工程数学复习题及答案

广播电视大学2005～2006学年度第一学期“开放本科”期末考试

水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题

2006年1月

一、单项选择题(每小题3分，共21分)

1. 设A,B均为3阶可逆矩阵，且k>0，则下式（ ）成立． A. ABAB C. AB1AB 2. 下列命题正确的是（ ）．

A．n个n维向量组成的向量组一定线性相关；

B．向量组1,2,,s是线性相关的充分必要条件是以1,2,,s为系数的齐次线性方程组

B. ABAB D. kAkA

k11k22kss0有解

C．向量组1,2,,s,0的秩至多是s

D．设A是mn矩阵，且mn，则A的行向量线性相关 3．设AA．1，1

15，则A的特征值为（ ）。 51

B．5，5

C．1，5

D．-4，6

4．掷两颗均匀的股子，事件“点数之和为3”的概率是（ ）。 A．

1 36 B．

1 18 C．

1 12 D．

1 115．若事件A与B互斥，则下列等式中正确的是（ ）。 A． P(AB)P(A)P(B) C． P(A)P(A|B)

2B． P(B)1P(A) D． P(AB)P(A)P(B)

2

6．设x1,x2,x3,x4是来自正态总体N(,)的样本，其中已知，未知，则下列（ ）不是

统计量．

14A．xi

4i1

B．x1x42

第 1 页 共 52 页

C．

12(xx)ii142；

142D．(xix)

4i17. 对正态总体N(,)的假设检验问题中，检验解决的问题是（ ）． A. 已知方差，检验均值 B. 未知方差，检验均值 C. 已知均值，检验方差 D. 未知均值，检验方差

二、填空题(每小题3分，共15分)

1．已知矩阵A，B，C=(cij)mn满足AC = CB，则A与B分别是__________________矩阵。

2x1x2x3x432．线性方程组x13x22x34x46一般解的自由未知量的个数为__________________。

2xxx31343．设A，B为两个事件，若P (AB)=P(A)P(B)，.则称A与B__________________。 4. 设随机变量X~120，则E(X)= __________________。 0.40.30.3225．矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为x1,x2,x3,x4,x5(百分数)，设铜含量服从N(,),未知，检验0，则区统计量__________________。

三、计算题(每小题10分，共60分)

120111211421,B，求（1） A；1．设矩阵A（2）(IA)B

020101143112

2. 设齐次线性方程组AX0的系数矩阵经过初等行变换，得

2010

A02320000求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解．

223．用配方法将二次型f(x1,x2,x3)x13x32x1x22x1x36x2x3化为标准型，并求出所作的满秩

变换。

4．假设A,B是两个随机事件，已知P(A)0.4,P(B)0.5,P(BA)0.45，求⑴P(AB)；⑵

P(AB)

第 2 页 共 52 页

kx25. 设随机变量X的密度函数为f(x)021x2其它，求⑴k；⑵E(X),D(X)。

6. 某一批零件重量X~N(,0.2)，随机抽取4个测得长度（单位：cm）为

14.7, 15.1, 14.8, 15.2

可否认为这批零件的平均长度为15cm(0.05)(已知u0.9751.96)？

四、证明题（本题4分）

设n阶矩阵A满足(AI)(AI)O，则A为可逆矩阵

第 3 页 共 52 页

参考解答

一、单项选择题(每小题3分，共21分) 1．B 2．C

3．D

4．B

5．A

6．C

7．D

二、填空题(每小题3分，共15分) 1． ss,nn 2．2 3．相互 4．0.9 5．x0s/5

三、计算题(每小题10分，共60分)

120112011．解：（1）A2114211402010201

143171013121100=02102125

711371130201（2）因为 (IA)=2214

021114300201112214215所以 (IA)B=202110114530129第 4 页 共 52 页

453． 0

2010101/202．解： 因为 0232013/21 000000001xx312得一般解： 3x2x3x42（其中x3,x4是自由元）

令x32,x40，得X1132令x30,x41，得X20所以，X1,X20；

101．

是方程组的一个基础解系．

方程组的通解为：Xk1X1k2X2，其中k1,k2是任意常数．

3．解：

4．解：（1）P(AB)=P(BA)P(A)=0.450.4=0.18 （2） P(AB)1P(AB)

