全称量词命题与存在量词命题的否定
基础知识
1．命题的否定
(1)定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．
(2)结论：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然． 2．存在量词命题的否定 存在量词命题p ∃x∈M，p(x) 3．全称量词命题的否定 全称量词命题q ∀x∈M，q(x) 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( C ) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0
解析：命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”是全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题的否定是∃x∈R，|x|＋x2<0.
2．“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”的否定是( C ) A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020 B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020 C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020 D．以上都不对
解析：命题“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题的否定是∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020. 3．设命题p：∀x∈(－1,1)，|x|<1，则¬p为( B ) A．∃x∈(－1,1)，|x|<1 C．∀x∈(－1,1)，|x|≥1
B．∃x∈(－1,1)，|x|≥1 D．∀x∉(－1,1)，|x|≥1
¬q __∃x∈M，¬q(x)__ 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 ¬p __∀x∈M，¬p(x)__ 结论 存在量词命题的否定是全称量词命题 解析：命题p是全称量词命题，其否定¬p为∃x∈(－1,1)，|x|≥1.
4．设命题p：有些三角形是直角三角形，则¬p为__任意三角形不是直角三角形__. 解析：命题p是存在量词命题，¬p为任意三角形不是直角三角形． 5．命题“∃x<1使得x2≥1”是__真__命题．(选填“真”或“假”)
类型 存在量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■
典例1 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)p：存在x∈R,2x＋1≥0； 1
(2)q：存在x∈R，x2－x＋<0；
4(3)r：有些分数不是有理数．
思路探究：把存在量词改为全称量词，然后否定结论． 解析：(1)任意x∈R,2x＋1<0，为假命题． 1
(2)任意x∈R，x2－x＋≥0.
4
11
因为x2－x＋＝(x－)2≥0，是真命题．
42(3)一切分数都是有理数，是真命题． 归纳提升：1.存在量词命题否定的步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．
(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． ┃┃对点训练__■
1．将本例(2)改为：q：存在x∈R，x2－x－1<0，写出它的否定，并判断真假． 解析：任意x∈R，x2－x－1≥0.
15
因为x2－x－1＝(x－)2－，所以不能判断其值大于等于零，为假命题．
24类型 全称量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■
典例2 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)∀n∈N，n2≤2n.
思路探究：把全称量词改为存在量词，然后否定结论． 解析：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行． (2)∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根． (3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)∃n∈N，n2>2n.
归纳提升：1.全称量词命题否定的步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． ┃┃对点训练__■
2．写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)p：∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2； (2)q：∀x∈R，x3＋1≠0； (3)r：所有分数都是有理数．
解析：(1)¬p：∃x∈{－2，－1,0,1,2}，
|x－2|<2.例如当x＝2时，|x－2|＝0<2，¬p是真命题． (2)¬q：∃x∈R，x3＋1＝0.
例如当x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬q是真命题．
(3)¬r：存在一个分数不是有理数．由r是真命题可知¬r是假命题． 易混易错警示 写命题的否定时忽略隐含的量词 ┃┃典例剖析__■
典例3 写出下列命题的否定： (1)可以被5整除的数，末位数字是0； (2)能被3整除的数，也能被4整除．
错因探究：本题易忽略命题中存在的隐含量词，如“可以被5整除的数”实际上含有全称量词“任何一个”，注意要在否定时改为“存在”．事实上，对于(1)，通常会错解为“可以被5整除的数，末位数字不是0”，而原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此
命题的否定错误；(2)的易错点与(1)相仿，易错解为“能被3整除的数，不能被4整除”． 解析：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：存在可以被5整除的数，末位数字不是0.
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除． 误区警示：由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈m，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x∈M，¬p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．
学科核心素养 全称量词命题、存在量词命题为假命题时求参数问题 ┃┃典例剖析__■
已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为¬p是真命题后，再求参数的值或取值范围．
(1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合法求参数范围(值)，也可用分离参数法求参数范围(值)．
(2)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)． 典例4 已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围． 思路探究：命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．
解析：方法一：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题， 即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立， 设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知， 当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1， 即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
方法二：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题， 设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，
只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
课堂检测·固双基
1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( C ) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”． 2．命题“对任意x∈R，都有x2＋2x＋3>0”的否定为( A ) A．存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0 B．对任意x∈R，都有x2＋2x＋3≤0 C．存在x∈R，使得x2＋2x＋3>0 D．不存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0
解析：命题的否定为“存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0”． 3．“∀x>0，x2＋1>|x＋1|”的否定是__∃x>0，使x2＋1≤|x＋1|__.
