第３４卷第２期 ２０１７年２月 统计研究 Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｖ０Ｉ．３４．Ｎ ０．２ Ｆｅｂ．２０１７ 固定效应部分线性单指数面板 模型的惩罚分位数回归 丁飞鹏 内容提要：分位数回归是均值回归的有益补充，该方法毋须对分布函数的具体形式做出假设，且对 具有异常值或厚尾分布的数据仍具有稳健性。当前，对部分线性单指数面板模型估计方法的研究主要 集中于均值回归，基于此，本文考虑了固定效应部分线性单指数面板分位数回归模型，结合Ｂ一样条函 数、ＳＣＡＤ惩罚函数和迭代加权最小二乘法，构建了模型的估计方法，证明了估计方法的一致性和渐近正 态性，同时利用Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ模拟评价了所述方法在有限样本下的表现。最后，将估计方法应用于分析 碳排放的影响因素。 关键词：分位数回归；部分线性单指数面板模型；样条函数 ＤＯＩ：１０．１９３４３／ｊ．ｃｎｋｉ．１ ｌ一１３０２／ｃ．２０１７．０２．０１０ 中图分类号：Ｃ８１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００２—４５６５（２０１７）０２—０１０１—０９ Ｐｅｎａｌｉｚｅｄ Ｑｕａｎｔｉｌｅ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒ Ｐａｒｔｉａｌｌｙ Ｌｉｎｅａｒ Ｓｉｎｇｌｅ Ｉｎｄｅｘ Ｐａｎｅｌ Ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ Ｆｉｘｅｄ Ｅ仃ｅｃｔ Ｄｉｎｇ Ｆｅｉｐｅｎｇ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｑｕａｎｔｉｌｅ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｉｓ ａ ｕｓｅｆｕｌ ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔ ｔｏ ｍｅａｎ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ．Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｎｅｅｄｎ’ｔ ａｓｓｕｍｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｓ ｒｏｂｕｓｔ ｔｏ ｏｕｔｌｉｅ ｏｒ ｈｅａｖｙ ｔａｉｌ ｄｉｓｔｉｂｕｔｒｉｏｎ ｏｆ ｄａｔａ．Ｍｏｓｔ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｎ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｌｉｎｅａｒ ｓｉｎｇｌｅ ｉｎｄｅｘ ｍｏｄｅｌｓ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄ ｏｎ ｍｅａｎ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｉｓ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｑｕａｎｔｉｌｅ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｌｉｎｅａｒ ｓｉｎｇｌｅ ｉｎｄｅｘ ｐａｎｅｌ ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ ｆｉｘｅｄ ｅｆｆｅｃｔ．Ｗｅ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ Ｂ ｓｐｌｉｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ＳＣＡＤ ｐｅｎａｌｉｚｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｗｅｉｇｈｔｅｄ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎｄ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ｏｆ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ．Ａｌｓｏ，ｗｅ ｅｖａｌｕａｔｅｄ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｓａｍｐｌｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｖｉａ Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ ｆａｃｔｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃａｒｂｏｎ ｅｍｉｓｓｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｑｕａｎｔｉｌｅ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ；Ｐａｒｔｉａｌｌｙ Ｌｉｎｅａｒ Ｓｉｎｇｌｅ Ｉｎｄｅｘ Ｐａｎｅｌ Ｍｏｄｅｌｓ；Ｓｐｌｉｎｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ 一、引言 半参数模型既保留了非参数模型的优点，又增加了模型的解释力，因而被广泛应用于实际问题 的分析中，Ｆａｎ和Ｇｉｊｂｅｌｓ（１９９６）Ｅｌｉ、Ｇａｏ（２００７） 及Ｌｉ和Ｒａｃｉｎｅ（２００７） 等对该类模型均有较详 细的介绍。半参数模型最大的不足是无法说明个体之间的异质性，为此，众多学者建立了半参数面 板数据模型以弥补上述不足。目前，关于半参数面板模型的估计方法已较为丰富，Ｌｉｎ和Ｙｉｎｇ （２００１） 将最小二乘法用于估计变系数纵向数据①模型，并证明了所得估计为一致且渐近正态的； ①本文将面板数据与纵向数据视为同一类数据。 ・１０２・ 统计研究 ２０１７年２月 Ｓｕ和Ｕｌｌａｈ（２００６） 将截面似然估计法应用于半参数部分线性面板模型的估计中；与前述作者不 同，Ｌｉ等（２００８） 则采用广义经验似然估计法估计了个体内存在相关性的半参数纵向数据模型； Ｑｉａｎ和Ｗａｎｇ（２０１２） 利用边际积分法估计了部分线性半参数面板模型；Ｃｈｅｎ等（２０１３）［８ ３则将 ＲＭＡＶＥ（Ｒｅｆｉｎｅ Ｍｉｎｉｍｕｍ Ａｖｅｒａｇｅ Ｖａｒｉａｎｃｅ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ）估计法拓展至半参数面板模型中，构建了 ＳＭＡＶＥ（Ｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｍｉｎｉｍｕｍ Ａｖｅｒａｇｅ Ｖａｒｉａｎｃｅ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ）估计法，并应用于固定效应部分线性 单指数面板模型的估计中。 上述估计方法均为基于均值的回归估计，其缺点为：一是估计不够稳健，当数据存在异常点时， 估计精度将受到较大影响；二是只能考察协变量在均值附近对因变量的影响，而在其他位置的影响 则无法分析，这极大地了模型的应用。为此，统计和计量学家建立了分位数回归方法以克服上 述不足。随着对分位数回归方法研究的深入，各种半参数分位数回归模型及估计方法相继建立。 Ｆａｎ等（１９９４） 发现当边际密度函数或回归函数存在较大阶的导数时，对局部常数核估计法有不 利影响，并对此进行了改进，提出了局部线性核估计方法，该方法适用于分位数回归和稳健回归模 型。研究显示，提供的估计在边界和内点处均具有合理的抽样性质，因此，他们的估计不必在边界 进行修改。ｗｕ等（２０１０）¨。。将局部线性核估计法应用于单指数分位数回归分析中，研究了估计量 的大样本性质，并通过Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ模拟和真实数据的应用对模型及估计方法进行了展现。Ｚｈａｏ等 （２０１３）¨１］则研究了变系数分位数回归模型及其变量选择问题，结合局部多项式平滑和适应群 Ｌａｓｓｏ惩罚，他们提供了该模型的变量选择程序，建立了变量选择的一致性和估计的神谕性质。 Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ模拟研究表明，无论误差分布的形式如何，他们建立的方法是稳健且有效的。Ｌｖ等 （２０１５） １２］将ＲＭＡＶＥ估计方法拓展至分位数回归模型中，建立了ＭＡＣＬＥ（Ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇ Ａｖｅｒａｇｅ Ｃｈｅｃｋ Ｌｏｓｓ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ）估计法，并应用于部分线性单指数模型的估计及模型选择中，建立了估计量 的渐近正态性。Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ模拟研究和实际数据分析表明，他们提供的方法表现出色。 类似于均值回归模型，上述半参数分位数回归模型同样缺乏考虑个体问的异质性，在实际应用 中可能得到谬误的估计结果，为克服该不足，大量的半参数面板分位数回归模型及其估计方法被构 建。Ｈｅ等（２００２）¨ 将数据的Ｍ类半参数模型拓展到了纵向数据模型中，使得所有的均值回 归和分位数回归均为该模型的特殊情形，他们用样条函数近似非参数部分，在误差结构未知下，得 到了一致的模型估计及有效的样本推断。Ｗｅｉ和Ｈｅ（２００６） Ｊ４］研究了半参数无规则度量的纵向数 据分位数回归模型和稳健估计模型，为分析条件增长图表提供了强有力的工具。此外，他们为大样 本推断提供了秩计分检验，并为纵向增长数据建立了一种新的模型评价方法。