1[P(A)P(B)P(AB)]

第 5 页 共 52 页

1[0.40.50.18]0.28

5．解：（1）因为 1=

kf(x)dx=kx2dx=x31322= 3 k

1所以 k =

1 321214(2) E(X) =xxdx=x131211212= xxdx135512D(X) = E(X2) - E(X)=

80E(X2) =

22=

15 4

6．解：零假设H0:15．由于已知，故选取样本函数

2

Ux~N(0,1)

n已知40.1

经计算得x14.9，x14.9151

0.1nx11.96u0.975

n已知u0.975196.，且故接受零假设，即可以认为这批零件的平均长度为15cm．

四、证明题（本题6分）

2证明： 因为 (AI)(AI)AI0，即AI

2所以，A为可逆矩阵．

试卷代号：1080

广播电视大学2011～2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学(本) 试题

2012年1月

第 6 页 共 52 页

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1． 设A，B为三阶可逆矩阵，且k0，则下列（ ）成立． A． ABAB

B．ABAB

C． AB1AB D．kAkA

2． 设A是n阶方阵，当条件（ ）成立时，n元线性方程组AXb有惟一解．

3．设矩阵A11的特征值为0，2，则3A的特征值为（ ）。 11

D．2，6

( )．

A．0，2 B．0，6 C．0，0 4．若随机变量XN(0,1)，则随机变量Y3X2

5． 对正态总体方差的检验用( )．

二、填空题(每小题3分，共15分)

11O6． 设A,B均为二阶可逆矩阵，则1B

A ． O第 7 页 共 52 页

8． 设 A， B 为两个事件，若P(AB)P(A)P(B),则称A与B ． 9．若随机变量XU[0,2]，则D(X) ．

10．若1,2都是的无偏估计，且满足 ______ ，则称1比2更有效。

三、计算题(每小题16分，共分)

234111111． 设矩阵A123，B111，那么AB可逆吗？若可逆，求逆矩阵(AB)．

23123012．在线性方程组

x12x23x3x1x23 2x3x5x1231中取何值时，此方程组有解。在有解的情况下，求出通解。 13. 设随机变量XN(8,4),求P(X81)和P(X12)。

(已知(0.5)0.6915，(1.0)0.8413，(2.0)0.9773)

14. 某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为

0.15cm。从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）

10.4, 10.6, 10.1, 10.4

问：该机工作是否正常（0.05,u0.9751.96）？ 四、证明题（本题6分）

15. 设n阶矩阵A满足AI,AAI,试证A为对称矩阵。

第 8 页 共 52 页

2参考解答

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1、B 2、A 3、B 4、D 5、C

二、填空题(每小题3分，共15分)

三、计算题(每小题16分，共分)

第 9 页 共 52 页

第 10 页 共 52 页

试卷代号：1008

广播电视大学2005～2006学年度第二学期“开放本科”期末考试

水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题

2006年7月

一、单项选择题(每小题3分，共21分)

1．设A、B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) A．(AB)C．(AB)11 BA

B．(AB)1A1B1

1A1B1 D．A1B1A1B1

x1x2a12．方程组x2x3a2相容的充分必要条件是（ ），其中ai0,(i1,2,3)

xxa313A．a1a2a30 C．a1a2a30 3．设矩阵AA．0，2

B．a1a2a30 D．a1a2a30

11的特征值为0，2，则3A的特征值为（ ） 11

B．0，6

C．0，0

D．2，6

4. 设A,B是两个事件，则下列等式中（ ）是不正确的． A. P(AB)P(A)P(B)，其中A，B相互 B. P(AB)P(B)P(AB)，其中P(B)0 C. P(AB)P(A)P(B)，其中A，B互不相容 D. P(AB)P(A)P(BA)，其中P(A)0

5．若随机变量X与Y相互，则方差D(2X3Y)=（ ）． A．2D(X)3D(Y) C．4D(X)9D(Y)

2

B．2D(X)3D(Y) D．4D(X)9D(Y)

26. 设x1,x2,x3是来自正态总体N(,)(,均未知），那么下列（ ）不是统计量．

313A．xi； B．xi；

3i1i1C．x12x23x3；

13D．(xi)