解析：根据含有量词的命题的否定的规则，可以写出：∃x>0，使x2＋1≤|x＋1|.
4．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，命题“对于任意a>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上”的否定是__存在一个a>0，使二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下__. 5．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)p：不论m取何实数，方程3x2－2x＋m＝0必有实数根； (2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0； (3)r：等圆的面积相等，周长相等．
解析：(1)全称量词命题p：∀m∈R，方程3x2－2x＋m＝0有实数根，该命题的否定是存在量词命题，¬p：∃m∈R，使得方程3x2－2x＋m＝0没有实数根． 1
当Δ<0，即m>时，方程没有实数根，所以¬p是真命题．
3(2)命题q的否定是全称量词命题¬q：∀x∈R，x2＋x＋1>0. 13
易知(x＋)2＋>0恒成立，所以¬q是一个真命题．
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(3)命题r的否定是¬r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知¬r是一个假命题．
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．命题“对任意x∈R，都有|x＋1|＋|x－2|≥3”的否定为( A ) A．存在x∈R，使得|x＋1|＋|x－2|<3
B．对任意x∈R，都有|x＋1|＋|x－2|<3 C．存在x∈R，使得|x＋1|＋|x－2|≥3 D．不存在x∈R，使得|x＋1|＋|x－2|<3
解析：命题的否定为“存在x∈R，使得|x＋1|＋|x－2|<3”．
2．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果p：a∈(A∪B)，那么“¬p”是( D ) A．a∈A C．a∉(A∩B)
B．a∈∁UB
D．a∈[(∁UA)∩(∁UB)]
解析：“p或q”的否定是“非p且非q”，所以“a∈(A∪B)”的否定为“a∉A且a∉B”，即“a∈[(∁UA)∩(∁UB)]”．
3．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定是( D ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1
解析：将“∀x∈R”改为“∃x∈R”，“∃n∈N*”改为“∀n∈N*”，“ n≥2x＋1”改为“n<2x＋1”即可．
1
4．若x是不为零的实数，则命题∀m∈[0,1]，x＋≥2m的否定形式是( D )
x1
A．∀m∈[0,1]，x＋<2m
x1
B．∃m∈[0,1]，x＋≥2m
x
1
C．∃m∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x＋≥2m
x1
D．∃m∈[0,1]，x＋<2m
x
11
解析：∀m∈[0,1]，x＋≥2m的否定是∃m∈[0,1]，x＋<2m，全称量词命题的否定是换量词，
xx否结论，不改变条件．故选D．
5．若命题“∃x0∈R，x20＋2mx0＋m＋2<0”为假命题，则m的取值范围是( C ) A．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C．[－1,2]
B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2)
2
解析：依题意得：∀x0∈R，x20＋2mx0＋m＋2≥0，Δ＝(2m)－4(m＋2)≤0
解得：－1≤m≤2，即m∈[－1,2]． 二、填空题(每小题5分，共15分)
26．“∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0”的否定是__∀x∈R，x＋2x＋2>0__.
解析：这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，故该命题的否定为∀x∈R，x2＋2x＋2>0.
7．静宁一中开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m的取值范围是否一致？__是__(填“是”或“否”)
解析：原命题是假命题，则该命题的否定是真命题，所以两位同学所出的题中m的取值范围是一致的．
8．已知非空集合M，P，则下列条件中，能得到命题“M⊆P”是假命题的是__④__. ①∀x∈M，x∉P； ②∀x∈P，x∈M；
③∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉P； ④∃x∈M，x∉P.
解析：M⊆P等价于∀x∈M，x∈P，因为“M⊆P”是假命题，所以其否定为∃x∈M，x∉P，它是真命题，故能得到“M⊆P”是假命题的条件是∃x∈M，x∉P.故只有④符合条件． 三、解答题(共20分)
9．(10分)命题p：存在x>a，使得2x＋a<3.若命题p为假命题，求实数a的取值范围． 解析：命题p为假命题，则¬p：任意的x>a，都有2x＋a≥3为真命题．由此可得2a＋a≥3，即a≥1.所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．
10．(10分)命题p是“对任意实数x，有x－a>0或x－b≤0”．其中a，b是常数． (1)写出命题p的否定；
(2)a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解析：(1)根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，¬p：∃x∈R， 满足x－a≤0且x－b>0.
x－a≤0，(2)由得bx－b>0，所以当a>b时，命题p的否定为真．
