港南区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

港南区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）

A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 2． 已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，使得F2

关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ） A．1＜e＜

B．e＞

C．e＞

D．1＜e＜

3． 设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )。

A3 B4 C5 D6

4． 已知函数

，函数

，其中b∈R，若函数y=f（x）

﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

5． 已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,6，B1,3,5,7，则A(ðUB)（ ）

A．2,4,6 B．1,3,5 C．2,4,5 D．2,5 6． 与函数 y=x有相同的图象的函数是（ ） A．

B．

C．

D．

x2y27． F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2A.2 B.3 C. 21 D. 31

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精选高中模拟试卷

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

8． 若数列{an}的通项公式an=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），{an}的最大项为第p项，最小项为第q项，则q﹣p等于（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

9． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）

A．

B． C．1

2

D．

10．函数y=

（x﹣5x+6）的单调减区间为（ ）

C．（﹣∞，） D．（﹣∞，2）

对称”是“θ=﹣

”的（ ）

A．（，+∞） B．（3，+∞）

11．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

12．如图，棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F是侧面对角线BC1,AD1上一点，若 BED1F 是菱形，则其在底面ABCD上投影的四边形面积（ ）

32213 B． C. D． 4224二、填空题

A．

13．函数f(x)（xR）满足f(1)2且f(x)在R上的导数f'(x)满足f'(x)30，则不等式

f(log3x)3log3x1的解集为 .

【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.

14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是 °．

2

15．函数f(x)x2(a1)x2在区间(,4]上递减，则实数的取值范围是 ．

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16．已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b= ．

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

17．把函数y=sin2x的图象向左平移

坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．

18．在（1+x）（x2+）6的展开式中，x3的系数是 ．

三、解答题

19．已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量﹣1的一个特征向量（Ⅰ）求矩阵M；

5（Ⅱ）求M

=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值

=， =

．

20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)xa(aR).

（1）当a1时，解不等式f(x)2x11；

（2）当x(2,1)时，x12xa1f(x)，求的取值范围.

21．已知f（x）=lg（x+1）

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（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

22．全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}， （1）求A∪B，（∁UA）∩（∁UB）；

（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．

23．某市出租车的计价标准是4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分1.5元/km，超出18km的部分2元/km．

（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y元与行车里程x km的函数关系式； （2）如果某人乘车行驶了30km，他要付多少车费？

24．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．

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1

（1）求证：AD＝2

2b2＋2c2－a2；

19sin B3，＝，求△ABC的面积． 2sin C5

（2）若A＝120°，AD＝

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港南区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d， 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d， 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1， 则a﹣2d=a﹣2×

=

．

故选：B．

2． 【答案】B

【解析】解：设点F2（c，0），

由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上， 由对称性可得，MF1=F1F2=2c， 则MO=设直线PF1：y=

=

c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，

（x+c），

22222222

代入双曲线方程，可得，（3b﹣a）x﹣2cax﹣ac﹣3ab=0，

则方程有两个异号实数根，

222222

则有3b﹣a＞0，即有3b=3c﹣3a＞a，即c＞

a，

则有e=＞故选：B．

3． 【答案】B

．

【解析】由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B 4． 【答案】 D

【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x）， 由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

2

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x，

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若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 作出函数h（x）的图象如图：

22

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）+2﹣|2﹣x|=x﹣5x+8．

22

当x≤0时，h（x）=2+x+x=（x+）+≥， 22

当x＞2时，h（x）=x﹣5x+8=（x﹣）+≥，

故当=时，h（x）=，有两个交点， 当=2时，h（x）=，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=恰有4个根，

则满足＜＜2，解得：b∈（，4）， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

5． 【答案】A

考点：集合交集，并集和补集．

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，

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是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 6． 【答案】D 【解析】解：A：y=B：C：D：故选D

【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题

7． 【答案】D

2222【解析】∵PF1PF2F1F24c，1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF1PF20，∴PF的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误

与y=x的对应法则不一样，故B错误 =x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误

，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确

|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)， (PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径

r31PF1PF2F1F2c，整理，得2c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2c22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D. a8． 【答案】A 【解析】解：设

2

∴an=5t﹣4t=

=t∈（0，1]，an=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*）， ﹣，

，

∴an∈

∴q﹣p=2﹣1=1， 故选：A． 属于中档题．

9． 【答案】B

当且仅当n=1时，t=1，此时an取得最大值；同理n=2时，an取得最小值．

【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，

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【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，

又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆， ∴半圆锥的底面半径为1，高为

，

的直角三角形，

即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和故侧视图的面积是故选：B．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

10．【答案】B

2

【解析】解：令t=x﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）＞0，可得 x＜2，或 x＞3， 故函数y=

2

（x﹣5x+6）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．

，

本题即求函数t在定义域（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间．

结合二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间为 （3，+∞）， 故选B．

11．【答案】B

【解析】解：若f（x）的图象关于x=则2×

+θ=

+kπ，

+kπ，k∈Z，此时θ=﹣

不一定成立， 对称，

解得θ=﹣反之成立，

即“f（x）的图象关于x=故选：B

对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．

12．【答案】B 【解析】

试题分析：在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1AD12，设AFx，则2x1x2，解得x2322，即菱形BED1F的边长为2，则BED1F在底面ABCD上的投影四边形是底边444第 9 页，共 15 页

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为

33，高为的平行四边形，其面积为，故选B. 44考点：平面图形的投影及其作法.