3i1第 11 页 共 52 页

7．对正态总体方差的检验用( ) A．U检验法

二、填空题(每小题3分，共15分)

B．t检验法

C．x检验法

2 D．F检验法

11．设f(x)1112x22，则f(x)=0的根是______________________。

2x214,n线性表示，则表示方法惟一的充分必要条件是

2．若向量可由向量组1,2,1,2,,n______________________。

3．若事件A,B满足AB，则P(A-B)= ______________________。

k,0x14．设随机变量的概率密度函数为f(x)1x2，则常数k= ______________________。

0,其它1n5．设x1,x2,,x10是来自总体X~N(0,1)，且xxi，则x~ _________ ．

ni1

三、计算题(每小题10分，共60分)

23112311．设矩阵A011，B112，求：⑴AB；⑵A

001012x13x23x32x4x502．求齐次线性方一程组2x16x29x35x43x50的通解。

x3x3x2x023512223．用配方法将二次型f(x1,x2,x3)2x1x24x32x1x24x2x3化为标准型，并求出所作的满秩

变换。

4．假设A,B为两个随机事件，已知P(A)0.5,P(B)0.6,P(AB)0.2，求：⑴P(AB)；⑵P(AB)． 5．设随机变量X~N(4,1)．（1）求P(X42)；（2）若P(Xk)0.9332，求k的值． （已知(2)0.9775,(1)0.8413,(1.5)0.9332）．

6．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为0.15cm。从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）

10.4 10.6 10.1 10.4

问该机工作是否正常（=0.05，u0.975 =1.96）？

第 12 页 共 52 页

四、证明题（本题6分）

设向量组1,2,3线性无关，令1122,23223,3431，证明向量组1,2,3线性无关。

第 13 页 共 52 页

参考解答

一、单项选择题(每小题3分，共21分) 1．A 2．B

3．B

4．C

5．D

6．D

7．C

二、填空题(每小题3分，共15分) 1．1，-1，2，-2 2．线性无关 3．P(A)P(B) 4．

4 5．N(0,1n)

三、计算题(每小题10分，共60分) 1．解：

2．解：

第 14 页 共 52 页

3．解：

第 15 页 共 52 页

4．解：⑴因为ABBAB,BAB 所以，

P(AB)P(BAB)P(A)P(AB)

0.60.20.4⑵P(AB)P(A)P(B)P(AB)

5．解：（1）P(X42)＝1－P(X42)

= 1－P(2X42)＝1－（(2)(2)） = 2（1－(2)）＝0.045． （2）P(Xk)P(X4k4) ＝1－P(X4k4)

＝1－(k4)0.9332(1.5) (k4)1(1.5)(1.5) 即 k－4 = -1.5， k＝2.5．

6．解：令假设H0:10.5，由于已知0.15，故选取样本函数

=0.5+0.6-0.4=0.7

Ux/nN(0,1)

经计算得x10.375,n0.15 4

x10.37510.51.67

0.075/n1.96,且x1.671.96

1/n2由已知条件12故接受令假设，即该机工作正常。

四、证明题（本题6分）

第 16 页 共 52 页

试卷代号：1008

广播电视大学2006～2007学年度第一学期“开放本科”期末考试

水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题

2007年1月

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1.A,B都是n阶矩阵（n1)，则下列命题正确的是 ( ) ．

A．ABAB B．(AB)A2ABB

C．ABBA

D．若AB0，则A0或B0

2222．已知2维向量1,2,3,4，则r(1,2,3,4)至多是（ ）。 A．1

B．2

C．3

D．4

3.设AX0是n元线性方程组，其中A是n阶矩阵，若条件（ ）成立，则该方程组没有非0解． A. 秩(A)n B. A的行向量线性相关 C. A0

D. A是行满秩矩阵

4.袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ ）．

A.

6 25B.

3 10 C.

23 20 D.

9 255.设x1,x2,x3是来自正态总体X~N(,)的样本，则（ ）是无偏估计． A.