类似于Ｗｅｉ和Ｈｅ （２００６）的研究方法，Ｗａｎｇ等（２００９） 为部分线性变系数纵向数据模型建立了简单易行的估计方 法和秩计分检验，证明了所得估计的渐近性质，同时用Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ模拟评估了估计方法在有限样 本下的表现，最后通过分析ＡＩＤＳ数据展示了估计方法的应用价值。在Ｗａｎｇ等（２００９）的基础上， Ｔａｎｇ等（２０１３） 钊进一步为变系数纵向数据分位数模型构建了一种新的变量选择程序，证明了所 得的惩罚估计在变量选择中是一致的，估计的变系数在非参数估计中具有最优的收敛率。Ｗａｎｇ和 Ｌｉｎ（２０１４） １７］则考虑了更为一般的半参数纵向数据加权Ｍ类回归估计模型及其变量选择程序，均 值回归、中位数回归、分位数回归和稳健均值回归均为其特殊情形，建立了估计量的渐近性质，进一 步，用模拟研究证实了他们方法和理论的优越性。 从上述文献可以发现，目前对半参数面板分位数回归模型的研究主要集中于部分线性面板模 型和变系数面板模型，鲜有研究涉及部分线性单指数面板模型。事实上，部分线性单指数面板模型 既有较强的灵活性和模型解释力，又可以避免“维数诅咒”，在医药学、经济学及金融学等众多领域 具有广泛应用。基于此，本文研究了固定效应部分线性单指数面板模型的分位数回归估计：一是考 第３４卷第２期 丁飞鹏：固定效应部分线性单指数面板模型的惩罚分位数回归 ・１０３・ 虑了部分线性单指数面板分位数回归模型，并构建了相应的估计方法；二是证明了所构建估计方 法的一致性和渐近正态性。 二、模型及其估计方法 作为均值回归模型的扩展，在分位数ｔｒ处的部分线性单指数面板分位数回归模型的数学形 式为： Ｙ ＝ 卢（ｒ）＋叼（ｚ ０（ｒ））＋Ｏｌ （ｒ）＋ｅ （ ） （１） 其中，Ｙ 为因变量； 为ｄ维线性部分协变量；ｚ 为Ｐ维非线性部分协变量； （丁）＝（卢。（ ）， …， （ｒ）） 为未知线性部分参数向量；７７（・）为未知一元连接函数； （丁）＝（０ （ ），…， （７－）） 为 Ⅳ 未知非线性部分参数向量，满足ｌ １ ０（ｒ）ｌ Ｉ＝１，０ （ｔｒ）＞０，Ｉ １．１Ｉ表示向量的模； （ ）为个体ｉ的 未知固定效应，满足∑Ｏｌｉ（ ）＝０；ｅ （ ）为随机误差项且ｅｉｔ（ｔｒ）的第 个条件分位数为０；ｉ＝１， Ｅ ｌ …，Ｎ，ｔ＝１，…， 。 为简便起见，将模型（１）中 （ ）、０（丁）、Ｏｌ （ ）和ｅ （ ）中的丁省略，并令ＯＬ＝（ ，…，ＯＬ ），Ｄ＝ ［一１ ， 一 ］ ｏ １ ，１ 为元素全为１的Ⅳ维向量，，Ⅳ一 为Ⅳ一１阶单位矩阵，Ｄ 为由 的第ｉ’ｔ行 元素组成的向量。于是，模型（１）可写为： Ｙ ＝Ｘｌｉ￣＋＇７（ ｎ０）＋Ｄ Ｏｌ＋ｅ ｔ（２） 为了估计模型，首先用Ｂ一样条函数近似一元连接函数： 叼（ｔ） ７ｒ （ｔ） （３） 其中，７ｒ（ｔ）＝［７ｒ （ｔ），…，７ｒ （ｔ）］ ，７ｒ （・）为Ｂ一样条函数，ｚ＝１，…，ｑ； 为ｇ维样条函数系 数向量。这样，模型（２）可近似表示成： Ｙ“＝ ＋７ｒ （ ｎ０） ＋Ｄ ｎＯＬ＋ｅｎ （４） 在均值回归中，通常是通过转换数据，消除个体效应，再估计各参数值。然而在分位数回归中， 这种方法不可行，所有参数必须同时估计（Ｋｏｅｎｋｅｒ，２００４） 引。为此，记＠＝（卢 ，０ ， ，ＯＬ ） ，定义 的目标函数为： Ｎ Ｑ（０）＝∑∑Ｐ （ｙ ０。＝ａｒｇｍｉｎ｛Ｑ（０）｝ 一７ｒ （ ） —Ｄ ） （５） （６） 其中，Ｐ （ＩＸ）＝ｕ（ｒ一，（“＜０）），，（・）为示性函数。于是参数向量０的分位数估计为： 由于用样条函数近似连接函数会引起过度参数化现象，造成估计不平滑且方差过大。为此，本 文借鉴Ｔａｎｇ等（２０１３） 、Ｗａｎｇ和Ｌｉｎ（２０１４） 等人的做法，在目标函数中加入惩罚项，构造惩罚 分位数估计。于是目标函数变为： Ⅳ ｒ ｄ Ｐ Ｑｐ（０）＝∑∑Ｐ （ｙ Ｘｔｉｔ￣一７ｒ （ ） —Ｄ ＰｉｔＯ１）＋∑ＰＡｌ，Ｎ（Ｉ ）＋∑ＰＡｌ，Ｎ（１ ０ Ｉ） ｑ ＋∑ＰＡｚ，Ｎ（Ｉ １） １，２，１．１为绝对值符号。因此可得参数向量０的惩罚分位数估计： ０＝ａｒｇｍｉｎ｛Ｑ。（＠）｝ （７） 其中，Ｐ （・）为ＳＣＡＤ惩罚函数，其数学形式参见Ｆａｎ和Ｌｉ（２００１）¨ ，Ａ 为调整参数，ｉ＝ （８） 评论１：式（７）中的惩罚方法也适用于变量选择程序，但本文加入惩罚项的目的主要在于平滑 ・ｌ０４・ 统计研究 ２０１７年２月 估计，减少参数估计的方差。此外，本文模型允许误差项在个体内存在某种未知的相关结构。 三、实际操作中的问题 （一）模型估计算法 函数Ｐ （ｕ）为几乎处处可导，记 （“）为Ｐ （ ）关于ｕ的导数，０ ’表示第ｋ次迭代所得到的 参数估计值，ｍ （＠）＝Ｘｔｉｔ３＋７￣ｒ （ ｔ ） ＋Ｄ ，于是有： ＯＰ（。，＠ ）＝兰圭毛乏 ｉ＝１ｔ＝ｌ （ ， ， ，。 ） ［Ｙｉｔ－ｍｉｔ（。）］＋毫 。， （Ｉ卢；”１）３／ （９） ‘ ）；Ｐ＾（・）表示函数Ｐ （・）的一阶导数，Ｐ＾（・）表 ＋∑Ｐ￣Ｉ，Ｎ（Ｉ １） ＋∑ＰＡ２，Ｎ（１ ”Ｉ）Ｙｊ＝０ ） ‘ ¨Ｂ ＝仃（ 其中，三 ＝７ｒ （ 示函数Ｐ （・）的二阶导数。注意到，式（９）中 （ｕ）为不可导函数，因此不能采用Ｎｅｗｔｏｎ—Ｒａｐｈｓｏｎ 迭代算法。