2020-2021学年湖南沙市天心区长郡教育集团八年级(下)期末数学试卷(解析版)

期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．3x2+y＝2

B．x2﹣+1＝0

C．x2﹣5x＝3

D．x﹣3y+1＝0

2．长沙今年4月上旬有一段时间7天的最高气温为（单位：℃）：15，19，17，18，17，16，17．对这组数据，下列说法不正确的是（ ） A．平均数为17

B．中位数为18

C．众数为17

D．极差为4

3．抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1的顶点坐标是（ ） A．（2，﹣1）

B．（2，1）

C．（﹣2，﹣1）

D．（﹣2，1）

4．某校要选拔参加长沙市三独比赛乐器参赛人员，13名参赛同学的初赛成绩各不相同，按照成绩取前6名进入决赛．如果小芳知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小芳需要知道这13名同学成绩的（ ） A．平均数

B．中位数

C．众数

D．方差

5．用配方法解方程x2﹣6x﹣9＝0时，配方结果正确的是（ ） A．（x+3）2＝18

B．（x﹣6）2＝45

C．（x﹣3）2＝18

D．（x+6）2＝45

6．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为（ ） A．y＝x2+3

B．y＝（x﹣6）2+3

C．y＝x2﹣7

D．y＝（x﹣6）2﹣7

7．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是s更合适（ ） A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

甲

2

＝1.2，s

乙

2

＝3.1，s

丙

2

＝2.5，s

丁

2

＝3.7，你认为派谁去参赛

8．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为（ ） A．﹣1

B．1

C．﹣7

D．7

9．关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（ ） A．图象经过一、二、三象限 C．当x＜时，y＞0

B．y随x的增大而增大 D．图象过点（1，﹣1）

10．某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）

A．（15+2x）（8+x）＝110 C．（15+x）（8+2x）＝110

B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110 D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110

11．已知二次函数y＝﹣2x2+8x+c的图象过点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y2＜y1＜y3

B．y3＜y2＜y1

C．y1＜y3＜y2

D．y1＜y2＜y3

12．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．若函数y＝

在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围

是 ．

14．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0的一个根为﹣2，则m+n＝ ． 15．晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小宇的三项成绩（百分制）依次为95分，90分，88分，则小宇这学期的体育总评成绩为 分．

16．若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，则c的取值范围为 ．

17．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进

行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣

（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 ．

18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③若△ABD是等腰直角三角形，则a＝；④若点P为对称轴上的动点，当|PB﹣PC|有最大值时，其最大值为的结论的序号是 ．（只填序号）

．其中正确

三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．解一元二次方程： （1）（x﹣3）2＝18； （2）3x（2x+1）＝4x+2．

20．已知一次函数的图象经过点（﹣1，2）和点（3，﹣2）． （1）求这个一次函数的解析式；

（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．

21．为庆祝中国党建党100周年，某校八年级开展了以“明党史，跟党走”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取部分学生的成绩，并用得到的数据绘制了条形统计图（满分为30分，最低为26分），请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）本次随机抽样调查的学生人数为 ；

（2）求本次抽样调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）若该校八年级共有1200名学生参加了此项竞赛，得30分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮助年级组估计需准备多少份“一等奖”奖品？ 22．已知某二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）． （1）求该函数的解析式；

（2）若该函数的图象与x轴相交于点E、F，与y轴相交于点C，求△EFC的面积． 23．长沙著名网红打卡地“超级文和友”在2019年五一小长假期间，接待食客约20万人次，在2021年五一小长假期间，接待食客约28.8万人次．现假定该店每年五一小长假接待食客的增长率相同．

（1）求出该店2019年至2021年五一小长假期间食客人次的年平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计2022年“超级文和友”在五一小长假期间食客将达到多少万人次？

24．故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

25．我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”y＝2x﹣1，其“和谐点”为（1，1）．

（1）在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”．①y＝x﹣3 ； ②y＝﹣x+1 ； ③y＝x2﹣2x ．

（2）若点A、点B是“和谐函数”y＝x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）2（其中m＞0）上的“和谐点”，且8

≤AB≤10

，求m的取值范围；

y＝﹣x2+x+n+k﹣1的图象上存在唯一的一个（3）若“和谐函数”（m﹣k+2）“和谐点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．

26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点B（0，1），顶点为A．点F（2，1）在抛物线的对称轴上，点C（0，3）是y轴上一点．点P在抛物线上运动，过点P作PM⊥x轴于点M，连接PF和CF．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：在点P运动的过程中，总有PF＝PM+1；