111x1x2x3 555113C. x1x2x3

555

二、填空题(每小题3分，共15分)

B. x1x2x3 D.

222x1x2x3 555第 17 页 共 52 页

1．设A,B是3阶矩阵，其中A6,B3,(AB1)3_________．

2．设A为n阶方阵，若存放在数和非零n维向量x，使得Axx，则称为A的 。 3．若P(A)0.8,P(BA)0.2，则P(AB) ． 4．设离散随机变量X~120，则a ．

0.20.5aˆ)，则称ˆ满足E(ˆ为的 ． 5. 若参数的估计量

三、计算题(每小题16分，共分)

013251．设矩阵A227,B01，I是3阶单位矩阵，且有(IA)XB，求X． 34830

2．求解线性方程组

x1x2x3x43x2x3x4234 3x12x2x39x452x1x23x38x410

的全部解。

3. 设X~N(3,4)，试求⑴P(5X9)；⑵P(X7)．（已知(1)0.8413,

(2)0.9772,(3)0.9987）

4．某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平005.，t0.05(8)2.306）？

四、证明题（本题6分）

设1,2,3是线性无关的，证明, 12,23,13也线性无关。

第 18 页 共 52 页

参考解答

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．A

二、填空题(每小题3分，共15分) 1．8 2．特征值 3．0.6 4．0.3 5．无偏估计

三、计算题(每小题16分，共分) 1．解：

2．B

3．D

4．B

5．C

第 19 页 共 52 页

2．解：

此时其次线性方程组化为：

3．解：⑴P(5X9)P(

53X393X3)P(13) 2222 (3)(1)0.99870.84130.1574 ⑵P(X7)P(X373) 22X3X32)1P(2) 221(2)10.97720.0228P(第 20 页 共 52 页

4. 解：零假设H0:100．由于未知，故选取样本函数 T2x~t(n1) sn已知x999.，经计算得

s0.47x99.9100016.，0.625

3016.9sn 由已知条件t0.05(8)2.306，

x0.6252.306t0.05(8) sn故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的．

四、证明题（本题6分）

证明： 设有一组数k1,k2,k3，使得

k1(12)k2(23)k3(13)0

成立，即(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)30，由已知1,2,3线性无关，故有

k1k30k1k20 kk032该方程组只有零解，得k1k2k30，故12,23,13是线性无关的． 试卷代号：1008

广播电视大学2006～2007学年度第二学期“开放本科”期末考试

水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题

2007年7月

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1.A,B都是n阶矩阵（n1)，则下列命题正确的是 ( ) ． A．ABBA

B．(AB)AB

第 21 页 共 52 页

C．(AB)AB

D．(AB)AB

11111022212. 向量组,,,,的秩是（ ）．

0033100041A. 2

B. 3 C. 4

D. 5

x1x213. 线性方程组解的情况是（ ）．

xx032A. 只有零解 B. 有唯一非零解 C. 无解

D. 有无穷多解

4. 下列事件运算关系正确的是（ ）． A. BBABA

B. BBABA

C. ABABA D. B1B

5. 设x1,x2,x3是来自正态总体N(,)(,均未知参数）的样本，则（ ）是统计量． A. x2 C.

二、填空题(每小题3分，共15分)

1. 设A,B是3阶矩阵，其中A3,B2，则2AB122 B.

x1x2x3 3x1

D. x1

 。

2．设A为n阶方阵，若存放在数和非零n维向量x，使得Axx，则称x为A相应于特征值的 。

3．若P(AB)0.9,P(A)0.8,P(B)0.4，则P(AB) 。 4．设随机变量X，若E(X)5. 设x1,x2,

三、计算题(每小题16分，共分)

3,E(X2)5，则D(X) 。

21n,xn是来自正态总体N(,)的一个样本，则xi~ 。

ni1123231．已知AXB，其中A357,B58，求X． 5810012．当取何值时，线性方程组

第 22 页 共 52 页

x42x1x2 x12x2x34x432x3xx5x22341有解，在有解的情况下求方程组的一般解． 3. 设随机变量X具有概率密度

23x,0x1f(x)