为此，我们采用迭代加权最小二乘估计法，记 ＝（ Ｂ Ｄ ） ， ＝ ｄｉａｇｔＰ，Ｉ，Ｎ（Ｉ卢： Ｉ），…，Ｐ￣１，Ｎ（Ｉ卢 ’１），ＰＡ￣，Ｎ（１ ： １），…，ＰＡｔ，Ｎ（１ Ｐａｚ，ＮＩ），Ｐ ， （１ ｙ ”Ｉ），…， （Ｉ ｙ：”Ｉ），０，…，０｝， ”＝ ０‘ ）＝０‘ ＋ Ｗ ＠ ’，经过简单计算可得如下迭代关系式： （１０） 其中，Ｗ ：∑Ｎ圭 ｃ ＋ＭＩ ， ：∑Ｎ主 ｃ Ｃ， ＋ ， ： 擘 ， ：ｙ 一 卢‘¨一耵 （ｚ ０‘ ）ｙ‘ 一Ｄ Ｏｔ‘“。不断运行式（１０）便可得到各参数的估计值。 （二）调整参数和节点数的选择 Ｂ一样条函数的主要特点是局部存在紧致支集，以至于近似的连接函数在局部具有非常好的 表现。更重要的是，只要较少的节点，就可以对连接函数提供良好的近似，且有较高的计算效率和 稳定性（Ｈｅ等，２００２） 。由于立方样条函数对函数已有较好的近似，为此，本文采用四阶Ｂ一样 条函数。若连接函数不够平滑，需选择更高阶数的Ｂ一样条函数。 对于节点数ｎ 的选择，我们采用ＢＩＣ准则选取（Ｒｕｐｐｅｒｔ等，２００３）［２０１，其表达式为： ＢＩＣ（ｎ ）：ｌｏｇ｛Ｑ（ ）｝＋ （ｎ ＋ｄ＋Ｐ＋ｇ） （１１） 类似于Ｗａｎｇ和Ｌｉｎ（２０１４）¨ ，对于调整参数的选择再次应用ＢＩＣ准则，其表示式为： 肌 ｌ０ｇ｛ ｝埘 埘 ） 其中， 和西分别为式（６）和式（８）中的参数估计值，０＜ＤＦ ＜ｇ和０＜ＤＦ ＜ｄ＋Ｐ分别是 非参数部分和参数部分的非零值。 四、渐近性质 为避免在边界上导数不存在的风险，我们对识别条件ｌ ｌ Ｉ Ｉ＝１且 ＞０进行变形。与大多数 做法类似，令咖＝（ ， …．， ） 为Ｐ一１维参数向量，定义： ０＝０ ＝（￣／１一（咖 ＋ ；＋… ：一．）， ，…， 一 ） 真实参数 。满足ｌＩ 。ＩＩ＜ｌ，因此０。： （１３） 满足模型识别条件。记 ＝（卢 ， ） ， ＝ 第３４卷第２期 丁飞鹏：固定效应部分线性单指数面板模型的惩罚分位数回归 ・１０５・ （ ， ） ，则从 到 的雅各比矩阵为： ｄ－ ］ 一（１４） Ｉ咖Ｉ ｌ）一寺咖 １。为得到惩罚分位数回归估计的渐近性质，还需要以下假 其中，凡：ｆ一（ Ｉｌ ｝ 设条件： Ａ１． 满足 ／ 一０，ｒ＞０，为常数； Ａ２．连接函数卵具有连续有界的ｒ阶导数； Ａ３． ６｝ｏ的分布是绝对连续，且有密度函数ｇ （・）。进一步假设存在常数０＜Ｃ ＜ｃ 使得Ｃ ＜ ｇ （Ｍ）＜Ｃ ，对所有Ｍ属于ｇ 的紧致集成立； Ａ４．（Ⅳ ） ｒ和（Ⅳ７１）一ｚ ｚ的所有特征值均有界，其中 ＝（ 一，Ｘ Ⅳ） 且Ｘ ＝（ …， ） ，Ｚ＝（Ｚ 一，ｚ Ⅳ） 且 ＝（ １，…， ） ； Ａ５．误差项ｅ 的密度函数 （・）一致连续有界，且在０的邻域内满足０＜ （ ）＜∞； Ａ６．令 （ ）＝ 一，（ ＜０），Ａ ＝Ｅ［ （ｅ ） （ｅ ）］＞０且有界，其中 （ｅ ）＝（ （ｅ 。），…， （ｅ ）） ； Ａ７．（Ⅳ ）－１／２ Ａ ，ｖ一０，（Ⅳ ） ／２ Ａ：，一０， ／２Ａ ． ， 一∞， ：。／２Ａ：一ｏｏ，其中ｋ 为样条函数 ． 的节点数。 记 及 为最小化式（６）所得的参数估计值，并记７７（ ０）＝７ｒ （ ０）ｙ，则有： 定理１．在假设条件Ａ１～Ａ６下，如果ｒ＞１，ｋ 一 （Ⅳ ） ‘ ¨，则； ，ｖ （１） ∑∑｛亩（ｚ ）一叼（ｚ Ｏｏ）｝。＝Ｏｐ（ （２） （ 一 ） 卜。。； Ⅳ（０，Ｊｅ （Ｋ 。Ｓｏ ） ．， ）。 其中， ：（Ⅳ ）－。 ｌｉｍ Ｋ ，Ｓ。 （Ⅳ ）－１ ５ ，Ｋ ＝△ ＢＡ ，Ｓ ＝△ Ａ△ ；Ｂ＝ｄｉａｇ｛Ｂ 一， 一， Ⅳ｝；△¨ 为Ⅳ ×ｄ维矩阵，其第ｋ列元素为 ｝，Ｂ ＝ｄｉａｇ｛ ｌ（０），… （Ｏ）｝； ＝ｄｉａｇ｛ ６ ”＝（６： ，…，６ ， ，…，６ ） ，△∞ 为Ⅳ ×（ｐ一１）维矩阵，其第ｋ列元素为６ ＝（ ， …，６ ， ，…，艿 ） ，Ａ ＝（△ ¨，Ａ ） ； ２为 ． 对 ０。非参数回归的误差， ． 为 的第 非参数回归的误差， ＝（７ｒ ｚ ０。）ｙ。）．， 三 为 的第ｋ个元素。 定理１表明，在没有实施惩罚的情况下，非参数估计具有最优收敛率，线性部分的参数及非参 ｋ个元素；６ 为 对 数部分指数中的参数满足渐近正态性。记 及 为最小化式（８）所得的参数估计值，并令白（ ０） ：仃 （ ）Ｔ，于是有 定理２．在假设条件Ａｌ～Ａ７下，如果ｒ＞ｌ，ｋ ，ｖ （，ｖ ） ‘ ”，则： （１） １∑∑｛ （ｚｔｉｔ ）一叼（ Ｏｏ）｝ ＝Ｏｐ（ ）； （２） （ 一 ） Ⅳ（０ Ｊｅ（Ｋ 。Ｓｏ Ｋｏ） ， ‰）。 评论２：定理２和定理１①所得结论相近，这表明，若模型不存在变量选择的情况，则由惩罚方 ①限于篇幅，未能给出定理证明的细节，有兴趣的读者可向作者索要。 ・１０６・ 统计研究 ２０１７年２月 法和非惩罚方法所得估计具有相同性质，然而在模拟过程中，我们发现，加入惩罚项后更易获得精 确度较高的估计。 五、数值研究 （一）模拟研究 为评估估计方法在有限样本下的表现，考虑数据生产过程为： Ｙ ：ｘｉｌ。＋ＣＯＳ（Ｚ ｌ０ ＋Ｚｉｆｔ２０：＋Ｚｉｔ，３ｏｏ）＋ ？＋ｅ ，（１５） 其中，９ｆｉｔ取值于Ａ＝０．