讨论圆轴扭转时的应力状态

一、讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。

解 根据第十九章讨论，圆轴扭转时，在横截面的边缘处剪应力最大，其数值为:

Mn (e)

Wn在圆轴的最外层，按图22-5(a)，所示方式取出单元体ABCD，单元体各面上的应力如图22-5(b)所示。在这种情况下，

xy0，xy （f）

y Mn A D B C (a)

Mn A σ3 σ1 B (b) C D x 45°

(c) 图22-5

单元体侧面上只有剪应力作用，而无正应力作用的这种应力状态称为纯剪切应力状态。把(f)式代入公式(22-6)得:

xyxy2max ()xy2 min22由公式（22-5）：

tg202xyxy 

所以 2090或270

045 或 0135

以上结果表明，从x轴量起，由045(顺时针方向)所确定的主平面上的主应力为max；而由0135所确定的主平面上的主应力为min。按照主应力的记号规定：

1max203min

所以，纯剪切是二向应力状态，两个主应力的绝对值相等，都等于剪应力，但一个为拉应力，一个为压应力。

圆截面铸铁试件扭转时，表面各点max所在的主平面联成倾角为45的螺旋面[图22-5（a）]。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏，如

130

图22-5（c）所示。

二、 图22-6（a）所示为一横力弯曲下的梁，求得截面m－n上的弯矩M及剪力Q后，算出截面上一点A处弯曲正应力和剪应力分别为：70MPa,50MPa[图22-6（b）]试确定A点处的主应力及主平面的方位，并讨论同一横截面上其它点处的应力状态。

解 把从A点处截取的单元体放大如图22-6（c）所示。选定x轴的方向垂直向上，则

x0 y70MPa xy50MPa

x º m m n a l A τ σ τxy σ1 σ3 A 50MPa n 70MPa (a) (b) 图22-6

(c)

由公式（22-5）得： tg202xyxy2(50)1.429

0(70) 2055或235 027.5或117.5

从x轴量起，按逆时针方向量取的角度27.5，确定max所在主平面，以同一方向量取的角度117.5,确定min所在的另一主平面。至于这两个主应力的大小，则可由公式（22-6）求出为：

2max26(MPa)0(70)0(70) (50)2 =

2min96(MPa)2按照关于主应力的记号规定

126MPa20396MPa

主应力及主平面的位置已表示于图22-6（c）中。

131

三、 从受力构件中截取的单元体，其应力状态如图22-10（a）所示。试求主应力值和主平面位置。

解 用解析法和应力圆两种方法解此题。

（1）用应力圆计算：先作O坐标系，选定适当比例尺。量取OAx80MPa、ADxy60MPa得D点；再量取OBy30MPa，BD'yx60MPa得D点。连DD与横轴相交于C点，以C点为圆心，DD为直径，可画出应力圆[图22-10（b）所

示]。

应力圆与横轴相交于两点M和N，其横坐标即为主应力1和3。由图上量得：

max1120MPa, min310MPa

因为单元体的前后平面上无应力作用，按主应力的顺序规定，主应力2=o。

τ y 30MPa σ3 c 3 σ1 b 2 αo =º 60MPa 1 80MPa x -10 N O '20C A 112.6M 120 2αo = σ 4 σ1 d a αo º σ3 σ3 D(80,-60) σ1 (b)

(a)

图22-10

在应力圆上量得CD与CM两半径间的夹角为67.4，由D点到M点是逆时针转向，

67.433.7，即得主应力1的方向，从而定出其主2 =112.6，所以在单元体上从x轴顺时针平面位置。同样，在图22-10(b)上量得20所以在单元体就应从x轴逆时针转