其它0,求E(X),D(X)．

4．已知某种零件重量XN(15,0.09)，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg）的平

均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（0.05,u0.9751.96）？

四、证明题（本题6分）

设A,B是两个随机事件，试证：P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)．

第 23 页 共 52 页

参考解答

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．D

2．B

3．D

4．A

二、填空题(每小题3分，共15分) 1．12 2．特征向量 3．0.3 4．2 5．N(,2n)

三、计算题(每小题16分，共分) 1．解：

2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

11012110121214301131

3152113220第 24 页 共 52 页

5．B

211101101201131

011310000300003由此可知当3时，方程组无解。当3时，方程组有解。 此方程组的一般解为：

x1x32x41 

xx3x1342

3．解：由期望的定义得

3 E(X)xf(x)dx3x3dxx404122141013 433 E(X)xf(x)dx3xdxx5

0505 由方差的计算公式有 D(X)E(X)E(X)22393 5168024．解：零假设H0:15，由于已知0.09，故选取样本函数

Ux/nN(0,1)

已知x14.9，经计算得

90.3x14.9150.1,1 30.1/n由已知条件0.9751.96，

x11.960.975

/n故接受零假设，即零件平均重量仍为15

四、证明题（本题6分） 证明：由事件的关系可知

BBUB(AA)ABAB

而(AB)(AB)，故由加法公式和乘法公式可知

第 25 页 共 52 页

P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA) 证毕． 试卷代号：1008

广播电视大学2007～2008学年度第一学期“开放本科”期末考试

水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题

2008年1月

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1.A,B都是n阶矩阵（n1)，则下列命题正确的是 ( ) ． A．(AB)A2ABB C．(AB)AB

222B．若AB0，且A0，则或B0 D．若ABAC，且A0，则BC

11022. 向量组0,1,2,3的秩是（ ）． 0037A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3. 若线性方程组AX0只有零解，则线性方程组AXb（ ）． A. 有唯一解

B. 无解

C. 有无穷多解 D. 接的情况不能断定

4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ ）．

A.

6 25B.

3 10C.

39 D. 20255．设f(x)和F(x)分别是随机变量X的分布密度函数和分布函数，则对任意aA. F(a)F(b)

二、填空题(每小题3分，共15分)

1. 设A是2阶矩阵，其中A9，3(A1) 。

2．设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量x，使得 ，则称x为A相应于特征值的特征向量。

3．若P（A）=0.8，P(AB)=0.5，则P(AB)＝ 。

第 26 页 共 52 页

B.

baf(x)dx C.

baF(x)dx D. f(b)f(a)

4. 设随机变量X，若D(X)3，则D(X3) ．

ˆ)D(ˆ)，则称ˆ比ˆ更 ． 5. 若参数的两个无偏估计量ˆ1和ˆ2满足D(1221

三、计算题(每小题16分，共分)

1102001．设矩阵A=121，B=050，求A1B。 2230052．求线性方程组

x13x22x3x413x8x4xx01234 2xx4x2x11234x12x26x3x42的全部解．

3. 设X~N(2,9)，试求⑴P(X11)；⑵P(5X8)． （已知(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987）

4. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度X~N(32.5,1.21)，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg／cm2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（0.05,u0.975196． .）

四、证明题（本题6分）

设A,B为随机事件，试证：P(A)P(AB)P(AB)

第 27 页 共 52 页

参考解答

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．C

2．B

3．D

4．D

5．B

二、填空题(每小题3分，共15分) 1．1 2．Axx 3．0.3 4．3 5．有效

三、计算题(每小题16分，共分) 1．解：

第 28 页 共 52 页

2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

132111321138410214210122305803

12612058031321110015 01223108000210120015000000000此时齐次方程组化为

x115x4 x28x4

x35x4令x41，得齐次方程组的一个基础解系 X115851

令x40，得非齐次方程组的一个特解 X016960

由此得原方程组的全部解为

XX0kX1 （其中k为任意常数）

3．解：⑴

P(X11)P(X231123)P(X2

33)(3)0.9987⑵

第 29 页 共 52 页

1696

0 P(5X8)P(52X282X2)P(2) 3333(2)(1)0.97720.84130.1359

4．解： 零假设H0:32.5．由于已知121.，故选取样本函数 U2x~N(0,1)

n已知x3112.，经计算得

9x3112.32.511.0.37，373. 30.37n 由已知条件u0.975196.，

x373.196.u0.975

n故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。

四、证明题（本题6分） 证明：由事件的关系可知

AAUA(BB)ABAB(AB)AB 而(AB)AB，故由概率的性质可知 P(A)P(AB)P(AB)

