初升高初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

1 绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对

a(a0)值是他的相反数，0的绝对值是0，即a0(a0)⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

a(a0)⑷两个绝对值不等式:|x|a(a0)axa；|x|a(a0)xa或xa

2 乘法公式：⑴平方差公式：a⑵立方差公式：a⑶立方和公式：a332b2(ab)(ab)

b3(ab)(a2abb2) b3(ab)(a2abb2)

23⑷完全平方公式：(ab)⑸完全立方公式：(ab)a22abb2，(abc)2a2b2c22ab2ac2bc a33a2b3ab2b3

3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程axb解的讨论①当a0时，方程有唯一解xb；②当a0，b0时，方程无解 a ③当a0，b0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 6 不等式与不等式组（1）不等式：

①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 7 一元二次方程：ax2bxc0(a0)①方程有两个实数根 b24ac0

00②方程有两根同号  ③方程有两根异号 ccxx0xx01212aabc④韦达定理及应用：x1x2,x1x2

aab24ac2222x1x2(x1x2)2x1x2, x1x2(x1x2)4x1x2

aa3322x1x2(x1x2)(x12x1x2x2)(x1x2)(xx)3x1x212

8 函数（1）变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 .

.

y,x间的关系式可以表示成ykxb（b为常数，k不等于0）的形

式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比例函数。

（3）一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当k0， bO，则经2、3、4象限；当k0，b0时，则经1、2、4象限；当k0， b0时，则经1、3、4象限；当k0， b0时，则经1、2、3象限。④当k0时，y的值随x值的增大而增大，当k0时，y的值随x值的增大而减少。（4）二

（2）一次函数：①若两个变量

b24acb2b)次函数： ①一般式：yaxbxca(x(a0)，对称轴是x,顶2a4a2ab4acb2（－,)；②顶点式：ya(xm)2k(a0)，对称轴是xm,顶点是点是

2a4am,k；③交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中（x1,0），（x2,0）是抛物线与x轴

2b对称。②a02abb时，在对称轴 （x）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x）右侧；y的值

2a2a4acb2bb随x值的增大而增大。当x时，y取得最小值③a0时，在对称轴 （x）

4a2a2abb左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（x）右侧；y的值随x值的增大而减少。当x2a2a4acb2时，y取得最大值10 平面直角坐标系（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成

4a平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

的交点（5）二次函数的性质 ①函数

yax2bxc(a0)的图象关于直线x（2）平面直角坐标系内的对称点：设M(x1,y1)，M(x2,y2)是直角坐标系内的两点，

①若

M和

M'关于

x1x2y轴对称，则有y1y2。②若

M和

M'关于x轴对称，则有

x1x2x1x2。③若和关于原点对称，则有。 MM'y1y2y1y2x1y2④若M和M'关于直线yx对称，则有。

y1x2x12ax2x22ax1xa⑤若M和M'关于直线对称，则有或。

yyyy1212

衔接知识点的专题强化训练

★ 专题一 数与式的运算

【要点回顾】1．绝对值

[1]绝对值的代数意义： ．即|a| ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：[4]

两

个

绝

对

值

不

ab表示 的距离．

等

式

:

|x|a(a0)；

.

.

|x|a(a0)．2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1](abc)[公式2][公式3]

说明:上述公式均称为“乘法公式”．3．根式 [1]式子(1) (2

a3b3(立方和公式) a3b3 (立方差公式)

a(a0)叫做二次根式，其性质如下：

b ． a[2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a的平方根，记作xa(a0)，

a)2 ；(2) a2 ；(3) ab ； (4) 其中a(a0)叫做a的算术平方根．

3a [3]立方根的概念： 叫做a的立方根，记为x4．分式[1]分式的意义 形如式

AA的式子，若B中含有字母，且B0，则称为分式．当M≠0时，分BBA具有下列性质： （1） ； （2） ． BmnpAA[2]繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如

2mBBnp， [3]分

母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）例2 计算：

x21 （2）x1x3＞4．

1111112x)2 （2）(mn)(m2mnn2)

352251044222222（3）(a2)(a2)(a4a16) （4）(x2xyy)(xxyy)

123例3 已知x3x10，求x3的值．

x111111例4（选做） 已知abc0，求a()b()c()的值．

bccaab（1）(x2例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

（1） 323 （2） (1x)2(2x)2 (x1)

xx38x2

（3） 11 ab

（4） 2例6 设x232333，求xy的值． ,y2323.