56.3，可得主应力3的方向及其主平面，从而画出单元体1234[图22-10(a)]。转0

(2)用解析法计算:将应力x80MPa、y30MPa、x60MPa代入公式（22-6），可得：

xymaxxymin222xy2 280308030 =6022132

2

=120MPa

10MPa按照关于主应力的记号规定得：

1120MPa,20,310MPa

再由公式（22-5）计算主平面的位置：

tg20=2xyxy2(60)2.4

8030得 0=33.7

09056.3 0由此得主应力1和3作用的单元体1234[图22-10（a）]。

四、 用应力圆求图22-11（a）所示单元体在斜截面d—e上的正应力及剪应力。

y 40MPa τ B1 C 120 od α x e σατo 60 O σ τα E σα （b）

（a）

图22-11

解 选取比例尺如图所示。目前情况为单向应力状态，可看作是二向应力状态的特殊情况。在单元体中以x轴为法线的平面为主平面，且1x0。这个主平面上的应力在图22-11(b)中由原点O来代表。以y轴为法线的平面也是主平面，且

3y40MPa，在图22-1l(b)中由B1点来代表。以OB1为直径作圆即为所需要的应力圆。在单元体中由x轴到d—e面的法线为顺时针的60。在应力圆中，应从O点沿圆周按顺时针方向量取圆心角120º，以确定E点。E点的坐标即为d—e面上的应力。用所选比例尺量出：

30MPa 17.4MPa

五、 在横力弯曲以及今后将要讨论的扭弯组合变形中，经常遇到图22-12(a)所示的应力状态。设及己知，试确定主应力和主平面的方位。

133

τ y D σ3 σ σ1 τ α0 x B1 D΄ (a)

σ3 σ1 （b）

图22-12

O C σ 2αo τ A1 σ (b)

解 如用解析法求解，在目前情况下有

x,xy

y0,yx代入公式(22-6)得：

212 

322 由于在根号前取\"-\"号的主应力总为负值，即总为压应力，故记为3。 由公式(22-5)得：

2tg20

由此可确定主平面的位置。

作为分析计算的辅助，在计算时可以作出应力圆的草图[图22-12（b）]，以帮助我们检查计算结果有无错误。

六、 如图 22-14(a)所示圆筒形薄壁容器(壁厚t远小于直径D)，受到流体内压力P的作用。试求筒壁外表面任一点M处的最大正应力和最大剪应力 。

m σ˝ B σ΄ A σ΄ M D C σ˝ m l m 134

n σ˝ n p n σ΄ n t (a) n n p m σ˝ (c)

图22-14 D PpD24

解 由于内压力P的作用，在圆筒横截面上引起正应力[图 22-14(b)] [图 22-14(c)].若用一对横截面和一对纵向截面（包括圆筒轴线），在圆筒M点处截取单元体ABCD,则单元体的上、下面上作用着应力，左、右面上作用着应力[图22-14（a）]。用横截面截取圆筒右部分为研究对象[图22-14（b）],由其平衡条件：

2x=0，(Dt)pD0

4求得

=

pD 4t在长度为L的一段圆筒上，用纵截面截取圆筒上半部分（包括流体）为研究对象，由平衡条件：

y=0，2tLpLD0

求得：

=

pD 2t由于圆表面上无应力，可知单元体的三个主应力为1= ，2=，3=0。因此，圆筒外表面上的最大正应力和最大剪应力分别为：

3pDpD max , max12t24t

七、二向应力状态如图 22-17所示 ，已知主应力 10、20、3=0，主应变 11.7104,20.4104。泊松比0.3。试求主应变3。

解 利用广义胡克定律公式，将前二式相加，然后令3=0，可得：

2121(1)

Eσ2 移项得：

E(12) 1再把上式代入广义胡克定律第三式得：

12ε2 ε3 σ1 ε1 σ2 图22-17

σ1 3E(12)1(12)

代入已知数值后得：

30.3(1.70.4)1040.9104 10.33为负值，表明与3平行的棱边变形为缩短。

八、钢梁如图 22-18所示。加力后测得梁内A点处线应变为x0.0004、y0.00012，已知拉压弹性模量E200GPa，泊松比0.3。试求正应力x和y。

解 设所求的正应力x和y均为拉应力而z= 0。由公式(22-18)得到用线应变表示

135

的正应力为：

x=y=

E12E12(xy) (yx)