试卷代号：1080

广播电视大学2007～2008学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学(本) 试题

2008年7月

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1． 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）． A． (AB)1A1B1

B． ABAB

第 30 页 共 52 页

C． 2AB2nAB 2． 下列命题正确的是（ ）．

D． (AB)1B1A1

A．n个n维向量组成的向量组一定线性相关；

B．向量组1,2,,s是线性相关的充分必要条件是以1,2,,s为系数的齐次线性方程组

k11k22kss0有解

C．向量组1,2,,s,0的秩至多是s

D．设A是mn矩阵，且mn，则A的行向量线性相关

3． 设线性方程组AX=B的两个解为X1，X2，(X1X2)，则下列向量中( )一定是AX=B的解。

A． X1+X2

B． X1-X2 D． 2X2-X1

C． X1-2X2

4． 设X～N(50,102 )，则随机变量( )～N(0，1)． A．

X50 100X100 50 B．

X50 10X10 50C．

2 D．

5． 对正态总体N(,)的假设检验问题中，U检验解决的问题是( )． A． 已知方差，检验均值 C． 已知均值，检验方差

二、填空题(每小题3分，共15分)

1． 设A,B,C均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为A1

B． 未知方差，检验均值 D． 未知均值，检验方差

11,B1,C1，则(CAB) ．

2．线性方程组AX=b有解的充分必要条件是 ________ ． 3．若P(A)0.8,P(AB)0.5，则P(AB) ．

3x24．设随机变量X的概率密度函数为f(x)020x1其它，则P(X1) ． 21n5．设x1,x2,,xn是来自正态总体N(,)的一个样本，则xi~ ______ ．

ni1

三、计算题(每小题16分，共分)

第 31 页 共 52 页

010111． 已知XAXB，其中A111,B20，求X． 103532．k为何值时，线性方程组有解，并求出一般解．

3．已知P(A)111,P(BA),P(AB)，求P(AB)． 4324．随机抽取某班28名学生的数学考试成绩，得平均分数为x82分，样本标准差s = 8分，已知全年级的数学成绩服从正态分布，且平均分数为85分，试问在显著性水平005.下，能否认为该班的数学成绩为85分？（t0.05(27)2.052）

四、证明题（本题6分）

设随机事件A,B相互，试证：A,B也相互．

第 32 页 共 52 页

参考解答

一、单项选择题(每小题3分，共15分) DCDBA

二、填空题(每小题3分，共15分) 1．B(A)C 2．r(A)r([Ab]) 3．0.3 4．

111 85．N(，)

2n

三、计算题(每小题16分，共分) 1．解：X(IA)B

1021

且(I-A)-1121011由矩阵乘法得

02111132024

X=(I-A)-1B12101153332．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

当k=5时，方程组有解，且方程组的一般解为

第 33 页 共 52 页

3．解： P(AB)P(A)P(BA)1 12P(B)P(AB)1

P(AB)6 于是 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 4．解： 假设H0:85，H1:85 选取统计量 T1111 46123x0 sn

四、证明题（本题6分）

证明： P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)P(B)(1P(A)) P(A)P(B) 所以A,B也相互．

试卷代号：1080

广播电视大学2009～2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学(本) 试题

2010年7月

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

第 34 页 共 52 页

1． 设A，B都是n阶方阵，则下列命题正确的是（ ）． A． ABAB C． ABBA

B． (AB)A2ABB

222 D． 若ABO,则 AO 或 BO

11022． 向量组0，1，2，3的秩是（ ）． 0037A．1 B．3 C． 2 D．4

3． n元线性方程组，AXb有解的充分必要条件是（ ）。 A． r(A)r(Ab)

B．A不是行满秩矩阵 D．r(A)n

C． r(A)n

4． 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是 ( )．

A．

6 253 20 B．

3 109 25C． D．

5． 设x1,x2,A．

,xn是来自正态总体N(,2)的样本，则 ( )是无偏估计．

B．x1x2x3 D．

111x1x2x3 555113x1x2x3 555C．

222x1x2x3 555二、填空题(每小题3分，共15分)