二、填空题

13．【答案】(0,3)

【解析】构造函数F(x)f(x)3x，则F'(x)f'(x)30，说明F(x)在R上是增函数，且

)3lo3gx1，即F(1)f(1)31.又不等式f(log3x)3log3x1可化为f(lo3xgF(lo)F(1)，∴log3x1，解得0x3.∴不等式f(log3x)3log3x1的解集为(0,3). 3xg14．【答案】 60° °．

【解析】解：连结BC1、A1C1，

a，

∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C， ∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，

因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角， 设正方体的棱长为a，则△A1B1C中A1B=BC1=C1A1=∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°， 即异面直线A1B与AC所成的角等于60°． 故答案为：60°．

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．

15．【答案】a3 【解析】

试题分析：函数fx图象开口向上，对称轴为x1a，函数在区间(,4]上递减，所以1a4,a3. 考点：二次函数图象与性质．

16．【答案】 2 ．

【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，

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∴定义域关于原点对称， 即﹣2a+3a﹣1=0， ∴a=1， ∵函数∴f（﹣x）=

xx

即b•2﹣1=﹣b+2，

为奇函数，

=﹣

，

∴b=1． 即a+b=2，

故答案为：2．

17．【答案】 y=cosx ．

【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移故答案为：y=cosx．

18．【答案】 20 ．

26

【解析】解：（1+x）（x+）的展开式中，

个单位长度，得，即y=cos2x的图象，把y=cos2x

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；

x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；

26

又（x+）的展开式中，

通项公式为 Tr+1=•x12﹣3r，

令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意； 令12﹣3r=2，解得r=

3

，不合题意，舍去；

=20．

所以展开式中x的系数是故答案为：20．

三、解答题

19．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）设M=则又

=4

==（﹣1）

，∴

=

① ，∴

；

②

由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=（Ⅱ）易知

5∴M

=0•+（﹣1）=

．

，

=（﹣1）6

【点评】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．

20．【答案】（1）xx1或x1；（2）(,2]. 【解析】

试

题解析：（1）因为f(x)2x11，所以x12x11， 即x12x11，

当x1时，x12x11，∴x1，∴x1，从而x1；

1x1时，1x2x11，∴3x3，∴x1，从而不等式无解； 21当x时，1x2x11，∴x1，从而x1；

2综上，不等式的解集为xx1或x1.

当

（2）由x12xa1f(x)，得x1xa2xa1， 因为x1xaxax12xa1，

所以当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1； 当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1

记不等式(x1)(xa)0的解集为A，则(2,1)A，故a2， 所以的取值范围是(,2].

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考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.

21．【答案】

【解析】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）， 要使函数有意义，则 由

解得：﹣1＜x＜1．

＜1得：1＜

＜10，

由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg∵x+1＞0，

∴x+1＜2﹣2x＜10x+10， ∴由

． ，得：

．

（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，

∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x）， 由单调性可知y∈[0，lg2]，

y

又∵x=3﹣10，

∴所求反函数是y=3﹣10，x∈[0，lg2]．

22．【答案】

x

【解析】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，

∴A∩B=[3，7]；A∪B=（2，10）；（CUA）∩（CUB）=（﹣∞，3）∪[10，+∞）； （2）∵集合C={x|x＞a}，

∴若A⊆C，则a＜3，即a的取值范围是{a|a＜3}．

23．【答案】

【解析】解：（1）依题意得： 当0＜x≤4时，y=10；…（2分）

当4＜x≤18时，y=10+1.5（x﹣4）=1.5x+4…

当x＞18时，y=10+1.5×14+2（x﹣18）=2x﹣5…（8分） ∴

…（9分）

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（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）

【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．

24．【答案】 【解析】解：

（1）证明：∵D是BC的中点，

a

∴BD＝DC＝.

2

a2

法一：在△ABD与△ACD中分别由余弦定理得c＝AD＋－2AD·

4

a

cos∠ADB，① 2

2

a22ab＝AD＋－2AD··cos∠ADC，②

42

2

222a①＋②得c＋b＝2AD＋，

2

2

2

即4AD2＝2b2＋2c2－a2，

1

∴AD＝2b2＋2c2－a2.

2

法二：在△ABD中，由余弦定理得

a2a22

AD＝c＋－2c·cos B

42

2222a＋c－ba

＝c2＋－ac·

42ac

2b2＋2c2－a2

＝，

41

∴AD＝2b2＋2c2－a2.

2

1sin B3

（2）∵A＝120°，AD＝19，＝，

2sin C5由余弦定理和正弦定理与（1）可得 a2＝b2＋c2＋bc，① 2b2＋2c2－a2＝19，②

b3

＝，③ c5

联立①②③解得b＝3，c＝5，a＝7，

11153

∴△ABC的面积为S＝bc sin A＝×3×5×sin 120°＝. 224

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15

即△ABC的面积为3.

4

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