式有几项，我们习惯上又称为“几项式”，如

是二

项式.

（6）多项式的次数

多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数 .如x2＋1－3x4的次数是4.因x2＋1－3x4是由单项式x2，1，－3x4三项组成的.因此，x2＋1－3x4又可称作“四次三项式”. (7)代数式分为整式、分式、根式.

单项式与多项式统称为整式 .整式中不能含有以字母为除式的除法运算. 分母中含有字母的代数式称为分式；根号里含有开不尽方的字母称为根式；

5、多项式排列：

①升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的升幂排列.

②降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的降幂排列.

6、同类项

所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项

1．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

2．合并同类项的法则：

（1）法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （2）合并同类项的具体步骤：

①准确地找出同类项；②利用分配律，把同类项的系数相加在一起（用小括号）字母和字母的指数不变写在括号的后面，不是同类项的项包括符号照写上；③写出合并同类项后的结果。 3．去括号法则

（1）要注意括号前面的符号，它是去括号括号内各项是否变号的依据； （2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；

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（3）要注意括号前是“－”号时，去掉括号后，括号内的各项都要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号。

（4）若括号前是数字因数时，应利用乘法分配律先将该数与括号内的各项分别相乘再去括号，以免发生符号错误；

（5）多层括号的去法；对于含有多层括号的问题，应先观察式子的特点，再决定去掉多层括号的顺序，以使运算简便，一般由内到外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，有时也可从外到内，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，去大括号时，要将中括号视为一个整体，去中括号时，要将小括号视为一个整体。 4．添括号法则。

（1）所添括号前面的符号是添括号后括到括号里各项是否变号的依据； （2）尤其要注意括号前面是“－”号时，括到括号时的各项都改变符号。 （3）添括号是否正确可用去括号来检验。 5．去括号与添括号的顺序刚好相反。

去括号

(abc)

添括号

－a+b－c

6.用数值代替代数式里的字母，按照代数式所给出的运算法则计算出结果，叫代数式的值，

注意：因此代数式的值是由其所含字母所取的值确定的，并随字母取值的变化而变化，但值得注意的是，代数式中字母取值时，不能使代数式没有意义。

代数式求值问题一般可直接将字母取值代入计算便可解决，但对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值，有时还要用到代数变形、消元、设参数等数学方法

例题讲解

例1、下列式子中（1）abcd2；（2）3a2b；（3）x210；（4）

1； （5）abc12a.，书写规范的代数式有（ ） 2A．1、2、3、4、5 B．只有4 C．1、5和4 D．2、4、5

练习1、下列说法正确的是（ ）

A.一个代数式只有一个值 B.代数式中的字母可以取任意的数值 C.一个代数式的值与代数式中字母所取的值无关 D.一个代数式的值由代数式中字母所取的值确定

例2、用代数式表示：

（1）a除以b的商与c的和；（ ）

3（2）x的平方的倍与y的平方的差；（ ）

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（3）比a、b的平方的和的倒数小3的数；（ ） （4）比x大的5的数与比y少27%的数的和. （ ） （5）一个数的4次方与另一个数的

3倍的立方的和的平方（ ） 4

练习1、请分析下列途述： abab①的意义是a加上b除以c的商 ②的意义是a减去b除以c的商

ccbab③a的意义是a减去b除以c的商 ④的意义是a与b的和除以c的商

cc 其中正确的是（ ）

A．①与② B．②与③ C．③与④ 、D．④与①

例3、 如果a个同学在b小时内共搬运c块砖，那么c个同学以同样速度搬运a块砖所需要的小时数是（ ）

a2bc2c2ab A．2. B．. C．2. D．2

cababc例4、若2xny4与

例5、把多项式

是关于x、y的六次单项式，并且系数相等，求mn的值.

重新排列：

（1）按字母a的升幂排列；（ ）

（2）按字母b的降幂排列. （ ）

例6、一个二位数，个位上的数字是a，十位上的数字为b，则这个两位数是（ ） A.ba B.ab C.10a+b D.10b+a

例7、所有不能被2整除的整数统称为奇数，设n是整数，则所有的奇数可以表示为______.

1例8、若-3xm-1y4与x2yn2是同类项，求m,n.