1． 设A,B均为3阶方阵，且A2,B3,3AB1 ．

2．设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量x，使得 ___，则称为A的特征值． 3．设随机变量X1200.20.5a，则a ． 4．设X为随机变量，已知D(X)3，此时D(3X2) ． 5．设是未知参数的一个无偏估计量，则有 ______ ．

三、计算题(每小题16分，共分)

第 35 页 共 52 页

1122151． 设矩阵A235,B，且有AXB，求X． 011324x13x2x3x412x7x2xx212342．求线性方程组的全部解。

x14x23x32x412x14x28x32x423. 设X（1）P(5X9)；（2）P(X7)。 (已知(1)0.8413，(2)0.9772，N(3,4),试求

(3)0.9987)

4. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度X2N(32.5,1.21)，今从这批砖中随机地抽取了9

块，测得抗断强度（单位：kg/cm）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格

(0.05,u0.9761.96)？

四、证明题（本题6分）

设A、B是n阶对称矩阵，试证：AB也是对称矩阵。

第 36 页 共 52 页

参考解答

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1、A 2、B 3、A 4、D 5、C

二、填空题(每小题3分，共15分) 1．-18 2．Axx 3．0.3 4．27 5.E()

三、计算题(每小题16分，共分) 1．解：利用初等行变换得

第 37 页 共 52 页

2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

第 38 页 共 52 页

试卷代号：1080

广播电视大学2009～2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学(本) 试题

2010年7月

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1． 设A，B都是n阶方阵，则下列命题正确的是（ ）．

第 39 页 共 52 页

A． ABAB C． ABBA

B． (AB)A2ABB

222 D． 若ABO,则 AO 或 BO

11022． 向量组0，1，2，3的秩是（ ）． 0037A．1 B．3 C． 2 D．4

3． n元线性方程组，AXb有解的充分必要条件是（ ）。 A． r(A)r(Ab)

B．A不是行满秩矩阵 D．r(A)n

C． r(A)n

4． 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是 ( )．

A．

6 253 20 B．

3 109 25C． D．

5． 设x1,x2,A．

,xn是来自正态总体N(,2)的样本，则 ( )是无偏估计．

B．x1x2x3 D．

111x1x2x3 555113x1x2x3 555C．

222x1x2x3 555二、填空题(每小题3分，共15分)

1． 设A,B均为3阶方阵，且A2,B3,3AB1 ．

2．设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量x，使得 ___，则称为A的特征值． 3．设随机变量X1200.20.5a，则a ． 4．设X为随机变量，已知D(X)3，此时D(3X2) ． 5．设是未知参数的一个无偏估计量，则有 ______ ．

三、计算题(每小题16分，共分)

第 40 页 共 52 页

1122151． 设矩阵A235,B，且有AXB，求X． 011324x13x2x3x412x7x2xx212342．求线性方程组的全部解。

x14x23x32x412x14x28x32x423. 设X（1）P(5X9)；（2）P(X7)。 (已知(1)0.8413，(2)0.9772，N(3,4),试求

(3)0.9987)

4. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度X2N(32.5,1.21)，今从这批砖中随机地抽取了9

块，测得抗断强度（单位：kg/cm）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格

(0.05,u0.9761.96)？

四、证明题（本题6分）

设A、B是n阶对称矩阵，试证：AB也是对称矩阵。

第 41 页 共 52 页

参考解答

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1、A 2、B 3、A 4、D 5、C

二、填空题(每小题3分，共15分) 1．-18 2．Axx 3．0.3 4．27 5.E()

三、计算题(每小题16分，共分) 1．解：利用初等行变换得

第 42 页 共 52 页

2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

第 43 页 共 52 页

试卷代号：1080

广播电视大学2010～2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学(本) 试题

2011年1月

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1． 设A，B都是n阶方阵，则下列等式成立的是（ ）．

第 44 页 共 52 页

A． ABAB C． (AB)1

B． ABAB

A1B1 D． (AB)1A1B1

x1x2 a12． 方程组 x2x3a2相容的充分必要条件是（ ），其中ai0,(i1,2,3)．

x xa331

3．下列命题中不正确的是（ ）。 A．A与A有相同的特征多项式

B．若是 A 的特征值，则（I-A）X0的非零解向量必是 A 对应于的特征向量 C．若0是A的一个特征值，则AX=O 必有非零解 D．A 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量