（3）若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，请求出所有“巧点”的坐标．是否存在使△PCF的周长最小的“巧点”，若有，请直接写出“巧点”的坐标；若无，请说明理由．

参

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．3x2+y＝2

B．x2﹣+1＝0

C．x2﹣5x＝3

D．x﹣3y+1＝0

【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．

解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意；

D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C．

2．长沙今年4月上旬有一段时间7天的最高气温为（单位：℃）：15，19，17，18，17，16，17．对这组数据，下列说法不正确的是（ ） A．平均数为17

B．中位数为18

C．众数为17

D．极差为4

【分析】根据公式和定义分别计算该组数据的平均数，众数，中位数及极差后找到正确的答案即可． 解：A、平均数是：

＝17，正确，不符合题意；

B、把这些数从小到大排列为15，16，17，17，17，18，19，中位数是17，错误，符合题意；

C、17出现了3次，出现的次数最多，则众数是17，正确，不符合题意； D、极差是：19﹣15＝4，正确，不符合题意； 故选：B．

3．抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1的顶点坐标是（ ） A．（2，﹣1）

B．（2，1）

C．（﹣2，﹣1）

D．（﹣2，1）

【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣3（x+2）2﹣1， ∴其顶点坐标为（﹣2，﹣1）． 故选：C．

4．某校要选拔参加长沙市三独比赛乐器参赛人员，13名参赛同学的初赛成绩各不相同，按照成绩取前6名进入决赛．如果小芳知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小芳需要知道这13名同学成绩的（ ） A．平均数

B．中位数

C．众数

D．方差

【分析】由于比赛取前6名参加决赛，共有13名选手参加，根据中位数的意义分析即可．解：13个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故选：B．

5．用配方法解方程x2﹣6x﹣9＝0时，配方结果正确的是（ ） A．（x+3）2＝18

B．（x﹣6）2＝45

C．（x﹣3）2＝18

D．（x+6）2＝45

【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．

解：∵x2﹣6x﹣9＝0， ∴x2﹣6x＝9， ∴x2﹣6x+9＝18， ∴（x﹣3）2＝18． 故选：C．

6．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为（ ） A．y＝x2+3

B．y＝（x﹣6）2+3

C．y＝x2﹣7

D．y＝（x﹣6）2﹣7

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．

解：将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为：y＝（x﹣3﹣3）2﹣2+5，即y＝（x﹣6）2+3； 故选：B．

7．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是s更合适（ ） A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

甲

2

＝1.2，s

乙

2

＝3.1，s

丙

2

＝2.5，s

丁

2

＝3.7，你认为派谁去参赛

【分析】平均成绩相同，根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 解：∵平均成绩都是86.5分，s甲2＝1.2，s乙2＝3.1，s丙2＝2.5，s丁2＝3.7，，

而1.2＜2.5＜3.1＜3.7， ∴甲的成绩最稳定， ∴派甲去参赛更合适， 故选：A．

8．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为（ ） A．﹣1

B．1

C．﹣7

D．7

【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1x2﹣x1﹣x2的值．

解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，

所以2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2﹣（﹣3）＝7． 故选：D．

9．关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（ ） A．图象经过一、二、三象限 C．当x＜时，y＞0

B．y随x的增大而增大 D．图象过点（1，﹣1）

【分析】解不等式求得不等式的解集即可判断C；根据一次函数的性质即可判断A、B；把点（1，﹣1）代入解析式即可判断D．

解：A、由于一次函数y＝﹣2x+3中的k＝﹣2＜0，b＝3＞0，所以图象过一、二、四象限，不符合题意；

B、由于一次函数y＝﹣2x+3中的k＝﹣2＜0，所以y随x的增大而减小，不符合题意； C、令y＞0，则﹣2x+3＞0，此时x＜，符合题意；

D、当x＝1时，y＝1．所以图象不过（1，﹣1），不符合题意； 故选：C．

10．某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）

A．（15+2x）（8+x）＝110 C．（15+x）（8+2x）＝110

B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110 D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110

【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的矩形，利用种植的面积＝合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的大矩形，

依题意得：（15﹣2x）（8﹣x）＝110． 故选：B．

11．已知二次函数y＝﹣2x2+8x+c的图象过点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y2＜y1＜y3

B．y3＜y2＜y1

C．y1＜y3＜y2

D．y1＜y2＜y3

【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，根据x＜2时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 解：∵y＝﹣2x2+8x+c＝﹣2（x﹣2）2+c+8， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，

