SI 传染病模型
1. 模型的建立
由题意知道：在此环境中仅存在健康者（即易感者）和已感者（即病人） ，且在 t 时刻人数分别为 S(t),L(t), 不考虑人口的出生与死亡， 此环境中的人口数量
不变 N 即 K ，于是在单位时间内每天每个病人感染的人数 病人的增加率，所以有：
dL dt
S（ t）L（t），它是
= *S t *L t L 0 =L1
(1)
在 t 时刻健康者与已感者满足关系式： S t +L t = 此模型满足 Logistic 模型，所以它的解为：
L （ t） =1/1+((1/L1)-1)*exp(- 1.求平衡点
(2)
*t)
syms r S L K y y=r*L*(K-L); solve(y) ans = 0
SIS 传染病模型
1. 模型假设 SIS 模型的假设条件 1.2 与 SI 模型相同，增加的条件为： 每天被治
1
愈的病人数占病人的总数为 m ，此称为日治愈率。 病人治愈后仍然可以成为被感染的健康者，显然，平均传染期为 1/m 。
2. 模型建立 此模型可以修整为 ：（ a 代表 ）
dL t
dt
a * S t * L t m * L t L t S t K L 0 L1
求平衡点：（ s, l ，k 分别代表 S， L ，K ）
syms a t s l m k f f=a*l*(k-l)-m*l; solve(f) ans = -a*(-k+l)
a
1. 大于时的图像
b
, a 10, b 0.8
di/dt 与 i的 变 化 关 系
3 2.5
)
率 化 变 的 间
时 对
2
1.5
1
例
比
病
人
t
(
0.5
/di
d
0
-0.5
-1 0
0.1 0.2 0.3
0.4 0.5
I(病人比例)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
2. 小于 1 时的图像 a 0.2, b 0.8
2
di/dt 与 i的 变 化 关 系
0
data1
-0.2 -0.4 )
率
比 -0.6
的
间
-0.8
时
对 -1 例 比 -1.2人
病
(
t
d
-1.4
/i
d
-1.6 -1.8 -2 0
0.2 0.4 0.6
0.8 1 1.2
病 人 比 例 i
1.4 1.6 1.8 2
三． SIR 模型
模型假设：在 SIS 模型中我们增加：人群可分为健康者，病人，病疫免疫的
移出者，且三种人群的数量分别为
S t ， L t ， R t ；病人的日接触率和日治
愈率分别为 ， m 所以传染期为
m
1. 模型建立
dL t dt dS t
a * S t * L t
m * L t
L t
S t
K
L0L1
(1)
dt
a * S t * L t S 0 K L 0
(2)
求平衡点
syms a t s l m k
[s,l]=solve('a*l*(k-l)-m*l','-(a*s*(k-s))') s = a*k-a*l a*k-a*l l = 0 k
健康者与病人数量在总人数中的比例
s t
， i t 对时间的变化关系图为：
3
1 0.9 0.8 0.7 0.6
健康者与病人各占比例随时间的变化关系
病 人 数 量 占 总 人 数 的 比 例 i(t)
健 康 者 占 总 人 口 的 比 例 s(t)
例 0.5 比
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
5 10 15 20
25 时 间
30 35 40 45 50
健康者与病人各自占总人数的比例间的相互关系：
i-s 的 图 形 （ 相 轨 线 ）
1
健康者与病人各自占总人数的比例间的相互关系
0.9 0.8 例 0.7 比
的
数人
总
0.6
0.5
占
所
0.4
者
康 0.3 健
0.2 0.1 0 0
0.05 0.1
0.15 0.2 0.25 病人所占总人数的比例
0.3 0.35 0.4
4