代入数值后得

x=y=

20010910.3220010910.32(0.00040.30.00012)80(MPa) (0.000120.30.0004)0

通过计算可知，钢梁在A点处只有纵向拉应力x= 80MPa，而没有横向正应力(y=0)。

九、 在一个体积较大的钢块上有一直径为cm的凹座，凹座内放置一个直径为5cm的钢制圆柱(图22-19(a)所示)，圆柱受到P = 300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，0.3。

P P (a)

A p p y σy τy (b)

A τx σx x (a)

p (b)

图22-18 图22-19

解 在柱体横截面上的压应力为：

P3001033153106(Pa)153(MPa)

A521044这是柱体内各点的三个主应力中绝对值最大的一个。

在轴向压缩下。圆柱将产生横向膨胀。在它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p(图22-19(b))。在柱体横截面内，这是一个二向均匀应力状态。在这种情况下，柱体中任一点的径向和周向应力皆为-p。又由于假设钢块不变形，所以柱体在

136

径向只能发生由于塞满凹座而引起的应变，其数值为：

5.00150.00120.0002

55于是由广义胡克定律得：

321pp15310620.0002

EEEEEE由此求得：

1531060.30.0002200109 p=

10.3106Pa8.43MPa

所以柱体内各点的三个主应力为：

12p8.43MPa,3153MPa

十、有一钢材制成的构件，已知危险点处单元体上的应力如图22-21(a)所示。 材料的屈服极限s280MPa，试求构件的工作安全系数。

y 40 140 100 x z (a)

图22-21

σ1=140 (b)

σ3=-14 σ2=114

解 单元体处于三向应力状态。在与二轴垂直的平面上应力140MPa是主应力，但与x轴或y轴垂直的平面上的应力却不是主应力。所以要先求Oxy平面上的主应力，然后才能计算工作安全系数。

（1）计算主应力：已知x= 100 MPa，xy40 MPa，y0将其代入式(22-6)得 :

maxxyxymin222= xxy222xy2

x2 137

1001002=40 22114MPa=

14MPa2可知三个主应力为 1= 140MPa, 2= 114MPa，314MPa，以主应力表示的三向应力状态的单元体如图 22-21(b)所示 。

(2) 计算相当应力：由于一般钢材属于塑性材料，单元体又不是三向拉伸应力状态 ，所以采用最大剪应力理论或形状改变比能理论。用公式(22-25)计算相当应力 ，即 xd313140(14)154(MPa)

xd4=

1[122232312] 21[1401142114142141402] 2=

=143(MPa)

（3）求工作安全系数：由公式（22-26）计算工作安全系数，即

280n3x1.82

xd3154n4s2801.95 xd4143通过计算可知 ，按最大剪应力理论所得的工作安全系数n3要小些，若按此理论进行设计，要比按最大形状改变比能理论所得的截面尺寸稍大些。

思 考 题

22-1 何谓一点处的应力状态?何谓二向应力状态?如何研究一点处的应力状态? 22-2 如何用解析法确定任一斜截面的应力?应力和方位角的正负符号是怎样规定的？

22-3 如何绘制应力圆?如何利用应力圆确定任一斜截面的应力? 22-4 何谓主平面?何谓主应力? 如何确定主应力的大小和方位?

22-5 何谓单向应力状态、二向应力状态和三向应力状态?何谓复杂应力状态？ 22-6 在单向、二向和三向应力状态中 ，最大正应力和最大剪应力各为何值?各位于何截面？

22-7 何谓广义胡克定律?该定律是怎样建立的?应用条件是什么?

22-8 何谓强度理论? 金属材料破坏有几种主要形式?相应有几类强度理论? 22-9 目前常用的强度理论的基本观点及相应的强度条件各是什么?这些条件是如何建立的？各适用于何范围 ?

22-10 如何利用强度理论确定纯剪切时的许用剪应力值?

138

22-11 在正应力与剪应力联合作用下，构件的强度条件如何建立?