.

x23x96xx1x例7 化简：（1） （2）【巩固练习】 221xx279xx62xx1xx解不等式 x3x27

x2xyy211,y设x，求代数式的值．

xy3232aba2b222（选做）当3aab2b0(a0,b0)，求baab5142（选做）设x，求xx2x1的值．

2（选做）计算(xyz)(xyz)(xyz)(xyz)

6．化简或计算： (3) (1) (的值．

18411321 (2) 2 )2(25)22332352 (4) (xxxyxxyy2xyyxxyyabababab)()

ababbabaab★ 专题二 因式分解【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 1．公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式： ；[2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4]

(abc)23[5]

a3b3(立方

和公式)[6] ab3 (立方差公式)

2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法 （1）x2(pq)xpq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和． ∵x∴x22(pq)xpqx2pxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq)， (pq)xpq(xp)(xq)

2运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． （2）一般二次三项式axbxc型的因式分解

2由a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，

a1写成a21cc2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，

常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2如果它正好等于.

2axbxc一次项系数的b，那么

2axbxc可以分解成就

.

(a1xc1)(a2xc2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，

从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法【例题选讲】

b81b4；(2) a7ab6

2222222 例2 （分组分解法）分解因式：（1）ab(cd)(ab)cd （2）2x4xy2y8z

例1 （公式法）分解因式：(1) 3a35x24 (2) x22x15

22 (3) xxy6y (4)

例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) x2(x2x)28(x2x)12

例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 12x例5 （拆项法）分解因式x

1．把下列各式分解因式：

(1) ab(c (3) x4225x2 ；(2) 5x26xy8y2

33x24【巩固练习】

(2) x2d2)cd(a2b2) 4mx8mn4n2

 （选做）(4) x311x231x21 （选做） (5) x34xy22x2y8y3

21222222．已知ab,ab2，求代数式ab2abab的值．3．现给出三个多项式，xx1，

32121x3x1，x2x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解. 2232234．（选做）已知abc0，求证：aacbcabcb0．

★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式

一元二次方程ax由于可以用b22bxc0 (a0)，用配方法将其变形为： ．

4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b24ac叫做一元二次方程

ax2bxc0 (a0)的根的判别式，表示为：b24ac

2

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有

[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ； [2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ； [3]当Δ 0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程ax2bxc0 (a0)的两个根为

x1,x2，那么：x1x2,x1x2 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0．

2

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

222

所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x＋px＋q＝0的两

2

根，所以，x1，x2也是一元二次方程x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

2

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 【例题选讲】

例1 已知关于x的一元二次方程3x2xk0，根据下列条件，分别求出k的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．

2.

.

y满足x2y2xy2xy10，试求x、y的值． 2例3 若x1,x2是方程x2x20070的两个根，试求下列各式的值：

1122； (3) (x15)(x25)； (4) |x1x2|． (1) x1x2； (2)

x1x2例2 （选做） 已知实数x、例4 已知x1,x2是一元二次方程4kx4kxk10的两个实数根．

3(1) 是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明

2理由． (2) 求使

2x1x22的值为整数的实数k的整数值． x2x1解：(1) 假设存在实数

2k，使

(2x1x2)(x132x2)2成立．∵ 一元二次方程

4k04kx4kxk10的两个实数根，∴ k0，又

2(4k)44k(k1)16k0x1x21x1,x2是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根，∴ k1

x1x24k∴

(2x1x2)(x12x2)2(x12x22)5x1x22(x1x2)29x1x2但kk939k，4k250．

3成立． 2x1x2x12x22(x1x2)24k4(2) ∵ 2244x2x1x1x2x1x2k1k1∴不存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)∴ 要使其值是整数，只需k1能被4整除，故k的值为整数的实数k的整数值为2,3,5． 【巩固练习】1．若x1,x2是方程2x

A．2

211,2,4，注意到k0，要使

x1x22x2x16x30的两个根，则

C．

11x1x2

的值为( )

9 2222．若t是一元二次方程axbxc0 (a0)的根，则判别式b4ac和完全平方式M(2atb)2的关系是( ) A．M B．M C．M D．大小关系不能确定

223．设x1,x2是方程xpxq0的两实根，x11,x21是关于x的方程xqxp0的两实根，则p= ___ __ ，q= _ ____ ．

24．已知实数a,b,c满足a6b,cab9，则a= ___ __ ，b= _____ ，c= _____ ．

B．2

D．

5．已知关于

12x的方程x23xm0的两个实数根的平方和等于

(k3)x2kmxm26m40有实数根．

211，求证：关于

x的方程

6．若x1,x2是关于x的方程x(2k1)xk210的两个实数根，且x1,x2都大于1．

.