２５的指数分布；ｚ ，均取值于均匀分布 （一７ｒ ，詈）， ＝１，２，３； ＝１； ＝０．３， ＝０．５，ｏＩ＝￣／ｉ ； ？取值于区间（一１，１）， ＝２，…，Ｎ；ｅ ＝（ｅ …ｅ ） 为随机误差 情形１：ｅ ～Ｎ（０，Ｒ），Ｒ为ＡＲ（１）结构，即＿Ｒ的第（ｉ√）个元素为Ｒ ＝０．８ ，ｉ√＝１，…，，，； 情形２：ｅ ～ｔ （０，Ｒ），Ｒ与情形１中相同。 项，产生于下列两种情形： 模拟中，Ｒ被视为未知的相关结构。此外，选用均值（Ｍｅａｎ）、标准差（Ｓ．Ｅ．）、偏度（Ｂｉａｓ）和均 方误（ＭＳＥ）评价参数估计的表现，用Ａ１ＳＥ评价非参数估计的表现，各指标的计算公式为： Ｓ —丁————＿ １ 均值 ｔ Ｅ・ √专 （专一 ） ；Ｂ ＝。 一 。１． Ｅ 专 （专一 。） ；Ａ Ｅ＝ Ｓ ＾１ｒ ∑∑ｌ （ ）一叼（ ０。）１．其中，￡为第 次模拟估计的参数向量值；５为模拟次数。 个体数Ⅳ分别为１５、３０、５０，时间Ｔ＝１０，考虑的分位数分别为０．２５、０．５和０．７５，模拟次数为 ５００，模拟结果显示： 从正态分布下均值和偏度统计量可知，参数估计与真实值接近；从估计的数值可以发现，随着 个体数的增大，标准差逐渐减小，说明估计方法比较稳定，参数估计值基本集中于均值附近；随着个 体数Ⅳ的增大，均方误不断减小，表明参数估计值接近于真实值，参数估计量满足一致性；ＡＩＳＥ为 度量连接函数的估计值与真实的连接函数值之间的接近程度，从各数值可以发现，随着个体数Ⅳ 的增大，估计值与真实值之间逐渐接近，意味着估计方法对连接函数的估计较为稳健。 与正态分布下的表现类似，ｔ分布假设下参数估计的均值和偏度均表明估计值接近于真实值， 估计的标准差随着个体数的增加而减小，说明参数估计值在均值周围波动；均方误也是随着个体数 的增大而减小，意味着参数估计满足一致性；另外，ＡＩＳＥ的数值是随着个体数的增大而逐渐减小， 反应了连接函数的估计值与真实值接近，且ＡＩＳＥ的标准差随着个体数的增大而减小，说明估计方 法对连接函数的估计较为稳健。 正态分布下和ｔ分布假设下模拟估计量的表现说明，误差项的分布及其存在的未知相关结构 对本文估计方法没有影响，但为提高估计的有效性，误差项的相关结构应该考虑在内，这将有待今 后加以研究。 （二）实际数据应用 随着生活水平的提高，环境问题开始受到人们的关注。近年来，导致气候变暖的主要原因为二 氧化碳的排放（简称碳排放），减少碳排放成为当前国际社会关注的热点问题之一。本文采用部分 线性单指数模型研究碳排放的影响因素，既考虑了模型的灵活性，又增强了模型的解释力，同时应 用分位数回归研究自变量对因变量在不同分位数下的影响，能够更全面掌握各因素对碳排放的 影响 第３４卷第２期 丁飞鹏：固定效应部分线性单指数面板模型的惩罚分位数回归 ・１０７・ 本文用碳排放强度作为对碳排放的度量，选取的影响因素分别为：技术进步（ＴＥ）、产业结构 （ＩＲ）、能源强度（ＣＲ）、ＧＤＰ增速（ＤＧ）、贸易开放度（ＯＰ）和城镇化率（ＰＲ）。数据范围为２００４— ２０１２年３０个省、市、自治区、直辖市（不包括、澳门、和）的相关数据，碳排放强度为根 据碳排放因子计算而得。 本文首先将碳排放对各因素进行线性面板回归，然后将显著的估计置于模型的线性部分，将不 显著的估计置于非参数部分，建立模型如下： ＣＩ ＝ＩＲ ｌ＋ＴＥ ２＋ＣＲ ３＋叩（ＤＧ ０１＋ＯＰ ０２＋ＰＲ ０３）＋Ｏｄ ＋ｅ （１６） 直接将式（１６）推广到分位数回归中，并分别在７＝０．２５、０．５、０．７５下对模型进行估计，估计结 果呈现在表１、表２、表３及图１中。 表１ 参数 ＴＥ ＣＲ ＯＰ ＩＲ ＤＧ 分位数为０．２５下的参数估计 估计值 一０．０９５２ ０．００４８ ０．２３１８ ０．２２５３ ０．５５２３ 标准误（×１０ ） ２．２４０６ Ｏ．０Ｈ０６１ ０．９７４７ ７３．１４２１ ３９．８２５３ ｔ一统计量 —４２．４９７０ ７７９．９８２７ ２３７．８４８７ ３．０８０７ １３．８６８３ ＰＲ ０．８０２６ ３８．３５ｌ８ ２０．９２７６ 表２ 参数 ＴＥ ＣＲ ０Ｐ ＩＲ ＤＣ ＰＲ 分位数为Ｏ．５下的参数估计 估计值 一０．０７４２ Ｏ．ｏ０２３ ０．２３４３ ０．１３２８ ０．４３５３ ０．８９０５ 标准误（×１０ ） ３．７４３０ ０．ｏｏ９２ １．９３６ｌ ３．１７６３ ７３．５８５１ ３３２．０５４５ ｔ一统计量 —１９．８２５８ ２５３．９２５５ ｌ２１．０３７０ Ｏ．４ｌ８１ ５．９１５１ ２．６８１７ 表３ 参数 ＴＥ ＣＲ 分位数为０．７５下的参数估计 估计值 —Ｏ．１ｌ８３ ０．００１９ 标准误（×１０ ） １．６６７５ ０．００４２ ｔ一统计量 —７０．９３２６ ４５９．９５０２ ＯＰ ＩＲ ＤＧ ＰＲ ０．２５２２ ０．１４９６ ０．３６１５ ０．９２０３ ０．９６６９ ６２．２７５７ １５．８３５６ ｌ２．１８９５ ２６０．８７９２ ２．４０ｌ７ ２２．８３００ ７５．４９８２ 曩． 加㈣Ｅ蓑｝－ ＝—＝＝：～…１ ㈣ 一—＝＝……一１ 放碳排 指数 （ＩＩＩ）分位数为０ ７５下连接函数估计图 图１连接函数在各分位数下的估计图 从表１—３可以清楚地看到，在任何情况下，科技进步对碳排放具有负向影响，在分位数为 ０．２５时的影响值为０．