4．若事件 A 与 B 互斥，则下列等式中正确的是( )．

5． 设x1,x2,,xn是来自正态总体N(51) ，的样本，则检验假设H0：=5采用统计量U= ( )．

二、填空题(每小题3分，共15分)

16． 设A=1112x22，则A0的根是 ．

2x2147．设4 元钱性方程提 AX=B 有解且r(A)1，那么AXB的相应齐次方程程的基础解系含有 ________个解向量。

8． 设 A， B 互不相容，且 P(A)>O ，则 P(B|A) ． 9．设随机变量XB(n,p)，则E(X) ． xn来自总体X10．若样本x1,x2,1nN(0,1)，且xxi，则x ______ ．

ni1第 45 页 共 52 页

三、计算题(每小题16分，共分)

100111． 设矩阵A111，求(AA)．

10112．求下列线性方程组的通解。

2x14x25x33x453x16x25x32x45 4x8x15x11x15234113. 设随机变量X（2）使P(Xa)0.9成立的常数a。 N(3,4),试求(1)P(1X7)；

(已知(1)0.8413，(2)0.9772，(3)0.9987)

14. 从正态总体N(,4)中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x2.5，求的置信区间度为，

99%的置信区间。（已知u0.9952.576） 四、证明题（本题6分）

15. 设n阶矩阵A满足(AI)(AI)O,则A为可逆矩阵。

第 46 页 共 52 页

参考解答

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1、A 2、B 3、D 4、A 5、C

二、填空题(每小题3分，共15分) 1．1,-1,2.,-2 2．3 3．0 4．np 5.N(0,)

三、计算题(每小题16分，共分)

1n

第 47 页 共 52 页

试卷代号：1080

广播电视大学2010～2011学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）

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工程数学(本) 试题

2011年7月

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1． 设A，B都是n阶方阵，则等式（ ）成立． A． ABAB B．ABBA

C． ABBA D．(AB)(AB)AB 2． 已知2维向量组1,2,3,4,则r(1,2,3,4)至多是（ ）。

22 A、1 B、2 C、3 D、4

x12x213．线性方程组解的情况是（ ）。

x22x30A．无解 B．有惟一非零解 C．只有零解 D．有无穷多解 4．对任意两个事件 A，B，等式( )成立．

A． (AB)BA B．(AB)BA C． (AB)BA D．(AB)BA 5． 设x1,x2,,xn是来自正态总体N(，2)的样本，则 ( ) 是统计量．

1nA． x2 B．xi

ni1C．

x1 D．x1

二、填空题(每小题3分，共15分)

1． 设A,B是3阶方阵，其中A3,B2,则2AB1 ．

2． 设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量x，使得Axx，则称为A的 ______。 3． 若P(AB)0.9,P(AB)0.2,P(AB)0.4，则 P(AB) ． 4．设随机变量X，若D(X)3,则D(X3) ．

5．若参数的两个无偏估计量1和2满足D(1)D(2)，则称2比1更 ______ ．

三、计算题(每小题16分，共分)

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122121． 设矩阵A110,B11，AXB,求X． 13504x13x22x302．设齐次线性方程组2x15x23x30，为何值时，方程组有非零解？在有非零解时求其通解。

3x8xx02313. 设X1230（2）P(X2)。 0.40.30.20.1,求(1)E(X)；

4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径

的平均值为99.9mm，样本标准差s=0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格？（检验显著性水平=0.05，t0.05(8)2.306） 四、证明题（本题6分）

设A是可逆的对称矩阵，试证：A1也是对称矩阵。

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参

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1、C 2、B 3、A 4、D 5、B

二、填空题(每小题3分，共15分) 1．12 2．特征值 3．0.3 4．3 5. 有效

三、计算题(每小题16分，共分)

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6分）

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四、证明题（本题