∴C（6，y3）关于直线x＝2的对称点是（﹣2，y3）， ∵﹣3＜﹣2＜﹣1， ∴y1＜y3＜y2， 故选：C．

12．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．

解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能； B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不可能； C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能； D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，抛物线与直线交y轴同一点，故本选项有可能． 故选：D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．若函数y＝

在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 x≤ ．

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 解：由题意得：3﹣2x≥0， 解得：x≤， 故答案为：x≤．

14．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0的一个根为﹣2，则m+n＝ ﹣2 ． 【分析】根据一元二次方程根的定义得到4+2m+2n＝0，然后计算m+n的值． 解：把x＝﹣2代入方程x2﹣mx+2n＝0得4+2m+2n＝0， 所以m+n＝﹣2． 故答案为﹣2．

15．晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小宇的三项成绩（百分制）依次为95分，90分，88分，则小宇这学期的体育总评成绩为 90 分． 【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．

解：小宇这学期的体育总评成绩为；95×20%+90×30%+88×50%＝88（分）． 故答案为：90．

16．若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，则c的取值范围为 c≤ ．

【分析】直接利用根的判别式判断得出即可．

解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×c≥0， ∴c≤， 故答案为：c≤．

17．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣

（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 7 ．

【分析】当y＝0时代入解析式y＝﹣解：由题意，得 当y＝0时，﹣

（x﹣2）2+2＝0，

（x﹣2）2+2，求出x的值就可以求出结论．

化简，得：（x﹣2）2＝25， 解得：x1＝7，x2＝﹣3（舍去）， 故答案为：7．

18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③若△ABD是等腰直角三角形，则a＝；④若点P为对称轴上的动点，当|PB﹣PC|有最大值时，其最大值为的结论的序号是 ①③④ ．（只填序号）

．其中正确

【分析】从开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点位置判断a、b、c的正负，判断①；把A、B的坐标代入确判断；利用等腰直角三角形的三线合一的性质判断③；由三角形的

三边关系判断④．

解：∵开口向上，对称轴x＝1，与y轴的交点在y轴负半轴上， ∴a＞0，b＜0，c＜0， ∴abc＞0，故①符合题意，

把点A（﹣1，0），B（3，0）代入解析式，得： a﹣b+c＝0（1），9a+3b+c＝0（2）， （2）﹣（1）×9，得：12b﹣8c＝0， ∴3b＝2c，故②不符合题意；

由抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）得： y＝a（x+1）（x﹣3）， ∴c＝﹣3a，

当x＝1时，y＝﹣4a， ∴D（1，﹣4a），

∵△ABD是等腰直角三角形， ∴2|﹣4a|＝AB＝4， ∴a＝0.5，故③符合题意； 当x＝0时，y＝c＝﹣3a， ∴C（0，﹣3a），

当点P是AC的延长线与对称轴的交点时，|PB﹣PC|有最大值， 此时，|PB﹣PC|＝|PA﹣PC|＝AC， ∵AC＝

故答案为：①③④．

三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．解一元二次方程： （1）（x﹣3）2＝18； （2）3x（2x+1）＝4x+2．

【分析】（1）先变形为（x﹣3）2＝36，然后利用直接开平方法解方程； （2）先变形为3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程． 解：（1）∵（x﹣3）2＝36，

，故④符合题意．

∴x﹣3＝±6， ∴x1＝9，x2＝﹣3；

（2）3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， （2x+1）（3x﹣2）＝0， 2x+1＝0或3x﹣2＝0， ∴x1＝﹣，x2＝．

20．已知一次函数的图象经过点（﹣1，2）和点（3，﹣2）． （1）求这个一次函数的解析式；

（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据一次函数y＝﹣x+1的性质即可判断． 解：（1）根据题意，设一次函数解析式为：y＝kx+b， 将（﹣1，2）和（3，﹣2）代入得：解得：

，

，

∴一次函数解析式为：y＝﹣x+1； （2）∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 当x1≤x2时，y1≥y2．

21．为庆祝中国党建党100周年，某校八年级开展了以“明党史，跟党走”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取部分学生的成绩，并用得到的数据绘制了条形统计图（满分为30分，最低为26分），请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）本次随机抽样调查的学生人数为 50 ；

（2）求本次抽样调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）若该校八年级共有1200名学生参加了此项竞赛，得30分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮助年级组估计需准备多少份“一等奖”奖品？ 【分析】（1）根据条形统计图可求出调查人数；

