2019年广西高考数学适应性试卷(文科)含答案解析

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）

1．已知集合A={x∈N|x＞2}，集合B={x∈N|x＜n，n∈N}，若A∩B的元素的个数为6，则n等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．设i为虚数单位，（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），则|a+bi|等于（ ） A．5 B．10 C．25 D．50

3．设奇函数f（x）满足3f（﹣2）=8+f（2），则f（﹣2）的值为（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 4．若A．

B．

C．﹣4 D．4

，则tanθ等于（ ）

5．已知双曲线心率为（ ） A．

B．

﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离

C． D．

对称，则φ的最大值为（ ）

6．若函数f（x）=2sin（4x+φ）（φ＜0）的图象关于直线x=A．﹣

B．﹣

C．﹣

D．﹣

7．若x，t满足约束条件 ，且目标函数z=2x+y的最大值为10，则a等于（ ）

A．﹣3 B．﹣10 C．4 D．10 8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（ ）

第1页（共18页）

A．17 B．16 C．15 D．13

9．一底面是直角梯形的四棱柱的正（主）视图，侧（左）视图如图所示，则该四棱柱的体积为（ ）

A．20 B．28 C．20或32 D．20或28 10．某市对在职的91名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示： 支持新教材 支持旧教材 合计 12 34 46 教龄在10年以上的教师 22 23 45 教龄在10年以下的教师 34 57 91 合计 附表： P（K2≥k0） k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 ，其中n=a+b+c+d．

给出相关公式及数据：K2=

（12×23﹣22×34）2=222784，34×57×46×45=4011660． 参照附表，下列结论中正确的是（ ）

A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关” C．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关” D．我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关”

11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos∠ACE=

，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为（ ）

A．4 B． C．4或 D．4或5

12．函数f（x）=lg（ax3﹣x2+5a）在（1，2）上递减，则实数a的取值范围是（ ） A．[

，]

B．（

，]

C．（﹣∞，]

D．[，+∞）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上） 13．设函数14．设向量

，则f（f（﹣1））=________．

=m）（1，，=（2m，﹣1），其中m∈[﹣1，+∞），则

，3sinC=8sinA，且△ABC的面积为6

•

的最小值为________．，则△ABC的周长为

15．在△ABC中，B=________．

第2页（共18页）

16．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为________．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列

为等差数列，且a1=8，a3=26．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn．

18．已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： X 人数 A B C Y A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=人，数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07． （1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；

（2）已知a≥8，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．

19．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点． （1）求证：AO⊥CF；

（2）求O到平面ABC的距离．

20．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，直线x=

﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3点P．

（1）求椭圆的方程； （2）证明：为定值．

，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一

21．设a∈R，函数f（x）=ax2﹣lnx，g（x）=ex﹣ax． （1）当a=7时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

第3页（共18页）

（2）若f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

[选做题]

22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D． （1）求证：AC•CP=2AP•BD；

（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．

[选做题]

23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系中，以原点O为极

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=2cos（θ﹣）﹣2sinθ．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）点P、Q分别为直线l与曲线C上的动点，求|PQ|的取值范围．

[选做题]

24．设函数f（x）=|x﹣a|．

（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|； （2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +

=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2

+3．

第4页（共18页）

2019年广西高考数学适应性试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）

1．已知集合A={x∈N|x＞2}，集合B={x∈N|x＜n，n∈N}，若A∩B的元素的个数为6，则n等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点】交集及其运算．

【分析】求出A∩B中的元素，从而判断出n的值即可． 【解答】解：集合A={x∈N|x＞2}， 集合B={x∈N|x＜n，n∈N}， 若A∩B的元素的个数为6， 即A∩B={3，4，5，6，7，8}， 则n等于9， 故选：D．

2．设i为虚数单位，（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），则|a+bi|等于（ ） A．5 B．10 C．25 D．50 【考点】复数求模．

【分析】分别求出a，b的值，从而求出|a+bi|即可． 【解答】解：∵（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R）， ∴a+bi=﹣7+24i，

=25， 则|a+bi|=

故选：C．

3．设奇函数f（x）满足3f（﹣2）=8+f（2），则f（﹣2）的值为（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 【考点】函数的值．

