9.1.2 不等式的性质
关键问答
①在处于不平衡状态下的天平左右两侧同时添加或去掉同质量的物体，天平的状态怎么样？它对应不等式什么样的性质？
②这个例子可以说明不等式的哪个性质？
③解不等式，实际是把复杂的不等式化成什么形式？
1．设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图9－1－4，那么将“▲”“●”“■”这三种物体的质量按从大到小的顺序排列应为( )
①
图9－1－4
A．■，●，▲ B．▲，■，● C．■，▲，● D．●，▲，■
2．已知表示数a，b的点在数轴上的位置如图9－1－5所示，则有a________b．结合数轴，可得－a________－b.
图9－1－5
3．用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集． 1
(1)x－17＜－5; (2)－x>－3.
2
命题点 1 不等式的性质 [热度：97%]
4.若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是( )
1
A．x＋1＞y＋1 B．2x＞2y C.x> y D．x2＞y2
2方法点拨
④要说明不等式不成立，只需要找出一个反例即可．即条件成立，结论不成立．
④③②
5．若－2a＜－2b，则a＞b，其根据是( )
A．不等式的性质1 B．不等式的性质2 C．不等式的性质3 D．等式的性质2 易错警示
⑤利用不等式的性质3时，要注意改变不等号的方向． 6．若x＜y，且(a＋5)x＞(a＋5)y，则a的取值范围为( ) A．a＞－5 B．a≥－5 C．a＜－5 D．a＜5
7．若数a，b，c在数轴上对应点的位置如图9－1－6所示，则下列不等式成立的是( )
图9－1－6
acA．a－c＞b－c B．a＋c＜b＋c C．ac＞bc D.< bb解题突破
⑥由数轴上点的位置得到关于a，b，c的不等式，观察选项中的不等式是否可由这些不等式变形得到．可利用不等式的性质进行判断.
8.已知x>y，且xy<0，|x|<|y|，a为任意有理数，下列式子正确的是( ) A．－x>－y B．a2x>a2y C．－x＋a<－y＋a D．x>－y 解题突破
⑦a2的取值范围是什么？x＋y的值是正数还是负数？
9．若a＜b＜0，则1，1－a，1－b这三个数之间的大小关系为______________(用“＜”连接)．
10．若2a＋3b－1＞3a＋2b，则a，b的大小关系为__________(用“＜”连接)． 命题点 2 利用不等式的性质解简单的不等式 [热度：96%] 11.把不等式2x＋2≥0的解集表示在数轴上，正确的是( )
⑧⑦⑥
⑤
图9－1－7
方法点拨
⑧大于向右画，小于向左画，有等于号是实心圆点. 12．按下列要求写出不等式．
65
(1)m>n，两边都乘15，得____________； 5378
(2)－x≤－5，两边都乘－，得____________；
87(3)x－5≥－7，两边都加上5，得____________． 13.解下列不等式，并把它们的解集表示在数轴上． 12
(1)2x－3＞1； (2)x>－x－2；
33
1
(3)－4x≤－2x＋； (4)2x－1≥10x＋1.
2
解题突破
⑨这里要用到不等式的性质，利用不等式的性质3时，要注意不等号的方向要改变． 命题点 3 不等式的简单应用 [热度：98%]
14．某种品牌的八宝粥的净含量为xg，外包装标明：净含量为(330±10) g，表明了x的取值范围是( )
A．320＜x＜340 B．320≤x＜340 C．320＜x≤340 D．320≤x≤340
15．有3人携带装修材料乘坐电梯，这3人的体重共200 kg，每捆材料重20 kg，电梯最大载重负荷为1050 kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载材料( )
A．41捆 B．42捆 C．43捆 D．44捆 易错警示
⑩注意不等式的解要符合实际意义. 16.⑪现有不等式的性质：
①不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；
②不等式两边乘同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变．
⑩⑨
请解决以下两个问题：
(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0)； (2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0)． 易错警示
⑪注意利用不等式的性质时，有可能需要分情况考虑问题．
17．⑫【提出问题】已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建关于y的不等式，从而确定y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式的性质即可获解．
【解决问题】解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2. 又∵x＞1，∴y＋2＞1，∴y＞－1. 又∵y＜0，∴－1＜y＜0.① 同理，得1＜x＜2.②
由①＋②，得－1＋1＜y＋x＜0＋2. ∴x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2.
【尝试应用】已知x－y＝－3，且x＜－1，y＞1，求x＋y的取值范围． 方法点拨
⑫若a>c，b>d，则有a＋b>c＋d，这也是不等式的一个重要性质
典题讲评与答案详析
1．C 2.＜ ＞
3．解：(1)不等式的解集为x<12.在数轴上表示如下：
(2)不等式的解集为x<6.在数轴上表示如下：
4．D [解析] 由不等式的性质1，可得A正确；由不等式的性质2，可得B，C正确；选项D不一定成立．
5．C [解析] 由－2a＜－2b，左右两边同时除以－2，由不等式的性质3，可得a＞b. 6．C [解析]∵x＜y，且(a＋5)x＞(a＋5)y，∴a＋5＜0，即a＜－5.
7．B [解析] 由数轴上点的位置可得，a0，所以由不等式的性质1，可得不等式a＋c＜b＋c是成立的．8．C [解析] 因为x>y，利用不等式的性质3，两边都乘以－1，得－x<－y，则A错误；因为－x<－y，利用不等式的性质1，两边都加上a，得－x＋a<－y＋a，因此选项C正确；因为x>y，利用不等式的性质2，两边都乘以a2(a≠0)，得a2x>a2y，而这里没有确定a是不等于0的，故a2x>a2y不一定成立，因此B错误；另外由x>y，xy<0，得x>0，y<0，又|x|<|y|，可得x＋y<0，即x<－y，故D错误．
9．1<1－b<1－a
[解析] 因为a＜b＜0，所以－a>－b>0， 所以1－a>1－b>1，即1<1－b<1－a.
10．aa，所以a11．C [解析] 不等式的2x＋2≥0的解集为x≥－1.故选C. 4012．(1)18m＞25n (2)x≥ (3)x≥－2
7
13．解：(1)不等式的解集为x>2.把解集表示在数轴上如下：
(2)不等式的解集为x>－2.把解集表示在数轴上如下：
1
(3)不等式的解集为x≥－.把解集表示在数轴上如下：
4
1
(4)不等式的解集为x≤－.把解集表示在数轴上如下：
4
14．D [解析] 净含量为330±10 g，表明了这罐八宝粥的净含量最大为330＋10＝340(g)，最小为330－10＝320(g)，所以320≤x≤340.
15．B [解析] 设还能搭载x捆材料．依题意，得
200＋20x≤1050，解得x≤42.5，所以最多还能搭载材料42捆． 16．解：(1)当a＞0时，a＋a＞a＋0，即2a＞a； 当a＜0时，a＋a＜a＋0，即2a＜a.
(2)当a＞0时，由2＞1，得2·a＞1·a，即2a＞a； 当a＜0时，由2＞1，得2·a＜1·a，即2a＜a. 17．解：∵x－y＝－3，∴x＝y－3. 又∵x＜－1，∴y－3＜－1， ∴y＜2.
又∵y＞1，∴1＜y＜2.① 同理，得－2＜x＜－1.② 由①＋②，得1－2＜y＋x＜2－1. ∴x＋y的取值范围是－1＜x＋y＜1. 【关键问答】
①天平的状态保持不变，它对应不等式的性质1，即不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
②不等式的性质3. ③x>a或x