（2）根据平均数、中位数、众数的意义和求法，分别计算即可； （3）样本估计总体，用1200去乘样本中得30分的人数所占的比例即可． 解：（1）本次随机抽样调查的学生人数为：9+12+14+10+5＝50（人）． 故答案为：50；

（2）平均数是：

∵在这组数据中，28出现14次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是28，

将这组数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数都是28，因此中位数是28， 答：平均数为27.8，中位数是28，众数是28； （3）1200×

＝120（份），

＝27.8（分），

答：估计需准备120份“一等奖”奖品．

22．已知某二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）． （1）求该函数的解析式；

（2）若该函数的图象与x轴相交于点E、F，与y轴相交于点C，求△EFC的面积． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+4，然后把（2，﹣5）代入求出a的值即可； （2）根据抛物线解析式求得线段EF的长度和点C的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．

解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4， 把（2，﹣5）代入得a•9+4＝﹣5， 解得a＝﹣1，

所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵函数的图象与x轴相交于点E、F，则令y＝0， 即﹣x2﹣2x+3＝0，

解得x1＝1，x2＝﹣3． ∴EF＝4．

∵二次函数与y轴相交于C，令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）． ∴S△EFC＝

•OC＝

＝6．

23．长沙著名网红打卡地“超级文和友”在2019年五一小长假期间，接待食客约20万人次，在2021年五一小长假期间，接待食客约28.8万人次．现假定该店每年五一小长假接待食客的增长率相同．

（1）求出该店2019年至2021年五一小长假期间食客人次的年平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计2022年“超级文和友”在五一小长假期间食客将达到多少万人次？

【分析】（1）设该店每年五一小长假接待食客的增长率为xx，根据2019年和2021年的人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

（2）根据第四批公益课受益学生人数＝第三批公益课受益学生人数×（1+增长率），即可求出结论．

解：（1）设该店每年五一小长假接待食客的增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝28.8，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：这个增长率为20%．

（2）28.8×（1+20%）＝34.56（万人次）．

答：预计2022年“超级文和友”在五一小长假期间食客将达到34.56万人次． 24．故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；

（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．

解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b， 将（12，28）、（15，25）代入，得：

，

解得：

，

所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）； （2）根据题意知，W＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣x+40） ＝﹣x2+50x﹣400 ＝﹣（x﹣25）2+225， ∵a＝﹣1＜0，

∴当x＜25时，W随x的增大而增大， ∵10≤x≤20，

∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为200，

答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．

25．我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”y＝2x﹣1，其“和谐点”为（1，1）．

（1）在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”．①y＝x﹣3 × ； ②y＝﹣x+1 √ ；

③y＝x2﹣2x √ ．

（2）若点A、点B是“和谐函数”y＝x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）2（其中m＞0）上的“和谐点”，且8

≤AB≤10

，求m的取值范围；

y＝﹣x2+x+n+k﹣1的图象上存在唯一的一个（3）若“和谐函数”（m﹣k+2）“和谐点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．

【分析】（1）根据定义，①x＝x﹣3时无解，②x＝﹣x+1时，解得x＝，③x＝x2﹣2x时，解得x＝0或x＝3，由此可确定“和谐函数”；

（2）由题意可知x＝x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）2，设A（x1，x1），B（x2，x2），因此可

2x1+x2＝2m+2，x1•x2＝AB＝4得Δ＝16m＞0，（m﹣1），

，再由已知可得8≤4

≤10，即可求4≤m≤；

（3）由题意可得x＝﹣x2+（m﹣k+2）x+n+k﹣1，Δ＝（m﹣k+1）2﹣n﹣k+1＝0，可知n＝（m﹣k+1）2+1﹣k，n是关于m的二次函数，对称轴为m＝k﹣1，①若k﹣1≤﹣1，即k≤0，当m＝﹣1时，n有最小值k，（﹣1﹣k+1）2+1﹣k＝k，解得k＝1（舍去）；

2

n有最小值k，+1﹣k＝k，②若k﹣1≥3，即k≥4，当m＝3时，（3﹣k+1）解得k＝5+2

或k＝5﹣2（舍去）；③若﹣1＜k﹣1＜3，即0＜k＜4，当m＝k﹣1时，n有最小值k，

1﹣k＝k，解得k＝，即可求解． 解：（1）①∵x＝x﹣3时无解， ∴y＝x﹣3不是“和谐函数”； ②x＝﹣x+1时，解得x＝， ∴y＝﹣x+1 是“和谐函数”； ③x＝x2﹣2x时，解得x＝0或x＝3， ∴y＝x2﹣2x 是“和谐函数”； 故答案为：①×，②√，③√；