０９５２；当分位数为０．５时，这个值减少为０．０７４２；在分位数为０．７５时，又增大 ・１０８・ 统计研究 ２０１７年２月 到０．１１８３。这些事实说明，当碳排放处于较低水平时，科技进步能够极大地抑制碳排放的增加，随 着碳排放水平的升高，科技进步的影响逐渐减少，但当碳排放处于较高水平时，科技进步的抑制作 用又增加了。能源强度对碳排放始终具有正向影响，影响力度随着碳排放水平的升高而逐渐降低。 贸易开放程度对碳排放具有正向影响，影响值一直处于较为稳定的水平。产业结构、ＧＤＰ增长速 度及城镇化水平对碳排放具有非线性影响，其中产业结构和ＧＤＰ增速对碳排放的影响随着碳排放 水平的提高而逐渐减弱，并且在分位数为０．５下产业结构对碳排放的影响不显著，而城镇化水平对 碳排放的影响随着碳排放水平的提高而逐渐增强。图１中的（Ｉ）～（Ⅲ）均显示，由产业结构、 ＧＤＰ增长速度和城镇化水平组成的指数对碳排放的影响呈双曲线下降趋势。 六、结束语 固定效应部分线性单指数面板模型在各领域具有广泛应用，关于该模型的估计方法众多，但大 多基于均值回归。均值回归的缺点是当数据存在异常点时，估计精度将减小，且该方法只能研究自 变量对因变量在均值附近的影响，而在其他位置的表现无法分析。为此，本文研究了固定效应部分 线性单指数面板模型的分位数估计。首先用Ｂ一样条函数近似连接函数，再利用加权最小二乘法 估计所有参数，进而得到参数及连接函数的估计量；进一步，证明了所得估计量的一致性和渐近正 态性，并利用Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ模拟研究了估计量的小样本表现；最后，将模型应用于碳排放强度的影响 因素分析中。研究结果显示，科技进步对碳排放呈负向线性影响，并随着碳排放水平的提高而呈现 先减弱后增强的影响；能源强度对碳排放具有正向线性影响，影响力度随着碳排放的增加而减弱； 贸易开放度对碳排放具有稳定的正向线性影响；产业结构、ＧＤＰ增速和城镇化水平所构成的指数 对碳排放呈现双曲线下降的影响趋势。 参考文献 ［１］Ｆａｎ Ｊ，Ｇｉｊｂｅｌｓ １．Ｌｏｃａｌ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｃｈａｐｍａｎ ａｎｄ Ｍａｌｌ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，１９９７．１—３０４． ［２］Ｇａｏ Ｊ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｔｉｍｅ Ｓｅｒｉｅｓ：Ｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｉｒｃ ａｎｄ Ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｉｒｃ Ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｍ］．Ａｕｓｔｒａｌｉａ：Ｃｈａｐｍａｎ ａｎｄ Ｍａｌｌ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，２００７．１ １９８． ［３］Ｌｉ Ｑ，Ｒａｃｉｎｅ Ｊ Ｓ．Ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｅｃｏｎｏｍｅｔｉｒｃｓ：Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｐｒａｃｔｉｃｅ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ：Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，２００７． １—３４８． ［４］Ｌｉｎ Ｄ Ｙ，Ｙｉｎｇ Ｚ．Ｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｉｒｃ ａｎｄ Ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ Ｄａｔａ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ，２００１（９６）：１０３—１１３． ［５］ｓｕ Ｌ，Ｕｌｌａｈ Ａ．Ｐｒｏｆｉｌｅ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｐａｒｔｉａｌｌｙ Ｌｉｎｅａｒ Ｐａｎｅｌ Ｄａｔａ Ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ Ｆｉｘｅｄ Ｅｆｆｅｃｔｓ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００６ （９２）：７５—８１． ［６］Ｌｉ Ｇ，Ｔｉａｎ Ｐ，Ｘｕｅ，Ｌ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ Ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｉｎ Ｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ Ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ Ｄａｔａ［Ｊ］． Ａｃｔａ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２００８（２４）：２０２９—２０４０． ［７］Ｑｉａｎ Ｊ，Ｗａｎｇ Ｌ．Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ Ｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｐａｎｅｌ Ｄａｔａ Ｍｏｄｅｌｓ ｂｙ Ｍａｒｇｉｎａｌ Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｅｔｉｒｃｓ，２０１２（１６７）： ４８３—４９３． ［８］Ｃｈｅｎ Ｊ，Ｇａｏ Ｊ，Ｌｉ Ｄ．Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｉｎ Ｐａｒｔｉａｌｌｙ Ｌｉｎｅａｒ Ｓｉｎｇｌｅ—Ｉｎｄｅｘ Ｐａｎｅｌ Ｄａｔａ Ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ Ｆｉｘｅｄ Ｅｆｆｅｃｔ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，２０１３（３１）：３１５—３３０． ［９］Ｆａｎ Ｊ，Ｈｕ Ｔ，Ｔｒｕｏｎｇ Ｙ．Ｒｏｂｕｓｔ Ｎｏｎ．Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，１９９４（２１）：４３３—４４６． ［１０］Ｗｕ Ｔ，Ｙｕ Ｋ，Ｙｕ Ｙ．Ｓｉｎｇｌｅ Ｉｎｄｅｘ Ｑｕａｎｔｉｌｅ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＭｕｌｔｉｖａｉｒａｔｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１０（１０１）：１６０７—１６２１． ［１ １］Ｚｈａｏ Ｗ，ｅｔ ａ１．Ｖａｒｉｈｌｅ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｑｕａｎｔｉｌｅ Ｖａｒｙｉｎｇ Ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｋｏｒｅａｎ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ， ２０１３（４２）：３４３—３５８． ［１２］Ｌｖ Ｙ，ｅｔ ａ１．Ｑｕａｎｔｉｌｅ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ａｎｄ Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｐａｒｔｉａｌ ｌｉｎｅａｒ Ｓｉｎｇｌｅ Ｉｎｄｅｘ Ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ａｎｎａｌｓ ｏｆｔｈｅ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１５（６７）：３７５—４０９． 第３４卷第２期 丁飞鹏：固定效应部分线性单指数面板模型的惩罚分位数回归 ・１０９・ ［１３］Ｈｅ Ｘ，Ｚｈｕ Ｚ，Ｆｕｎｇ Ｗ．Ｅｓｔｉｍｍｉｏｎ ｉｎ ａ Ｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ Ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ Ｄａｔａ ｗｉｔｈ Ｕｎｓｐｅｃｉｉｆｅｄ Ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｊ］． Ｂｉｏｍｅｔｒｉｋａ，２００２（８９）：５７９—５９０． ［１４］Ｗｅｉ Ｙ，Ｈｅ Ｘ．Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ Ｐａｐｅｒ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ Ｇｒｏｗｔｈ Ｃｈａｒｔｓ［Ｊ］．ｔｈｅ Ａｎｎａｌｓ ｏｆ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，２００６（３４）：２０６９—２０９７． ［１ ５］Ｗａｎｇ Ｈ Ｊ，Ｚｈｕ Ｚ，Ｚｈｏｕ Ｊ．Ｑｕａｎｔｉｌｅ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｉｎ Ｐａｒｔｉａｌｌｙ Ｌｉｎｅａｒ Ｖａｒｙｉｎｇ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．