习 题

22-１ 单元体各面的应力如图所示(应力单位为MPa)，试用解析法和图解法计算指定截面上的正应力和剪应力。

10 30 45 oo10 30 20 20 (a)

20 60 o(b)

50 10 15 60 o30 (c)

题22-1图

(d)

22-2 单元体各面的应力如图所示(应力单位为MPa)，试用解析法和图解法计算主应力的大小及所在截面的方位，并在单元体中画出。

20 40 20 20 40 40 30 20 20 (a) (b) 题22-2图

(c)

22-3 单元体各面的应力如图所示 (应力单位为MPa)，试求主应力、最大正应力和最大剪应力。

22-4 单元体各面的应力如图所示，试作三向应力圆，并求主应力、最大正应力和最大剪应力。

139

30 30 60 50 70 (a) 题22-3图

(b)

σ τ

σ τ (a) (b) 题22-4图

(c)

22-5 已知某点A处截面AB和AC的应力如图所示，(应力单位为MPa)，试用图解法确定该点处的主应力及其所在截面的方位。

C B 25 26 22 60 A A P P 题22-5图

题22-6图

22-６ 图示受力板件，试证明A点处各截面的正应力、剪应力均为零

22-7 图示槽形刚体，在槽内放置一边长为10mm、的立方钢块，钢块顶面受到合力为P=8kN的均布压力作用，试求钢块的三个主应力和最大剪应力。已知材料的弹性模量E200GPa，泊松比0.3。

22-8 钢板的厚度6mm，在两垂直方向受拉伸作用，应力如图所示。已知钢板的弹性模量E2.1105MPa，0.25，试求钢板的厚度减小量。

22-9 从结构表面某点处取一单元体如图所示，已知该单元体各表面上的应力

x30MPa,x15MPa。试求对角线AC的伸长。已知E200GPa,0.3。

22-10 设脆性材料的许用拉应力[]和泊松比均为已知，试根据第一和第二强度理论确定其纯剪切时许用剪应力[]。

140

22-11 某铸铁构件危险点处单元体的应力情况如图所示，试校核其强度。已知铸铁的许用拉应力40MPa。

22-12 试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力xd3：(a)棱柱体自由受压：(b)棱柱体在刚性方模内受压。弹性常数E、均为已知。

P 10 55MPa 10 10 δ 25 150MPa

C 30 A oσ 题22-7图 题22-8图 题22-9图

30MPa

σ σ 10MPa 20MPa （a）

题22-11图

题22-12图

（b）

22-13 图(a)所示外伸梁，自由端受载荷P作用，梁用No28a工字钢做成，其截面尺寸如图(b)所示。试求截面B上a、b、c，三点处的主应力，并按第三强度理论校核其强度。已知P=130kN，=170MPa。

1400 a b c 600 122 a b c A B RA （a） 280 D RB （b） 题22-13图

z 141

22-14 一圆柱形气瓶，内径D=80mm，壁厚=3mm，内压p=10MPa。若材料为45号钢，许用应力[σ]=120MPa，试根据第四强度理论校核其强度。

22-15 图示圆柱形容器，受外压力p=l5MPa作用，试按第四强度理论确定其壁厚。已知许用应力[σ]=160MPa。

22-16 图示铸铁构件中，中段为一内径D=100mm，壁厚=10mm的圆筒，圆筒内的压力p5MPa，两端的轴向压力N=100kN，[σ]=40MPa，μ=0.25。试校核其强度。

p δ φ80 题22-15图 题22-16图

22-17 构件受力如图所示。（1）确定危险点的位置。（2）用单元体表示危险点的应力状态。

（a） （b）

题22-17图

d （c）

22-18 在拉伸和弯曲时曾经有σmax≤[σ]的强度条件，现在又讲“对于塑性材料，要用第三、第四强度理论建立强度条件”，二者是否矛盾？从这里你可以得到什么结论。

22-19 已知矩形截面梁的某个截面上的剪力Q=120kN，弯矩M=10 kN·m，截面尺寸如图所示。试求1、2、3、4点的主应力与最大剪应力。

22-20 NO.28a普通热轧工字钢简支梁如图所示。今由贴在中性层上某点K处、与

-6

轴线夹45º角方向上的应变片测得ε45º=-260×10。已知钢材的E=210GPa，μ=0.28。求

142

D N δ p N 作用在梁上的载荷P。

M Q 4 1 2 3 P 25 25 50 P K 45º 60 题22-19图

1m 2m 题22-20图

143