【分析】求出f（2）=﹣f（﹣2），代入3f（﹣2）=8+f（2），得到3f（﹣2）=8﹣f（﹣2），解出即可．

【解答】解：∵f（x）是奇函数， ∴f（2）=﹣f（﹣2）， ∵3f（﹣2）=8+f（2）， ∴3f（﹣2）=8﹣f（﹣2）， ∴4f（﹣2）=8， ∴f（﹣2）=2， 故选：D． 4．若

，则tanθ等于（ ）

第5页（共18页）

A． B． C．﹣4 D．4

【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数．

【分析】利用两角和与差的正弦函数化简已知条件，然后求解即可． 【解答】解：∴tanθ=． 故选：B．

5．已知双曲线心率为（ ） A．

B．

C．

D．

﹣

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=

x，则此双曲线的离

，可得：sinθ+cosθ=5sinθ，∴cosθ=4sinθ，

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得b=公式计算即可得到所求值． 【解答】解：双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，

a，由a，b，c的关系和离心率

由题意可得=即为b=c=可得e==故选：A．

a， =

，

a， ．

6．若函数f（x）=2sin（4x+φ）（φ＜0）的图象关于直线x=A．﹣

B．﹣

C．﹣

D．﹣

对称，则φ的最大值为（ ）

【考点】正弦函数的图象．

【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的最大值． 【解答】解：∵函数f（x）=2sin（4x+φ）（φ＜0）的图象关于直线x=∴4•

+φ=kπ+

，即φ=kπ+

，k∈Z，故φ的最大值为﹣

，

对称，

故选：B．

第6页（共18页）

7．若x，t满足约束条件 ，且目标函数z=2x+y的最大值为10，则a等于（ ）

A．﹣3 B．﹣10 C．4 D．10

【考点】简单线性规划．

a）【分析】画出满足条件的平面区域，显然直线过A（3，时，直线取得最大值，得到10=6+a，

解出即可．

【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：

，

显然直线过A（3，a）时，直线取得最大值， 且目标函数z=2x+y的最大值为10，则10=6+a， 解得：a=4， 故选：C． 8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（ ）

A．17

B．16 C．15 D．13

第7页（共18页）

【考点】程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：

①被3除余2， ②被5除余2，

即被15除余2，最小两位数， 故输出的n为17， 故选：A

9．一底面是直角梯形的四棱柱的正（主）视图，侧（左）视图如图所示，则该四棱柱的体积为（ ）

A．20

C．20或32 D．20或28

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】根据正（主）视图，侧（左）视图，可得梯形的上底为1或3，下底为4，高为2，棱柱的高为4，代入棱柱的体积公式计算．

【解答】解：由图可知，梯形的上底为1或3，下底为4，高为2，棱柱的高为4， 所以体积为

=20或

=28．

B．28

故选：D． 10．某市对在职的91名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示： 支持新教材 支持旧教材 合计 12 34 46 教龄在10年以上的教师 22 23 45 教龄在10年以下的教师 34 57 91 合计 附表： P（K2≥k0） k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 ，其中n=a+b+c+d．

给出相关公式及数据：K2=

（12×23﹣22×34）2=222784，34×57×46×45=4011660． 参照附表，下列结论中正确的是（ ）

A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关” C．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”

第8页（共18页）

D．我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关” 【考点】性检验的应用．

【分析】根据列联表中的数据，计算观测值K2，对照数表即可得出结论． 【解答】解：根据列联表中的数据，计算观测值 K2=

=

≈5.0536＞3.841，

对照数表得出结论：

在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”． 故选：B．

11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos∠ACE=A．4

B．

，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为（ ）

C．4或

D．4或5

，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3×

【考点】球的体积和表面积． BC=【分析】设AB=2x，则AE=x，×

，求出x，即可求出球O的直径．

，

【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=∴AC=

，

×

由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3×

，

∴x=1或，

=4， ∴AB=2，BC=2，球O的直径为

=或AB=2，BC=，球O的直径为．

故选：C．

12．函数f（x）=lg（ax3﹣x2+5a）在（1，2）上递减，则实数a的取值范围是（ ） A．[

，]

B．（

，]

C．（﹣∞，]