.

(1) 求实数k的取值范围；(2) 若

x11，求k的值． x22专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】

1．平面直角坐标系

[1] 组成平面直角坐标系。 叫做x轴或横轴， 叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点o称为直角坐标系的原点。 [2] 平面直角坐标系内的对称点：

对称点或对称直线方程 对称点的坐标 记为：ykxb(k、b是常数，k≠0) y是x的一次函数，

x轴 y轴 原点 点(a,b) 直线x直线直线直线2．函数图象

[1]一次函数： 称

特别的，当b=0时，称

a yb yx yx y是x的正比例函数。

[2] 正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是 的一条直线，当 时，

图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而 ；当 时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而 ． [3] 一次函数的图象与性质：函数行的一条直线.设而 ．

[4]反比例函数的图象与性质：函数

ykxb(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平

ykxb(k≠0)，则当 时，y随x的增大而 ；当 时， y随x的增大

yk(k≠0)是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限，在每个x象限中，y随x的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而 ．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线yx与yx；又是中心对称图形，对称中心是原点．【例题选讲】 例1 已知A(1)

2,y1、Bx2,3，根据下列条件，求出A、B点坐标．

A、B关于x轴对称；(2) A、B关于y轴对称；(3) A、B关于原点对称．

例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若

ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。 例3如图，反比例函数

y

k

，3)，B(n，1)两点．的图象与一次函数ymxb的图象交于A(1

x

y A O x （1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 解：

【巩固练习】

m1．函数ykxm与y(m0)在同一坐标系内的图象可以是（ ）

xB 图（12） .

.

O y x O y x O y x O y x A． 求B,C,D点的坐标． 3．（选做）如图，已知直线坐标为4． （1）求k的值；

B． C． D． 2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知

AB6，AD22，y1kx与双曲线y(k0)交于A，B两点，且点A的横2xk，若由点P为(k0)于P，Q两点（P点在第一象限）

x （2）过原点O的另一条直线l交双曲线y顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标． 专题五 二次函数

【要点回顾】

2

1． 二次函数y＝ax＋bx＋c的图像和性质 22

问题[1] 函数y＝ax与y＝x的图象之间存在怎样的关系？

22

问题[2] 函数y＝a(x＋h)＋k与y＝ax的图象之间存在怎样的关系？

2

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： 由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋

2

2

y A O x B )＋c－

bxa)＋c＝a(x＋

2

bxa＋

b24a2b2b2b24aca(x)， 所以，y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数4a2a4a22

y＝ax2的图象

作左右平移、上下平移得到的，二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

2

[1]当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直

线 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，函数取最小值 ． 2

[2]当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，函数取最大值 ．

y bx＝－ 2ay b4acb2,) A(2a4aO x O x＝－x

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 2．二次函数的三种表示方式 [1]二次函数的三种表示方式：

（1）．一般式： ； （2）．顶点式： ； （3）．交点式： ．

说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，.

b4acb2,) A(2a4ab 2a.

可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

①给出三点坐标可利用一般式来求；

②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．

③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0).(x2,0)时可利用交点式来求． 3．分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 【例题选讲】

2

例1 求二次函数y＝－3x－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： x /元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 例3 已知函数

yx2,2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值

和最小值时所对应的自变量x的值．

例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)． 例5 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．

分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．

解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为

80,x160xy240,x320x400,x(0,20](20,40](40,6 0](60,80](80,100]y(分) 400 320 240 160 80 O 20 40 60 80 100 x(克) 图2.2－ 9

由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示．

【巩固练习】1．选择题：

2

（1）把函数y＝－(x－1)＋4的图象的顶点坐标是 （ ） （A）（－1，4） （B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4）

2

（2）函数y＝－x＋4x＋6的最值情况是 （ ） （A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大值10 （D）有最大值2

2

（3）函数y＝2x＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是 （ ） （A）－3≤y≤1 （B）－7≤y≤1

.

.