ｔｈｅ Ａｎｎａｌｓ ｏｆ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，２００９ （３７）：３８４１—３８６６． ［１６］Ｔａｎｇ Ｙ，Ｗａｎｇ Ｈ Ｊ，Ｚｈｕ ｚ．Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｑｕａｎｔｉｌｅ Ｖａｒｙｉｎｇ Ｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔｆ Ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ Ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ ｄａｔａ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ Ｄａｔａ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１３（５７）：４３５—４４９． ［１ ７］Ｗａｎｇ Ｋ，Ｌｉｎ Ｌ．Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｒｏｂｕｓｔ Ｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｆｏｒ Ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ Ｄａｔａ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｋｏｒｅａｎ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，２０１４（４３）：３０３—３１４． ［１ ８］Ｋｏｅｎｋｅｒ Ｒ．Ｑｕａｎｔｉｌｅ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒ Ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ Ｄａｔａ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００４（９１）：７４—８９． ［１９］Ｆａｎ Ｊ，Ｌｉ Ｒ．Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｖｉａ Ｎｏｎｃｏｎｃａｖｅ Ｐｅｎａｌｉｚｅｄ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ａｎｄ Ｉｔｓ Ｏｒａｃｌｅ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ『Ｊ１．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａ１ Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ，２００１（９６）：１３４８—１３６０． ［２Ｏ］Ｒｕｐｐｅｒｔ Ｄ，Ｗａｎｄ Ｍ Ｐ，Ｃａｒｒｏｌｌ Ｒ Ｊ．Ｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，２００７．１１２—１３１． ［２１］Ｈｅ Ｘ，Ｓｈｉ Ｐ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｒａｔｅ ｏｆ Ｂ－Ｓｐｌｉｎｅ Ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ ｏｆ Ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ Ｑｕａｎｔｉｌｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｅ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，２００１（３）：２９９—３０８． 作者简介 丁飞鹏，男，２０１５年６月毕业于厦门大学，获数量经济学博士学位，现为江西师范大学数学与信息科学学院讲 师。研究方向为非参数计量分析。 （责任编辑：方原） 《统计研究 》“中图 分类 ｒ－－ｉ，， 要求 《统计研究》中图分类号可参考下表，并与以下的文献标识码列在一行用五号宋体 标示。 《统计研究》主要栏目中图分类号简明对照表 主栏目 统计工作的改革与发展 分栏目 法律法规 统计方法制度 统计管理 统计资料管理，统计信息化建设，统计数据库 国外统计工作 经济统计学 国民经济核算 统计方法的应用与创新 分类号 Ｃ８２９．２ Ｃ８２９．２１ Ｃ８２９．２２ Ｃ８２９．２３ Ｃ８１６ Ｃ８２９．１ Ｆ２２２ Ｆ２２２．３３ Ｃ８１ Ｃ８１１ ０２１ｌ 统计调查、抽样与抽样分布 概率论 数理统计方法（如非参数统计、参数估计、假设检验、时 间数列、贝叶斯统计、相关分析与回归分析） 统计指数 ０２１２ Ｃ８ｌ３ 统计实证分析 统计模型的应用 统计史 Ｃ８１２ Ｆ２２２．３ Ｃ８２９．２９ 统计教育 Ｃ８２９．２９
