(完整版)复数知识点总结(2)

一、复数的概念 1. 虚数单位i

（1） 它的平方等于1，即 i21；

（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律． （3） i的乘方： i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i,nN*，它们不超出bi的形式．

2. 复数的定义

形如abi(a,bR)的数叫做复数， a,b分别叫做复数的实部与虚部 3. 复数相等 abicdi，即ac,bd，那么这两个复数相等 4. 共轭复数

zabi时，zabi．

z1z2)z1z2(z20);

性质：zz；z1z2z1z2；z1z2z1z1； (二、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面

在直角坐标系里，点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi可用点Z(a,b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2. 复数的坐标表示 点Z(a,b)

uuur3. 复数的向量表示 向量OZ．

4. 复数的模

uuur

在复平面内，复数zabi对应点Z(a,b)，点Z到原点的距离OZ叫做复数z的模，

记作z．由定义知，za2b2．

三、复数的运算

1

1. 加法 (abi)(cdi)(ac)(bd)i．

uuuuruuuur几何意义： 设z1abi对应向量OZ1(a,b)，z2cdi对应向量OZ2(c,d)，则uuuuruuuurz1z2对应的向量为OZ1OZ2(ac,bd)．因此复数的和可以在复平面上用平行四边

形法则解释．

2. 减法 (abi)(cdi)(ac)(bd)i．

uuuuruuuur几何意义： 设z1abi对应向量OZ1(a,b)，z2cdi对应向量OZ2(c,d)，则uuuuruuuuruuuurz1z2对应的向量为OZ1OZ2Z2Z1(ac,bd)．

z1z2(ac)(bd)i(ac)2(bd)2表示Z1、Z2两点之间的距离，也

uuuur等于向量Z1Z2的模．

3. 乘法 abicdiacbdi.

n4. 乘方 zmznzmn (zm)nzmn (z1z2)nz1nz2

5. 除法 abicdi6. 复数运算的常用结论

abiabicdiacbdbcadi. 22cdicdicdicd（1） (abi)ab2abi， (abi)(abi)ab （2） (1i)2i， (1i)2i （3） 22222221i1ii， i 1i1iz1z1，zz． z2z2（4） z1z2z1z2， z1z2z1z2， （5） zzz， zz （6） z1z2z1z2z1z2

2（7） z1z2z1z2，z1z2z1z2，zz

nn四、复数的平方根与立方根

2

1. 平方根 若(abi)2cdi，则abi是cdi的一个平方根，(abi)也是

） cdi的平方根． （1的平方根是i．

2. 立方根 如果复数z1、z2满足z13z2，则称z1是z2的立方根．

（1） 1的立方根： 1,,．

212313i，2i，31． 120． 2221313i,zi． 2222（2） 1的立方根： 1,z五、复数方程

1. 常见图形的复数方程

（1） 圆：zz0r（r0，z0为常数），表示以z0对应的点Z0为圆心，r为半径的圆 （2） 线段Z1Z2的中垂线：zz1zz2（其中z1,z2分别对应点Z1,Z2）

（3） 椭圆： zz1zz22a（其中a0且z1z22a），表示以z1,z2对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a的椭圆

（4） 双曲线： zz1zz22a（其中a0且z1z22a），表示以z1,z2对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a的双曲线

2. 实系数方程在复数范围内求根

bb24ac0 一对实根x1,22ab（1） 求根公式：0 一对相等的实根x1,2

2abib24ac0 一对共轭虚根x1,22abxx12a（2） 韦达定理：

xxc12a

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