（C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜11 2．填空：

（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达

式为 ．

（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ． 3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，0），C（1，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，2），且与x轴两交点间的距离为4．

4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？

5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点

A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

（1）求函数y的解析式； （2）画出函数y的图像； D C （3）求函数y的取值范围．

P ★ 专题六 二次函数的最值问题

【要点回顾】

A B 1．二次函数

yax2bxc (a0)的最值．

图2.2－10 二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时，函数在x，无最小值．

b处取得最小值，无最2a4acb2b大值；当a0时，函数在x处取得最大值

4a2a2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．

n）的最值．

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：xx0；

如：

第二步：讨论： [1]若ayax2bxc在mxn（其中m0时求最小值或a0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即x0m，即对称轴在mxn的左侧； ②对称轴mx0n，即对称轴在mxn的内部； ③对称轴大于n即x0n，即对称轴在mxn的右侧。

[2] 若a0时求最大值或a0时求最小值，需分两种情况讨论：

mn①对称轴x0，即对称轴在mxn的中点的左侧；

2mn②对称轴x0，即对称轴在mxn的中点的右侧；

2.

.

说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，

参考例4。

【例题选讲】例1求下列函数的最大值或最小值． （1）

y2x23x5； （2）yx23x4．

1的最大值和最小值．例3当x0时，求函数x2时，求函数yx2xyx(2x)的取值范围．

125例4当txt1时，求函数yxx的最小值(其中t为常数)．

22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

125解：函数yxx的对称轴为x1．画出其草图．

22125(1) 当对称轴在所给范围左侧．即t1时：当xt时，ymintt；

22(2) 当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时： 当时，x1125ym113； in22(3) 当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：当xt1时，

151ymin(t1)2(t1)t23．

222例2当1

例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价

122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t122x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润

y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

yx2(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，

图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

23．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的值．

24．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

1．抛物线

5．求关于x的二次函数

yx22tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

★ 专题七 不 等 式【要点回顾】 1．一元二次不等式及其解法

[1]定义：形如 为关于x的一元二次不等式． [2]一元二次不等式ax2bxc0(或0)与二次函数yax2bxc (a0)及一元二次方

.

.

程axbxc0的关系(简称：三个二次)．

（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象．

①如果图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根

2x1,x2(也可由根的判别式0来判断) ．则

②如果图象与

x轴只有一个交点(b,0)，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根2a

xxx2b2a(也可由根的判别式0来判断) ．则：

③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0来判断) ．则：

（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：

(1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根

x1,x2．那么“

0”型的解为

xx1或xx2(俗称两根之外)；“0”型的解为x1xx2(俗称两根之间)；

b24acb2)(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成axbxca(x2a4a2，结合完全平方

式为非负数的性质求解．

2．简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.

3．含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为axb 的形式．

bb；[2]当a0时，不等式的解为：x； aa[3]当a0时，不等式化为：0xb；① 若b0，则不等式的解是全体实数；② 若b0，

[1]当a0时，不等式的解为：x则不等式无解．【例题选讲】 例1 解下列不等式：(1) x例2 解下列不等式：(1) x

例4 解下列不等式：

(1)

22x60

(2) (x1)(x2)(x2)(2x1)

2x80 (2) x24x40 (3)

x2x20例3 已知对于任意实数x，kx22xk恒为正数，求实数k的取值范围．

2x30

x1 (2)

13 x2.

.

例5 求关于x的不等式mx22mxm的解．

解：原不等式可化为：m(m2)xm2

(1) 当m20即m2时，mx1，不等式的解为x(2) 当m20即m2时，mx1．

21； m ① 0m2时，不等式的解为x ② m0时，不等式的解为x1； m1； m ③ m0时，不等式的解为全体实数．

(3) 当m20即m2时，不等式无解． 综上所述：当m0或m2时，不等式的解为x11；当0m2时，不等式的解为x；当mmm0时，不等式的解为全体实数；当m2时，不等式无解．

【巩固练习】

1．解下列不等式：

(1) 2x22x0

(2) x23x180

(3) xx3x1 (4) x(x9)3(x3)

2．解下列不等式：

x1(1) 0

x1(1) x23x12 (2) 2 (3) 1

2x1x

(2)

2x2x10 (4)

2x13．解下列不等式：

1211xx04．解关于x的不等式235(m2)x1m．5．已知关于x的不等式mx2xm0的解是一切实数，求m的取值范围．

x2x36．若不等式12的解是x3，求k的值．

kk

2x2x22

.