D．[，+∞）

【考点】函数单调性的性质．

【分析】令y=ax3﹣x2+5a，由条件利用复合函数的单调性可得在（1，2）上，y＞0且y单调递减，故y′=3ax2﹣2x＜0，再利用二次函数的性质求得a的范围．

【解答】解：令y=ax3﹣x2+5a，则f（x）=lgy，∴在（1，2）上，y＞0且y单调递减，

故y′=3ax2﹣2x=x（3ax﹣2）＜0，∴

①，或 ②．

第9页（共18页）

解①可得综上可得，

≤a≤，解②求得a无解． ≤a≤，

故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上） 13．设函数

，则f（f（﹣1））=0．

【考点】函数的值．

【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可．

【解答】解：由分段函数得f（﹣1）=，则f（）=2×﹣1=1﹣1=0， 故

故答案为：0 14．设向量

=（1，m），

=（2m，﹣1），其中m∈[﹣1，+∞），则

•

的最小值为．

．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】求出的坐标，代入向量的数量积公式得出的性质得出的最小值．

=（2m+1，m﹣1）【解答】解：． ∴

=2m+1+m（m﹣1）=m2+m+1=（m+）2+．

关于m的函数，根据二次函数

∵m∈[﹣1，+∞）， ∴当m=﹣时，故答案为：．

15．在△ABC中，B=

，3sinC=8sinA，且△ABC的面积为6

，则△ABC的周长为18．

取得最小值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】由已知及正弦定理可得3c=8a，又由B=

，利用三角形面积公式可求ac=24，联

立可解得：a，c的值，利用余弦定理可求b的值，即可得解三角形周长．

【解答】解：∵3sinC=8sinA，由正弦定理可得3c=8a，① 又∵B=

，△ABC的面积为6

=acsinB=

ac，解得：ac=24，②

∴由①②联立，可解得：a=3，c=8， ∴由余弦定理可得：b=

=

第10页（共18页）

=7，

∴△ABC的周长为：a+b+c=3+7+8=18． 故答案为：18．

16．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25． 【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．

【分析】由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．

【解答】解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6， 得|AF|=

，则

，∴p=2．

∵点A（4，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，∴． ∴圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25． 故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列

为等差数列，且a1=8，a3=26．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 【考点】数列的求和． 【分析】（1）利用已知条件求出数列的公差，然后求出通项公式．

（2）直接把数列变为两个数列，一个是等差数列一个是等比数列，分别求和即可． 【解答】解：（1）设数列∴∴∴

… ，…

，

的公差为d，∵

，

（2）

18．已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： X 人数 Y A B

…

A B C 14 a 40 36 第11页（共18页）

10 b C 28 8 34 若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=人，数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07． （1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；

（2）已知a≥8，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）由频率=

，能求出a，b的值．

（2）由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．由此利用列举法能求出所求概率． 【解答】解：（1）由频率=∴

，故a=18，

，得到

，

而14+a+28+40+36+8+10+b+34=200， ∴b=12．…

（2）∵a+b=30且a≥8，b≥6，

∴由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2． （a，b）的所有结果为（8，22），（9，21），（10，20），（11，19），…（24，6）共17组， 其中a＞b+2的共8 组， 故所求概率为：

．…

19．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点． （1）求证：AO⊥CF；

（2）求O到平面ABC的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）证明AO⊥EF，推出AO⊥平面EFCB，即可证明AO⊥CF．

（2）取BC的中点G，连接OG．推出OG⊥BC，OA⊥BC，得到BC⊥平面AOG，过O作OH⊥AG，垂足为H，说明OH⊥平面ABC，O到平面ABC的距离为OH，求解即可． 【解答】（1）证明：因为△AEF等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF… 又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，平面AEF∩平面EFCB=EF， 所以AO⊥平面EFCB，…

又CF⊂平面EFCB，所以AO⊥CF… （2）解：取BC的中点G，连接OG． 由题设知，OG⊥BC…

由（1）知AO⊥平面EFCB，

第12页（共18页）

又BC⊂平面EFCB，所以OA⊥BC，因为OG∩OA=O，所以BC⊥平面AOG…

过O作OH⊥AG，垂足为H，则BC⊥OH，因为AG∩BC=G，所以OH⊥平面ABC． … 因为

，所以

，

．（另外用等体积法亦可）…

即O到平面ABC的距离为

20．如图，椭圆

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2

，直线x=

﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3

点P．

（1）求椭圆的方程； （2）证明：为定值．

，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【分析】（1）利用已知条件列出，求解可得椭圆的方程．

（2）设M（﹣2，y0），P（x1，y1），推出=（x1，y1），=（﹣2，y0）．直线BM的方程，代入椭圆方程，由韦达定理得x1，y1，然后求解为定值． 【解答】解：（1）由题可得