3

例9、合并同类项：

（1）-0.8a2b-6ab-1.2a2b+5ab+a2b （2）6x2y+2xy-3x2y2-7x-5yx-4y2x2-6x2y

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例10、先去括号，再合并同类项

（1）3a－（4b－2a＋1） （2）（x2－y2）－4（2x2－3y2）

例11、先化简，再求值

114（1）4（y＋1）＋4（1－x）－4（x＋y），其中，x＝，y＝。

73

（2）4a2b－[3ab2－2（3a2b－1）]，其中a＝－0.1，b＝1。

223abc(4abab)例12、化简：5abc2a2b



例13、 已知当x5时，代数式ax2bx5的值是10，求x5时，代数式ax2bx5的值。

例14、若x3(y1)20，求x3yx2y32xy3x2y32y3x2xy的值。

例15、 已知2，求

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1a1b3a4ab3b的值。

2a3ab2b实用文档

例16、下图是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s＝ ． （用n的代数式表示s）

……

n=1 n=2

n=3

课后作业

1.小丁期中考试考了a分，之后他继续努力，期末考试比期中考试提高了b%，小丁期末考试考了_______分.

2.小明有m 张邮票，小亮有n 张邮票，小亮过生日时，小明把自己的邮票的一半作为礼物送给小亮，现在小亮有_______张邮票. 3.用代数式表示.

(1)“x的5倍与y的和的一半”可以表示为_____.

(2)南平乡有水稻田m亩，计划每亩施肥a千克；有玉米田n亩，计划每亩施肥b千克，共施肥_____千克.

(3)有三个连续的整数，最小数是m，则其他两个数分别是_____和_____. (4)全班总人数为y，其中男生占56%，那么女生人数是_____. 4.用语言描述下列代数式的意义. (1)(a+b)2可以解释为_____. (2)3x+3可以解释为_____.

5.一个两位数，个位是a，十位比个位大1，这个两位数是（ ） A.a(a+1) B.(a+1)a C.10(a+1)a D.10(a+1)+a 6．5x3ayz2b与7x3yaz2是同类项，则a、b、c的值分别为（ ）

A．a=3,b=2,c=1 B．a=3,b=1,c=1 C．a=1,b=1,c=1 D．以上都不对 7．蚯蚓每小时爬a千米，b小时爬了c千米，则b等于（ ）

aA.c

ccB.a C.ab

c D.ab

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8. 如果x=3y,y=6z,那么x+2y+3z的值为（ ） A.10z B.30z C.15z D.33z 9．对于任意有理数x、y，多项式mxyn2xy20总成立，则m= ，n= 。 10.合并同类项

（1）4x2y-8xy2+7-4x2y+12xy2-4； （2）a2-2ab+b2+2a2+2ab - b2．

11.求值：

（1）已知a为3的倒数，b为最小的正整数，求代数式ab22ab3的值。

（2）已知

（3）已知

a5a8a1112. 组按一定规律排列的式子：－a，，－，，…，（a≠0）则第n个式子是

234222ab3ab2ab的值. 5，求代数式

ab2abab1x3x2xy3y1的值 2，求代数式

y5x3xy5y_ _（n为正整数）

B、一元一次方程

1、有关方程的概念

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用等号“ =”来表示相等关系的式子，叫做等式。 含有未知数的等式叫做方程。

只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1的方程，叫做一元一次方程. 等式的基本性质

性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式，即：

若 a=b，则a＋m=b＋m，a－m=b－m.

性质 2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，即：

解一元一次方程的一般步骤是：

（1）去分母：根据等式基本性质2，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； （2）去括号：利用去括号法则、分配律，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；

（3）移项：根据等式基本性质1，利用移项法则，把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；

（4）合并同类项：利用合并同类项法则，把方程化成ax=b的形式；

（5）系数化为1：根据等式基本性质2，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解

(a≠0).

方程的检验

检验某数是不是原方程的解，应将该数分别代入原方程的左边和右边，看两边的值是否相等。如果相等，说明该数是原方程的解，否则就不是。检验时应代入原方程的左边和右边，而不是变形后的方程的左边和右边。 列简易方程解应用题

解应用题时，关键是列出简易方程，解应用题时列方程的一般步骤是： （1）设未知数，一般是求什么就设什么为x；

（2）分析已知量和未知量的关系，找出相等关系；

（3）把相等关系的左、右两边的量用含x的代数式表示出来，即得方程. 三、典型例题剖析

例 1、判断下列各式哪些是方程，哪些是一元一次方程. （1）x－1=1－x （2）x3=2x （3）xy－x=0 （4）6x－x－1 （5）5－2=3 （6）

=3

（7）2x=1 （8）x2＋1>2x 例 2、解方程

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，并检验.

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例 3、解方程

例 4、解方程

例 5、已知x=－7是方程4x＋6=ax－1的解，求代数式

的值.

. .

例 6、某商品标价为165元，若降价以9折出售，仍可获利10%，则该商品的进货价是多少？

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