（2）∵y＝x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）2是“和谐函数”， ∴x＝x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）2， 整理得，x2﹣（2m+2）x+（m﹣1）2＝0， ∵点A、点B是“和谐函数”上的“和谐点”，

设A（x1，x1），B（x2，x2），

∴Δ＝16m＞0，x1+x2＝2m+2，x1•x2＝（m﹣1）2， ∴AB＝＝＝＝4∵8∴8

， ≤AB≤10≤4

≤10；

， ，

|x1﹣x2|

∴4≤m≤

y＝﹣x2+x+n+k﹣1的图象上存在唯一的一个 （3）∵“和谐函数”（m﹣k+2）“和谐点”，∴x＝﹣x2+（m﹣k+2）x+n+k﹣1，且Δ＝0， ∴x2﹣（m﹣k+1）x﹣n﹣k+1＝0， Δ＝（m﹣k+1）2﹣n﹣k+1＝0， ∴n＝（m﹣k+1）2+1﹣k，

n是关于m的二次函数，对称轴为m＝k﹣1，

①若k﹣1≤﹣1，即k≤0，当m＝﹣1时，n有最小值k， （﹣1﹣k+1）2+1﹣k＝k， 解得k＝1（舍去）；

②若k﹣1≥3，即k≥4，当m＝3时，n有最小值k， （3﹣k+1）2+1﹣k＝k， 解得k＝5+2

或k＝5﹣2

（舍去）；

③若﹣1＜k﹣1＜3，即0＜k＜4，当m＝k﹣1时，n有最小值k， 1﹣k＝k， 解得k＝；

综上所述：k＝或k＝5+2

．

26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点B（0，1），顶点为A．点F（2，1）在抛物线的对称轴上，点C（0，3）是y轴上一点．点P在抛物线上运动，过点P作PM

⊥x轴于点M，连接PF和CF．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：在点P运动的过程中，总有PF＝PM+1；

（3）若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，请求出所有“巧点”的坐标．是否存在使△PCF的周长最小的“巧点”，若有，请直接写出“巧点”的坐标；若无，请说明理由．

【分析】（1）由点F（2，1）确定对称轴为x＝2，从而求出b＝﹣1，再将点B（0，1）代入抛物线解析式可求c，即可求解；

（2）设P（m，m2﹣m+1），由两点距离公式可得PF＝（m﹣2）2+1，因为PM＝（m﹣2）2，则可证明FP＝PM+1；

（3）设直线PM与直线CF交于点K，由S△PCF＝×2×KP，求出KP＝2，再求出直线CF的解析式为y＝﹣x+3，设P（m，m2﹣m+1），K（m，﹣m+3），则KP＝|﹣m+3﹣（m2﹣m+1）|＝2，求出m＝±4或m＝0，则可求各“巧点”为（0，1）或（4，1）或（﹣4，9），因为△PCF的周长＝PC+PM+1+CF，当PC+PM取最小值时，即点C、P、M共线是，周长有最小值，所以当△PCF周长最小时存在“巧点”为P（0，1）． 解：（1）∵点F（2，1）在抛物线的对称轴上， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴b＝﹣1，

∵点B（0，1）在抛物线上， ∴c＝1，

∴y＝x2﹣x+1；

（2）设P（m，m2﹣m+1）， ∵F（2，1）， ∴PF＝

∵PM＝（m﹣2）2， ∴FP＝PM+1；

（3）当△PCF面积为2时，无论P点在何位置，如图，设直线PM与直线CF交于点K，∴S△PCF＝×2×KP， ∴KP＝2，

由点C（0，3），点F（2，1）可得直线CF的解析式为y＝﹣x+3， 设P（m，m2﹣m+1），K（m，﹣m+3）， ∴KP＝|﹣m+3﹣（m2﹣m+1）|＝2， ∴m2﹣2＝2或2﹣m2＝2， ∴m＝±4或m＝0，

∴当△PCF面积为2时，各“巧点”为（0，1）或（4，1）或（﹣4，9）， ∵△PCF的周长＝PC+PF+CF， ∵PF＝PM+1，

∴△PCF的周长＝PC+PM+1+CF， ∵CF为定值，

∴当PC+PM取最小值时，即点C、P、M共线是，周长有最小值，

∴当△PCF周长最小时存在“巧点”为P（0，1）或P（4，1）或P（﹣4，9），当△PCF周长最小时存在“巧点”为P（0，1）．

＝（m﹣2）2+1，