，

，∴

∴椭圆的方程为…

（2）A（﹣2，0），B（2，0），设M（﹣2，y0），P（x1，y1）， 则=（x1，y1），=（﹣2，y0）． 直线BM的方程为：

，即

，…

第13页（共18页）

代入椭圆方程x2+2y2=4，得

，…

由韦达定理得，…

∴，∴，…

∴

=﹣2x1+y0y1=﹣

+==4．

即为定值．…．

21．设a∈R，函数f（x）=ax2﹣lnx，g（x）=ex﹣ax． （1）当a=7时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；

（2）由f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，a＞（

）max，设h（x）=

（x＞0），

求出a的范围，结合f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，得到a＜恒成立．设H（x）=

，求出a的范围，取交集即可．

对x∈（0，+∞）

【解答】解：（1）函数f（x）=7x2﹣lnx的导数为f′（x）=14x﹣， 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为14﹣1=13，

切点为（1，7），可得切线的方程为y﹣7=13（x﹣1）， 即为13x﹣y﹣6=0；

（2）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立， 即ax2﹣lnx＞0对x∈（0，+∞）恒成立，则a＞（设h（x）=

（x＞0），

）max，

则h′（x）=，

当0＜x＜e当x＞e

时，h'（x）＞0，函数h（x）递增； 时，h'（x）＜0，函数h（x）递减．

第14页（共18页）

所以当x＞0时，h（x）max=h（e∴a＞

．

）=，

∵h（x）无最小值，

∴f（x）＜0对x∈（0，+∞）恒成立不可能． ∵f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立， ∴g（x）=ex﹣ax＞0，即a＜设H（x）=

，

对x∈（0，+∞）恒成立．

∴H′（x）=，

当0＜x＜1时，H'（x）＜0，函数H（x）递减； 当x＞1时，H'（x）＞0，函数H（x）递增， 所以当x＞0时，H（x）min=H（1）=e， ∴a＜e． 综上可得，

＜a＜e．

[选做题]

22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D． （1）求证：AC•CP=2AP•BD；

（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．

【考点】相似三角形的判定． 【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD； （2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC的长． 【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP， 又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP， ∴

，即AP•BC=AC•CP．

又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD… （2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，

由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5， 由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴

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，∴…

[选做题]

23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系中，以原点O为极

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=2cos（θ﹣）﹣2sinθ．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）点P、Q分别为直线l与曲线C上的动点，求|PQ|的取值范围． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（1）化简曲线方程C，可得ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，结合ρsinθ=y，ρcosθ=x，即可得曲线C的直角坐标方程； （2）将直线l的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线的距离，结合图形，即可得出|PQ|的最小值，即可得出|PQ|的取值范围． 【解答】解：（1）∵曲线C的方程为ρ=2=2cosθ+2sinθ﹣2sinθ=2cosθ， ∴ρ2=2ρcosθ，

又∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x， 即C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，

cos（θ﹣

）﹣2sinθ

（2）∵直线l的参数方程为（t为参数），

消去t可得，l的普通方程为y=∴圆C的圆心到l的距离为d=

（x+2），即x﹣=

，

+2=0，

∴|PQ|的最小值为d﹣1=﹣1，

∴|PQ|的取值范围为[﹣1，+∞）．

[选做题]

24．设函数f（x）=|x﹣a|．

（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|； （2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +

=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2

+3．

【考点】分段函数的应用；基本不等式．

【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．

（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可． 【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，

则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|， 即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，

当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；

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当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解， 当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2， 综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）． （2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， 由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a． 即即+

得a=1，

=a=1，（m＞0，n＞0），

）=1+2+

+

≥3+2

=2

+3．

则m+4n=（m+4n）（+当且仅当故m+4n≥2

=

，即m2=8n2时取等号， +3成立．

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2019年9月7日

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